如何培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜物理情境中的數(shù)學(xué)分析能力

吳春曉 ，黃致新

1.華中師范大學(xué)人工智能教育學(xué)部，武漢 430079

2.四川省成都市第七中學(xué)，成都 610041

3.華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430079

1 引言

我國(guó)的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020 年修訂）》［1］和美國(guó)的《下一代科學(xué)能力標(biāo)準(zhǔn)》［2］都強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生分析復(fù)雜物理問(wèn)題能力的重要性。與此同時(shí)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科中掌握的數(shù)學(xué)方法要用在物理情境的分析中，仍然需要合適的引導(dǎo)和訓(xùn)練。相反地，如果物理教師簡(jiǎn)單地認(rèn)為物理中的數(shù)學(xué)計(jì)算應(yīng)該全由學(xué)生自己解決，而不加引導(dǎo)，那么就會(huì)有相當(dāng)一部分學(xué)生由于不熟悉數(shù)學(xué)分析方法在物理情境中的運(yùn)用，而產(chǎn)生學(xué)習(xí)物理的畏難情緒。所以，培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜物理問(wèn)題中進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的能力，對(duì)提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)很有幫助。

復(fù)雜物理情境的分析有難度高、方法多、計(jì)算量大等特點(diǎn)，極值問(wèn)題又是其中對(duì)學(xué)生科學(xué)思維要求很高的一類問(wèn)題。極值問(wèn)題在數(shù)學(xué)中指的就是極大值或者極小值，在物理情境中則對(duì)應(yīng)了在一定條件下某個(gè)物理量能夠取得的最大值或最小值。在物理情境的表述上經(jīng)常出現(xiàn)：至少、恰好、剛好、最大、最小、最短、最長(zhǎng)等關(guān)鍵詞［3］。求解極值問(wèn)題的方法包括但不限于：利用函數(shù)的單調(diào)性求極值，利用三角函數(shù)求極值，利用二次函數(shù)求極值，利用均值不等式求極值，利用圖解法求極值［4］。如果僅僅向?qū)W生簡(jiǎn)單地羅列相應(yīng)的題目和方法，學(xué)生只能知道這個(gè)題目如何求解，而他們的科學(xué)推理能力并沒(méi)有得到顯著提升。只有當(dāng)學(xué)生能夠在面臨新的物理情境的時(shí)候，經(jīng)由適當(dāng)?shù)哪Ｐ徒?gòu)，能夠意識(shí)到需要運(yùn)用這樣的方式進(jìn)行極值的求解，并最終能夠得出正確的結(jié)論，其科學(xué)推理能力才得到了提高。

為了達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維中科學(xué)推理能力這一目標(biāo)，需要循序漸進(jìn)地為學(xué)生展示在物理情境中均值不等式這一數(shù)學(xué)工具的使用場(chǎng)景和操作模式。經(jīng)過(guò)了難度螺旋式上升的訓(xùn)練之后，學(xué)生才有可能真正掌握均值不等式在物理問(wèn)題中的使用方法。這樣的方法及過(guò)程需要從均值不等式的證明開(kāi)始，在高中物理教學(xué)過(guò)程中循序漸進(jìn)地使用，最后學(xué)生對(duì)在物理情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)工具才會(huì)有更加深刻的感悟。當(dāng)然，對(duì)于其中部分情境而言，可能會(huì)有更方便快捷的方法［5］，但是為了不沖淡主題，本文將不再另外展示其他方法。

2 均值不等式的概念及證明

在數(shù)學(xué)中，均值不等式又稱為平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式。公式內(nèi)容為調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)。關(guān)于均值不等式的證明方法有很多，數(shù)學(xué)歸納法、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等，都可以證明均值不等式。物理中運(yùn)用均值不等式的情境和數(shù)學(xué)不同，是為了處理實(shí)際的物理情境，與此同時(shí)，學(xué)生在物理情境中需要用均值不等式的時(shí)候可能數(shù)學(xué)學(xué)科還沒(méi)學(xué)習(xí)均值不等式。不同于高中人教版數(shù)學(xué)必修5B版［6］中的證明，在物理教學(xué)中只需要簡(jiǎn)單地證明即可：

由于對(duì)于任意正數(shù)x和y均滿足：

（2）式可以進(jìn)一步寫(xiě)成如下形式：

在物理中對(duì)均值不等式的應(yīng)用主要是當(dāng)二者之積為定值時(shí)，二者相等時(shí)其和可以取得最小值。所以，一個(gè)物理問(wèn)題是否能夠運(yùn)用均值不等式求解的關(guān)鍵往往就在于其表達(dá)式的兩個(gè)部分的乘積是否為定值。

3 均值不等式在不同高中物理情境中的應(yīng)用

3.1 在運(yùn)動(dòng)學(xué)中初識(shí)均值不等式

學(xué)生進(jìn)入高中的第一步就是學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)的描述和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的分析方法，科學(xué)思維的培養(yǎng)需要學(xué)生體會(huì)從模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證到質(zhì)疑與創(chuàng)新這一條完整的分析流程中的每一步。簡(jiǎn)單地公式套用只能說(shuō)是科學(xué)推理的一部分，通過(guò)下面的例1能夠在一個(gè)簡(jiǎn)單的物理情境中初步應(yīng)用均值不等式，給學(xué)生展示一個(gè)清晰的分析邏輯。

例1已知汽車在加速過(guò)程中每秒鐘的耗油量與行駛的加速度a的數(shù)量關(guān)系為Q＝Ma＋N（M、N均為待定量）。若某型號(hào)汽車由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，行駛了位移s，若要此段運(yùn)動(dòng)中汽車的耗油量最小，則汽車的加速度大小及最小耗油量應(yīng)為（ ）

解析本題創(chuàng)立了一個(gè)對(duì)于學(xué)生而言比較陌生的情境，所以學(xué)生首先需要構(gòu)建物理模型，也就是需要寫(xiě)出總耗油量Q的表達(dá)式。

由于是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，每秒鐘的耗油量恒定，于是得到：

同時(shí)，由于汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，于是：

由此，可以得到t的表達(dá)式，代入上式得到：

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到：

3.2 在重心的確定中拓展均值不等式

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中給學(xué)生進(jìn)行了鋪墊之后，進(jìn)入“重力”這一節(jié)時(shí)，對(duì)于競(jìng)賽生，就可以給他們展示例2這樣的例子，從而在例1的基礎(chǔ)上，再一次加深對(duì)均值不等式運(yùn)用的理解。當(dāng)然，對(duì)于普通高考生而言也完全可以跳過(guò)例2，直接在合適的時(shí)候給出例3。

例2一個(gè)有底無(wú)蓋的圓柱形桶，底面質(zhì)量不計(jì)，桶側(cè)面質(zhì)量為a，桶的重心在中軸線上的正中間位置，裝滿水后水的質(zhì)量為b。裝入水的質(zhì)量m為多少時(shí)，水和桶的合重心最低？

圖1 例2示意圖

則水和桶的合重心的高度可以表達(dá)為：

3.3 在牛頓運(yùn)動(dòng)定律中深挖均值不等式

例3如圖2所示，粗糙的水平地面上有三塊材料完全相同的木塊 a、b、c，質(zhì)量均為 m，b、c 之間用輕質(zhì)細(xì)繩連接?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在c上，三者開(kāi)始一起做勻加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中把一塊橡皮泥粘在某一木塊上面，系統(tǒng)仍加速運(yùn)動(dòng)，且始終沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)。則在粘上橡皮泥并達(dá)到穩(wěn)定后，下列說(shuō)法正確的是（ ）

圖2 例3示意圖

A.無(wú)論粘在哪個(gè)木塊上面，系統(tǒng)的加速度都將減小

B.若粘在a木塊上面，繩的拉力減小，a、b間摩擦力不變

C.若粘在a木塊上面，繩的拉力增大，a、b間摩擦力增大

D.若粘在c木塊上面，繩的拉力和a、b間摩擦力都減小

將質(zhì)量為m0的橡皮泥粘在a木塊上之后，a、b間摩擦力變?yōu)椋?/p>

解析本題的正確答案A、D很容易能夠選出來(lái)，這里不再贅述。為進(jìn)一步深挖均值不等式的應(yīng)用，對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行再研究。教師可以將B選項(xiàng)的嚴(yán)格證明作為一個(gè)思考題布置給學(xué)生，激發(fā)他們的探究精神。

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以得到，將質(zhì)量為m0的橡皮泥粘在a木塊上之前，a、b間摩擦力為：

這意味著，若 F＝4.5μmg，即 m0＝0 時(shí)，即不粘橡皮泥時(shí)，已經(jīng)有 f′max，再往上面粘橡皮泥，則 a、b 間摩擦力會(huì)減小。若 F＜4.5μmg，均值不等式無(wú)法取等，所以往a木塊上粘橡皮泥，則a、b間摩擦力會(huì)減小。若 F＞4.5μmg，當(dāng) m0取得一個(gè)大于零的值時(shí)，能取到f′max，所以逐漸往a木塊上粘橡皮泥，則a、b間摩擦力會(huì)先增加再減小。所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

這樣的思考題，不僅能培養(yǎng)學(xué)生利用均值不等式解決物理問(wèn)題的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神。

3.4 在平拋運(yùn)動(dòng)中識(shí)別均值不等式

在對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的物體進(jìn)行分析時(shí)，在豎直面限制問(wèn)題、水平面限制問(wèn)題、斜面限制問(wèn)題、拋物面限制問(wèn)題、圓弧面限制問(wèn)題都涉及到極值問(wèn)題的求解，相關(guān)的極值問(wèn)題已經(jīng)有文章作出過(guò)比較全面的歸納［7］，這里不再重復(fù)。此處只列舉一例比較有代表性的物理情境。

例4探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一個(gè)山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀。隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)坡面。如圖3所示，以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy。已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為，探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m。人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g。此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最??？動(dòng)能的最小值為多少？

圖3 例4示意圖

這個(gè)在平拋運(yùn)動(dòng)中結(jié)合動(dòng)能定理處理極值的問(wèn)題，不僅涵蓋了函數(shù)的思想，還從更加靈活的角度，在配方的情況下運(yùn)用了均值不等式。通過(guò)這個(gè)式子，學(xué)生對(duì)于在物理情境中利用均值不等式解決問(wèn)題的感悟會(huì)更加深刻。

3.5 在萬(wàn)有引力中變換均值不等式

例5設(shè)想人類開(kāi)發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開(kāi)采前的圓周軌道運(yùn)動(dòng)，則與開(kāi)采前相比（ ）

A.地球與月球的萬(wàn)有引力將變大

B.地球與月球的萬(wàn)有引力將變小

C.月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變長(zhǎng)

D.月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短

解析正確答案B、D中的D選項(xiàng)很容易判斷，這里不再贅述。關(guān)鍵是B選項(xiàng)的處理方式就需要用到均值不等式了：

3.6 在動(dòng)量守恒中融入均值不等式

例6A球的質(zhì)量是mA，以某一速度v0沿光滑水平面向靜止的B球運(yùn)動(dòng)，B球的質(zhì)量是mB，A與B發(fā)生正碰，碰撞過(guò)程中機(jī)械能不損失，當(dāng)mA不變，而B(niǎo)球質(zhì)量取不同值時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A.mB＝mA時(shí)，碰撞后B球的速度最大

B.mB＝mA時(shí)，碰撞后B球的動(dòng)能最大

C.mB＜mA時(shí)，mB越小，碰撞后 B 球速度越大

D.mB＞mA時(shí)，mB越大，碰撞后 B 球動(dòng)量越大

【答案】BCD

由于碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒，能夠很快得出碰后B球的速度表達(dá)式為：

當(dāng)mB越小，有vB越大，于是A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確。

在本情境中，為了化簡(jiǎn)出均值不等式的形式，采取了分子、分母同除以變量mB的方式，這個(gè)方式在不需要采用均值不等式時(shí)用于處理分子分母都有變量的表達(dá)式也非常便捷。

3.7 在電學(xué)實(shí)驗(yàn)中活用均值不等式

例7在測(cè)定電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)室提供了合適的實(shí)驗(yàn)器材。某同學(xué)誤將測(cè)量電路連接成如圖4所示，其他操作正確，根據(jù)電壓表的讀數(shù)U和電流表的讀數(shù)I，畫(huà)出U-I圖像如圖5所示，可得電源的電動(dòng)勢(shì)：

圖4 例7示意圖

圖5 U-I圖

E＝_______V，內(nèi)電阻 r＝_______Ω（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。

解析此題的關(guān)鍵在于R1被分為了兩個(gè)部分，而這兩個(gè)部分是并聯(lián)關(guān)系。假設(shè)R1左邊部分的阻值為x，于是這個(gè)并聯(lián)部分的阻值為：。沿用例5中和定積最大的思想可得，當(dāng) x＝R1-x即時(shí)，R并取最大值。所以，圖 5 中的（0.5 A，2.5 V）這一點(diǎn)就是當(dāng)滑片在R1中間時(shí)測(cè)量的值。此時(shí)干路電流為電流表示數(shù)的兩倍，由閉合電路歐姆定律可以得出對(duì)應(yīng)的方程。

由于有兩個(gè)變量，所以還需要再列一個(gè)方程，當(dāng)滑動(dòng)變阻器滑片左端阻值為x時(shí)的干路電流和當(dāng)其左端阻值為（R-x）時(shí)的干路電流相等，而電流表測(cè)量的分別為阻值為x支路的電流和阻值為（R-x）支路的電流。所以，可以等效認(rèn)為：圖5中電壓相等的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電流值分別表示兩個(gè)支路的電流，其和即為干路電流。于是，從圖5中可以找到電壓相等的（0.33 A，2.4 V）和（0.87 A，2.4 V）兩個(gè)點(diǎn)。可以等效為當(dāng)滑片處于這個(gè)位置時(shí)，此時(shí)并聯(lián)的兩個(gè)支路的電流分別為0.33 A和0.87 A，此時(shí)的干路電流就是0.33 A+0.87 A=1.2 A，于是由閉合電路歐姆定律可以得到第2個(gè)方程。

兩個(gè)方程聯(lián)立就可以得出電源電動(dòng)勢(shì)大小為 3.0 V，電源內(nèi)阻大小為 0.50 Ω。

4 結(jié)論

高中物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，其中關(guān)于數(shù)學(xué)分析能力的培養(yǎng)也不是簡(jiǎn)單的一個(gè)例題就能一蹴而就的。核心素養(yǎng)真正得到發(fā)展的學(xué)生一方面能夠在不同的物理情境中識(shí)別并使用相同的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，另一方面他們也能在同一個(gè)物理情境中運(yùn)用不同的物理方法進(jìn)行求解，并比較這些方法。這兩個(gè)方面分別對(duì)應(yīng)了科學(xué)推理方法的縱向培養(yǎng)和不同推理方法的橫向?qū)Ρ?。本文只專注于同一個(gè)科學(xué)推理方法在不同物理情境中應(yīng)用的縱向的培養(yǎng)方式，選取了學(xué)生在高中階段開(kāi)始接觸的均值不等式，這一對(duì)他們而言可能還比較陌生的數(shù)學(xué)工具作為載體，展示了其在高中物理的不同知識(shí)板塊的應(yīng)用場(chǎng)景。當(dāng)然，這些場(chǎng)景可能采取其他的分析方式能夠更快地得出結(jié)論，但是學(xué)生掌握一種工具最好的方式就是反復(fù)使用這個(gè)工具，熟練使用了之后才能在不同的工具中進(jìn)行選擇。希望通過(guò)本文的嘗試，能夠讓更多的學(xué)生掌握均值不等式這一工具在物理問(wèn)題分析中的運(yùn)用方法，也為他們今后熟練應(yīng)用其他數(shù)學(xué)工具提供一點(diǎn)幫助。