數學“史學形態”向“教育形態”的轉化*

冷 悅 陳惠汝 孔維娜

（黃岡師范學院 湖北黃岡 438000）

引言

函數概念是各個教育階段重要的知識點之一，是常量數學向變量數學轉變的開始，函數思想貫穿整個高中教材的內容，是連接初等數學與高等數學的紐帶。理解函數的基本概念及其表現出的函數基本思想，是整個高中階段每一位學生都應掌握的技能之一[1]。

縱觀數學相關知識的發展史可知，函數的概念從無到有，從零散到完善，經歷了300多年漫長而曲折的過程。隨著時代的不斷發展，函數的概念不斷優化并為人們所認可，學習的范圍也越來越廣，融合的知識點越來越多。但在現如今函數的概念教學過程中，初中與高中關于函數基本概念的界定仍然存在著差異：初中通過學習函數之間的變量關系得到函數解析式。高中階段，函數概念的改變引起了學生的認知沖突。學生在原來已有的知識經驗的影響下，已形成思維定式。若教師此時直接講授新的課程內容，會使學生理解困難，對函數概念知識點產生混淆。事實上，從初中到高中，學生們所學習的函數概念并不是簡單知識的深化，而是與歷史上函數概念的發展順序相類似。歷史上的函數概念的演變是來自多個方面：社會變遷、科學發展、人類進步……在教學中，有許多問題需要通過知識的發展過程來闡釋。但在教學的過程中，教師因各種原因很少有機會能提到知識的發展，大部分教師都僅僅依據教材的內容來進行教學[2]。

《普通高中數學課程標準(2017版)》在教學建議中寫道：“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，有利于激發學生的數學學習興趣，提升數學學科核心素養。”數學史作為數學文化的重要部分，它蘊含著豐富的教學素材，可以與教學內容相融合，尤其數學概念教學，不僅有助于學生更好地理解知識的本質特性，而且能夠培養學生的數學核心素養。鑒于此，故分析基于數學史“函數的概念”教學案例，以引起教育碩士等未來教師的注意，更好地開展數學課堂教學，提高教育碩士培養質量[3]。

一、創設情境，復習引入

風和日麗的清晨，L教師邁著輕快的腳步走進了教室里，今天她要講的是人教版高中數學必修一第三章內容函數的概念，她早早就做好了準備工作，查閱了相關的數學文化史，準備好了要用的教具等。

師：同學們，函數對于我們來說并不陌生，誰能告訴我，初中函數的定義是什么？

生：一般的，在某一個變化過程中如果有兩個變量x和y，對每一個確定的x值，都有唯一確定的y值與之對應，我們就稱y是x的函數，其中x稱為自變量，y稱為因變量。

師：同學們的表述非常正確，依據之前所學的定義，同學們能判斷一下y=3是函數嗎？

生：(學生一臉疑惑的搖搖頭)

師：這就是我們高中還要繼續學習函數的原因，因為初中函數的定義并不完善，事實上，函數概念的發展經歷了300多年漫長的過程，同學們想知道歷史上都有哪些數學家為此作出了了不起的貢獻嗎？

教師活動：教師接著通過PPT依次放映萊布尼茲、歐拉、狄利克雷、李善蘭四位著名數學家的圖片，并指出本節課將繼續沿著四位數學家的腳步，再次探究函數的概念，從而引入所學章節《函數的概念》。

二、基于歷史，探究新知

教師結合多媒體向學生講解早期函數發展來源，并向學生說明早期函數的作用，進而基于歷史，讓學生了解函數發展的歷史淵源，激發學生的學習興趣。

探究1：引導學生從“解析式”說到“變量依賴關系”的轉變。

教師活動：教師首先讓學生閱讀課本60頁和61頁的四個問題，教師和學生共同探究并依次解決這四個問題，通過問題1和問題2的探究，讓學生清楚函數關系是可以用解析式來表達的，并由此向學生介紹函數“解析式”定義的由來，是早在1748年瑞士數學家通過不斷探索后給出的，從而豐富學生的數學文化，加深學生對函數概念的認識；通過問題3中的空氣質量指數變化圖和問題4中的恩格爾系數表格的相關問題探究，讓學生產生認知沖突，意識到函數的解析式定義已經不能夠解釋這類型的函數，從而引導學生要對函數的概念進行進一步的完善，最后實現從函數“解析式”定義向“變量依賴關系”定義的轉變，同時向學生介紹相關的數學史，指出歐拉也發現了解析式定義的局限性，并在1755年重新定義了函數的概念，即函數的變量依賴關系定義，讓學生體會以數學家的視角來探究函數的概念，更身臨其境[4]。

【教學片段】

師：我們一起來看問題4。表1是我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況，設年份為，恩格爾系數為。

表1 我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況

師：請同學們觀察，表中的數據是否能構成函數關系？

生：能，因為一個年份對應一個恩格爾系數。

師：那表中的數據能用函數解析式來表示嗎？

生：不能用解析式表示。

師：也就是說，函數的解析式定義在這里已經不適用了，那我們怎樣解決這個問題呢？

生：進一步完善函數的概念。

教師活動：教師肯定學生的說法，并向學生講解著名數學家歐拉在當時也發現了解析式定義的不完善，并通過自己的不斷研究和探索，重新定義了函數的概念，也就是函數的“變量依賴說”定義，接著ppt展示該定義。

探究2：引導學生從“變量依賴關系”到“變量對應關系”的轉變

例2：常數函數y=2(x∈R)。

例3：某市的照相館收費標準是，5張以內收費27.5元，超過5張，每張按2.5元收費，請你計算張數分別為4張、5張、6張、7張時，需要支付的費用元。

師：對于例2，請同學們思考，是否可以用變量依賴來定義函數呢？并說明原因。

生：不能。因為變量依賴關系是以存在兩個變量為前提的，而常數函數y=2(x∈R)只存在一個變量，不符合該定義。

師：也就是說，變量依賴并不能定義常數函數。那我們接著看例3，請同學們分別計算出支付的費用，并思考能否用變量依賴關系來定義這個函數呢？

生：也不能。因為當x變化時，對應的y值并沒有都發生改變。

教師活動：通過上述兩個例子，告訴學生“變量依賴關系”刻畫函數具有一定的局限性，且對于常數函數和兩個變量之間不存在依賴關系的函數不適用，進而引導學生們還需繼續完善函數的概念，使其適用范圍更廣[5]。

師：怎樣完善該定義呢？

生：把“依賴”換成“對應”。“對應”包含的兩個變量中，當一個變量變化時，另一個變量可以隨之變化，也可以保持不變。

師：看來同學們對于“依賴”和“對應”已經理解很透徹了，那么我們如何對之前的定義進行修正呢？

師生活動：師生共同探討并對函數的“變量依賴關系”定義進行修改，同時教師在黑板上板書函數的修改后的定義——“變量對應關系”定義，并指出該定義就是初中所學的函數的定義。

探究3：引導學生從“變量對應關系”到“集合對應關系”的轉變。

教師通過ppt向學生展示狄利克雷函數：

并根據該定義讓學生思考，狄利克雷函數是否能用“變量對應關系”來解釋，激發學生探究的欲望，有利于教學進一步開展。

生：對于狄利克雷函數，可以用“變量對應關系”來解釋，也就是對于每一個x值，對應的值都是唯一的。

師：（教師肯定）請同學們思考，能否用更簡潔的語言來表達狄利克雷函數嗎？

生：可以用集合的相關知識來表達狄利克雷函數，把x的取值范圍用集合表示出來，同理把x所對應的y的值也用集合表示出來。

師：這位同學的想法非常棒，那么集合中的元素有哪些呢？

生：集合中的元素分別有0和1。

師：看來集合語言的確可以使函數表示更簡單。那么我們現在是否可以用集合和對應的語言對函數的定義進行重新改進呢？

教師活動：通過對于狄利克雷函數的探討，引導學生從“變量對應關系”向“集合對應關系”的轉變，最后師生共同探究總結出函數的“集合對應關系”定義，教師在黑板上板書該定義。

三、基于歷史，辨析概念

通過函數的“集合對應關系”定義，對函數的概念進行深入剖析，包括強調f（x）所表示的含義，強調函數的三要素以及強調兩個函數相等的重要條件。

師：根據定義，我們可以看到，出現了新符號f（x），請問同學們f（x）有什么含義呢？我們各個小組之間可以交流一下。

組1：f（x）表示f乘以x的值。

組2：y。

師：學生要理解這個知識似乎確實很難，大家可以考慮從函數的歷史出發（PPT展示）。

函數一詞最早是德國數學家萊布尼茨提出來的，函數的英文是function，表示“發揮作用”。而我國清代數學家李善蘭將function翻譯為中文“函數”，這就是我國函數一詞的由來，并給出定義：“凡式中含天，為天之函數。凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數。”其中“函”與“含”同義，“含”在此也有“起……作用”的意思。因此，f（）代表起一定作用的工具，當對應關系f作用到x值時，f（x）表示在值對應下的函數值。

生：（學生緩緩點頭，表示理解）

師：那想一想f（a）和f（x）有沒有聯系？

生:f（x）是在任意x值對應下的函數值，f（a）是在x=a值對應下的函數值。

師:同學們似乎理解了f（x），f（x）是變量，而f（a）是常量，當自變量為a時，對師：函數概念中的三要素：定義域、對應關系、值域三者誰最重要呢？

生1：對應關系。

生2：定義域。

師：其實對應關系和定義域都是非常重要的，首先定義域和對應關系確定了，那么值域也就確定了，那請同學考慮一下這個問題，f(x)=3x+1、t(a)=3a+1表示同一個函數嗎？

生：是的，因為定義域和對應關系都是一樣的。

教師總結：也就是說，雖然函數常用f表示，但是也可以用其他字母（如h、t、g等）來表示，不同字母的表示不影響函數的本身，函數符號f（x）表示與x對應的函數值，不是f乘以x，而是一個數。如果函數的定義域和對應關系相同，則可以說這些函數是相等的。

生：（學生豁然開朗）

師：今天我們跟隨數學家們的腳步，體會了函數概念的演變過程，希望同學們也能像數學家那樣勇于探索、不懈努力，下一位作出如此貢獻的數學家說不定就在我們同學之中。

結語

本節課是一所省示范高中的一堂有關于函數概念的數學課，本案例中的教師根據高中生對函數概念的理解與歷史上的數學家的理解具有一定的相似性。開展了基于數學史的“函數的概念”的教學。在教學過程中，教師根據函數概念的歷史演進過程，重構函數概念的發展歷史，設置相應的問題，讓學生親身經歷數學家“一次次提出概念、一次次推翻概念、一次次修正概念、一次次完善概念”的探究過程。這無疑告訴我們：數學史為掃清某些數學概念的教學和學習障礙開辟了一條新的思路。數學家是怎么發現問題、提出問題、分析并解決問題的，這是我們在課堂上應該深入探討的，也是激發學生學習興趣和探索欲望的“引子”，在課堂中這種思想和創造的過程是很有意義的。