帶電微粒在勻強磁場中兩類臨界問題討論
——從2020年全國I卷第18題說起

胡冬梅 ，黃小春

1.重慶市第一中學，重慶 400030

2.重慶市禮嘉中學校，重慶 401122

帶電微粒在有界勻強磁場中運動的臨界問題是高中物理學習的重點和難點，同時也是物理高考的一個熱點。本文以2020年全國I卷第18題為例，對此類問題進行探討和歸納。

1 例題呈現

試題[2020年物理高考（全國I卷）第18題]一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為( )

圖1 原題附圖

由此可知，帶電微粒在勻強磁場中運動的時間與入射速度無關，微粒運動時軌跡所對的圓心角越大，在磁場中完成運動所需要的時間越長。可以采用放縮圓思維解決該問題。

（1）當半徑滿足r≤0.5R和r≥1.5R時，微粒分別從ca、bd所在的直線范圍中射出，R為半圓的半徑，如圖2，微粒在邊界磁場中的運動軌跡為一個半圓，運動的時間則等于半個周期。

圖2 帶電微粒在磁場中運動軌跡分析圖

圖3 放縮圓示意圖

2 方法歸納

筆者歸納了學生解答此題遇到的主要問題：（1）審題時，不清楚“微粒具有各種速率”和“在磁場中運動時間最長的微粒”的物理含義；（2）分析微粒在有界磁場中運動的各種情況時，不能理解題目中“在磁場中運動時間最長的粒子”的物理含義，更不會挖掘其隱含的臨界條件。該類問題在高中物理各類習題中，多次出現例如“剛好”“最大”“至少”“范圍”等特定的詞語，這些特定的詞語其實就是在暗示該問題為臨界問題。因此，學生在分析題意時，必須要重點關注這些特殊語言。下面我們根據兩類模型來分析微粒在有界磁場中運動常見的兩類型的臨界問題，并總結其方法。

2.1 微粒的速度方向不變，大小改變

由于速度v方向不變，當速度大小逐漸增加時，其臨界狀態為運動軌跡與有界磁場相切。解題思路為根據已知微粒的入射位置及出射方向，找到微粒在有界磁場中做勻速圓周運動的軌跡，再用數學的幾何關系分析和計算微粒做勻速圓周運動時的半徑。

例1如圖4所示，一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，現從矩形區域ad邊的中點O處垂直磁場射入一速度方向跟ad邊夾角為37°、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質量為m，電量為+q，ad邊長為L，重力影響忽略不計。試求粒子能從ab邊上射出磁場的v0的大小范圍？

圖4 例1題圖

例1中，微粒從同一位置方向相同但速度大小不同進入磁場，通過縮放圖容易得到，臨界態為微粒將會剛好與邊界ab相切，同理微粒也會與邊界dc相切（圖5）。然后分析其臨界態的物理含義：微粒出射速度方向與邊界相切。找到出射速度的方向和入射速度的方向即可以得到微粒在有界磁場中運動的圓心和半徑。

圖5 帶電微粒在磁場中運動軌跡分析圖

綜合所述：要使微粒能從ab邊直線范圍上射出磁場，則入射速度v0的大小應該為：

2.2 微粒的速度大小不變，方向改變

當微粒速度大小不變，朝不同方向發射，求它在磁場中運動最長的時間時，臨界狀態為微粒在有界磁場中的運動軌跡具有最大圓心角。根據數學知識知道微粒在有界磁場中做勻速圓周運動的圓心，再由幾何長度關系求解微粒勻速圓周運動時的半徑大小。

圖6 例2題圖

審題時著重分析微粒在磁場中運動最長時間的物理含義。帶電微粒以相同的速率從空間一點沿不同的方向射入磁場，它們的運動半徑相同，所以微粒運動軌跡的圓心將構成以O點為圓心、半徑為R的圓，微粒可以到達有界磁場任意地方，易知要使時間最長，則微粒在磁場中軌跡圓的弦最長。

解析對微粒在磁場中做圓周運動，則

要使微粒在磁場中運動時間最長，則微粒從B點射出，故圓心為O1（圖7）。由幾何關系可得：Rsinα=r，即 α=30°

圖7 帶電微粒運動軌跡分析圖

3 總結

帶電微粒在有界勻強磁場中的勻速圓周運動，是歷年物理高考試題中經常出現的內容，而帶電微粒在各種有界勻強磁場中做勻速圓周運動的臨界問題和狀態的分析，又是高中學生學習的重點和難點。當一個物理情景（或物理表象）向另一個物理情景（或物理表象）轉變時，存在一個分界幾何點，我們把這個幾何點叫臨界點，也把物體在這種情景下所出現的狀態稱為臨界狀態，與該狀態相關的物理參量則被稱為臨界參量，涉及此類問題就是臨界問題。本文分析討論了兩類微粒在磁場中臨界問題的解法：（1）微粒的速度v方向不變，大小改變；（2）微粒的速度v大小不變，方向改變。

在解決帶電微粒在有界勻強磁場中做勻速圓周運動的臨界狀態時，可以通過以下幾個步驟來分析：

（1）發現臨界問題。通常臨界狀態的存在具有相當的隱蔽性，審題時應注意題目的描述，力求準確地分析和尋找題目所出現臨界點的物理參量，并逐漸展開分析帶電微粒的運動軌跡。有時可以用極限法暴露出粒子運動的情況，從而發現臨界問題。

（2）確定臨界位置。確定了臨界問題后，學生理清帶電微粒在磁場中的受力情況，并且依據題干給出的約束條件以及運動特征確定臨界位置（入射位置或出射位置）。

（3）解決問題。確定臨界位置后，根據臨界狀態的特征（比如，最長弦或者速度方向與邊界相切），分析微粒在磁場邊界的出射方向或出射點，找到微粒運動軌跡的圓心和半徑，從而求解所需的問題。

因臨界問題的隱蔽性特點且變化較大，故教師要有意引導學生在學習過程中應準確分析所蘊含的物理含義，準確區分、歸納和總結經典的物理題型，為今后的物理學習打下堅實的基礎。