基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系空間直線度偏差評(píng)價(jià)

杜紅楓，陳曉航，王治忠，張乃方

（1.西安交通大學(xué) 科學(xué)與教育發(fā)展研究院，陜西 西安 710049；2.西安航天發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司，陜西 西安 710061）

0 引言

空間直線度偏差是指實(shí)際空間直線相對(duì)于理想空間直線的偏移變動(dòng)量。在機(jī)械制造與檢測(cè)測(cè)量領(lǐng)域中，準(zhǔn)確評(píng)價(jià)空間直線度偏差具有重要意義。在大尺寸軸、孔類零件的生產(chǎn)和加工過程中，受加工設(shè)備、加工方式的影響使零件產(chǎn)生空間直線度偏差，會(huì)直接影響產(chǎn)品的性能、壽命和質(zhì)量。因此，建立一套符合直角坐標(biāo)系下的空間直線度偏差測(cè)量與評(píng)價(jià)方法十分必要。

在前期開展的研究中［1-4］，空間直線度偏差的定義與基本數(shù)學(xué)模型已被建立，為后續(xù)研究空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法提供了良好的基礎(chǔ)。目前，空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法分為幾何誤差建模方法和參數(shù)優(yōu)化方法兩類。

幾何誤差建模方法依靠誤差模型的空間幾何關(guān)系建立偏差評(píng)價(jià)模型。文獻(xiàn)［5］提出了一種空間直線度坐標(biāo)測(cè)量的不確定度計(jì)算方法，以保證空間直線度坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果的完整性和有效性；文獻(xiàn)［6］和［7］分別基于最小二乘方法提出了改進(jìn)的空間直線度偏差評(píng)價(jià)模型，進(jìn)而提高測(cè)量與評(píng)價(jià)的正確性。幾何誤差建模方法適用于數(shù)據(jù)量不大的情況，但是由于誤差模型與測(cè)量結(jié)果直接相關(guān)，精確建模難度較大。為了降低建模難度，提高計(jì)算精度，文獻(xiàn)［8］提出了一種基于切比雪夫范數(shù)的空間直線擬合模型，以提高軸線的擬合精度；文獻(xiàn)［9］至［11］提出了不同的基于幾何關(guān)系優(yōu)化的空間直線度偏差線性逼近算法，在一定程度上提高了測(cè)量精度，但是計(jì)算效率有待提升。

參數(shù)優(yōu)化方法的原理是將測(cè)量結(jié)果作為最優(yōu)解進(jìn)行尋優(yōu)，本質(zhì)上屬于非線性優(yōu)化問題，適用于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)計(jì)算難以處理的求解過程。文獻(xiàn)［12］和［13］給出了基于遺傳算法的空間直線度誤差評(píng)定方法，遺傳算法可解決幾何優(yōu)化中存在的不足，但變量初始變化范圍及算法參數(shù)選取會(huì)在一定程度上影響結(jié)果的穩(wěn)定性。為了提高計(jì)算效率，一些學(xué)者利用智能優(yōu)化算法［14-15］處理測(cè)點(diǎn)擬合軸線的方向向量；也有一些學(xué)者研究了其它多目標(biāo)優(yōu)化算法，文獻(xiàn)［16］至［21］建立了空間直線度偏差計(jì)算模型，將非線性優(yōu)化問題線性化處理。由于數(shù)據(jù)處理過程中，優(yōu)化目標(biāo)和核心尋優(yōu)策略存在差異，導(dǎo)致參數(shù)優(yōu)化方法在一些實(shí)際應(yīng)用條件下計(jì)算效率較低。

為解決目前直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法建模難度大的問題，提出了基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法。以直角坐標(biāo)系下空間直線度測(cè)量法為研究對(duì)象，建立了空間直線度偏差評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型。著重研究了空間直線度偏差測(cè)量模型、基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差評(píng)價(jià)模型、基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小區(qū)域評(píng)價(jià)方法，依托模型點(diǎn)特征關(guān)系，高效、準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)系下的空間直線度偏差評(píng)價(jià)。最后利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)開展測(cè)量實(shí)驗(yàn)，對(duì)該方法的可行性與準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 空間直線度測(cè)量模型與數(shù)學(xué)模型

1.1 直角坐標(biāo)系下空間直線度的測(cè)量模型

空間直線度偏差的測(cè)量模型由測(cè)量評(píng)價(jià)空間決定。截面測(cè)量法是圓柱體幾何量偏差最有效的測(cè)量評(píng)價(jià)空間模式［22］，本文提出的空間直線度偏差測(cè)量模型建立在截面測(cè)量法的基礎(chǔ)上。如圖1所示，直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差測(cè)量模型由采樣、定心、擬合、評(píng)價(jià)四個(gè)部分組成，最后通過軸線的控制位置獲得空間直線度偏差測(cè)量與評(píng)價(jià)的結(jié)果。

1）采樣：在測(cè)量空間中通過測(cè)量?jī)x器獲得被測(cè)圓柱體具體形貌的過程被稱為采樣，通過采樣獲得被測(cè)圓柱體位置參數(shù)，使被測(cè)圓柱體以數(shù)字形式復(fù)現(xiàn)。

2）定心：截面測(cè)量法可獲得多個(gè)截面輪廓的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，將截面輪廓坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入數(shù)學(xué)模型，可計(jì)算得出截面中心位置。計(jì)算獲得多個(gè)截面輪廓中心，從而真實(shí)客觀地獲取多截面的共有軸線。

3）擬合：對(duì)多個(gè)測(cè)量截面中心進(jìn)行線性擬合，得到空間直線度偏差測(cè)量與評(píng)價(jià)基準(zhǔn)—圓柱體中心軸線。中心軸線是實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)，也是圓柱體位置校正的基準(zhǔn)線。

4）評(píng)價(jià)：在確定中心基準(zhǔn)軸線后，需要對(duì)圓柱體中心軸線空間位置進(jìn)行變換與投影。利用最小二乘法和最小區(qū)域法獲得包容軸線的圓柱半徑以對(duì)空間直線度偏差進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1.2 直角坐標(biāo)系下空間直線度的數(shù)學(xué)模型

直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差的測(cè)量數(shù)據(jù)以笛卡爾坐標(biāo)數(shù)據(jù)為主，這類數(shù)據(jù)由符合笛卡爾坐標(biāo)系的測(cè)量?jī)x器（如三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)、坐標(biāo)投影儀等）獲得。根據(jù)直角坐標(biāo)系下的空間直線度偏差測(cè)量模型，將被測(cè)圓柱體放置于直角坐標(biāo)系內(nèi)。在圓柱體上沿軸向方向均勻選取測(cè)量截面S1，S2，…Si（所有測(cè)量截面S均與儀器測(cè)量坐標(biāo)系基準(zhǔn)測(cè)量平面平行），測(cè)量截面數(shù)N≥ 5，i= 1，2，3，…N。每個(gè)測(cè)量截面的測(cè)量點(diǎn)數(shù)M≥ 5，各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)為Pij（xij，yij，zij），j= 1，2，3，…M。如果被測(cè)圓柱體零件軸向方向與Z軸平行，單一測(cè)量截面輪廓F（x，y）可表示為

F(x,y)=C1x2+C2y2+C3xy+x+C4y+C5（1）式中：C1，C2，C3，C4，C5為空間單一測(cè)量截面的輪廓系數(shù)。

為了降低計(jì)算誤差，將式（1）中x的系數(shù)設(shè)置為1。設(shè)置對(duì)稱矩陣A和B，根據(jù)單一測(cè)量截面的輪廓數(shù)據(jù)，利用最小二乘法計(jì)算截面輪廓系數(shù)。A和B的表達(dá)式為

則截面輪廓系數(shù)矩陣C為

其具體表達(dá)式為

當(dāng)獲得第i個(gè)截面輪廓系數(shù)C1i，C2i，C3i，C4i，C5i后，可得第i個(gè)測(cè)量截面中心坐標(biāo)Poi（xoi，yoi，zoi），其中

直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評(píng)價(jià)模型的基礎(chǔ)是確定中心軸線位置。在截面測(cè)量法中，需要對(duì)多個(gè)測(cè)量截面中心進(jìn)行空間擬合處理，從而獲得被測(cè)圓柱體的中心軸線。設(shè)圓柱體零件軸線的空間向量n=（m，n，1），x0和y0是空間軸線與XOY坐標(biāo)平面的交點(diǎn)P0（x0，y0，0）的坐標(biāo)，利用最小二乘法獲得被測(cè)圓柱體軸線的空間表達(dá)式為

將被測(cè)圓柱體的多個(gè)測(cè)量截面中心用軸線相關(guān)聯(lián)，可獲得測(cè)量空間中被測(cè)圓柱體的軸線，如圖2所示。

圖2 圓柱體空間軸線模型Fig.2 Model of spatial axis of cylinder

通過最小二乘法對(duì)多個(gè)測(cè)量截面中心進(jìn)行擬合，可獲得被測(cè)圓柱體軸線表達(dá)式為

1.3 直角坐標(biāo)系下測(cè)量空間中的統(tǒng)一

獲得了被測(cè)圓柱體的空間軸線后，需要對(duì)軸線及各個(gè)測(cè)量截面中心進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化。坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是將測(cè)量坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系統(tǒng)一，從而降低計(jì)算過程中產(chǎn)生的誤差，并提高模型計(jì)算效率。在直角坐標(biāo)系下，坐標(biāo)轉(zhuǎn)化包括坐標(biāo)的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。為了滿足測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的要求，以圖2中XOY坐標(biāo)平面作為基準(zhǔn)坐標(biāo)平面，由此獲得的旋轉(zhuǎn)與平移組合轉(zhuǎn)化矩陣TXOY為

式中：α，β分別為軸線繞直角坐標(biāo)系X軸，Y軸的旋轉(zhuǎn)角度，分別為坐標(biāo)沿X軸，Y軸的平移量。

測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換完成后，需要根據(jù)基準(zhǔn)坐標(biāo)平面對(duì)測(cè)量坐標(biāo)值進(jìn)行平面投影。以XOY坐標(biāo)平面作為基準(zhǔn)坐標(biāo)平面，對(duì)應(yīng)的投影轉(zhuǎn)化矩陣為

2 空間直線度偏差評(píng)價(jià)模型

利用多個(gè)測(cè)量截面中心的空間測(cè)量坐標(biāo)在基準(zhǔn)坐標(biāo)平面的投影數(shù)據(jù)對(duì)空間直線度偏差進(jìn)行評(píng)價(jià)，即確定截面中心投影數(shù)據(jù)的包絡(luò)區(qū)域。符合最小條件的空間直線度偏差為包絡(luò)被測(cè)圓柱體測(cè)量截面中心的最小的圓柱直徑，即空間包絡(luò)被測(cè)圓柱體軸線的最小圓柱的直徑。

2.1 空間直線度偏差最小二乘評(píng)價(jià)模型

設(shè)各個(gè)測(cè)量截面中心點(diǎn)到軸線的距離為L(zhǎng)oi，則最小二乘空間直線度偏差SDLS為

最小二乘空間直線度偏差評(píng)價(jià)模型由距離軸線最遠(yuǎn)的測(cè)量截面中心確定，即“1+0”模型，該模型在投影面的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 最小二乘空間直線度偏差評(píng)價(jià)模型Fig.3 Model of least square evaluation for spatial straightness deviation

“1 + 0”模型是指1個(gè)特征點(diǎn)必須在包絡(luò)所有測(cè)量截面中心的圓柱面投影輪廓上，即這個(gè)特征點(diǎn)距離軸線最遠(yuǎn)。另外，在具有直角坐標(biāo)系的測(cè)量?jī)x器中，空間直線度偏差的測(cè)量應(yīng)盡量滿足“小偏差、小誤差”條件。假設(shè)測(cè)量誤差足夠小，且可以降低被測(cè)圓柱工件軸線的位置誤差，為了降低測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，采樣點(diǎn)數(shù)量應(yīng)為偶數(shù)，且采樣點(diǎn)在測(cè)量路徑上應(yīng)等間隔分布。

2.2 空間直線度偏差最小區(qū)域評(píng)價(jià)模型

最小區(qū)域空間直線度偏差是符合最小條件評(píng)定要求的。按照最小條件評(píng)定空間直線度偏差的本質(zhì)是尋找最優(yōu)的被測(cè)圓柱體空間直線位置，進(jìn)而獲取Loi的最優(yōu)解。由于空間直線度偏差模型為單一包容輪廓模型，參考圓柱度偏差的最小區(qū)域評(píng)價(jià)模型，空間直線度偏差最小區(qū)域評(píng)價(jià)中包絡(luò)被測(cè)圓柱體軸線的輪廓由2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)或者4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，即“2 + 0”，“3 + 0”或者“4 + 0”模型，3種模型在投影面的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 最小區(qū)域空間直線度偏差評(píng)價(jià)模型Fig.4 Models of minimum zone evaluation for spatial straightness deviation

在圖4中，“2 + 0”，“3 + 0”，“4 + 0”模型分別指2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)特征點(diǎn)必須在包絡(luò)所有測(cè)量截面中心的圓柱面投影輪廓上，且這2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的投影截面輪廓圓半徑R最小。三種模型均不存在內(nèi)包絡(luò)圓柱面，因此無內(nèi)包絡(luò)圓柱特征點(diǎn)，這與圓柱度偏差評(píng)價(jià)模型存在區(qū)別。“2 + 0”模型是“3 + 0”模型的退化形式，“4 + 0”模型是“3 + 0”模型的進(jìn)化形式，三種模型中形成的包絡(luò)截面輪廓的最小外接圓直徑即為最小區(qū)域空間直線度偏差SDMZ，其表達(dá)式為

3 基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小區(qū)域評(píng)價(jià)

基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小區(qū)域評(píng)價(jià)建立在空間直線度偏差最小二乘評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上。基于點(diǎn)特征的最小區(qū)域評(píng)價(jià)由最小二乘評(píng)價(jià)模型演化而來。首先將被測(cè)圓柱的空間軸線和各個(gè)測(cè)量截面中心進(jìn)行空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，之后以圓柱體軸線作為投影軸對(duì)測(cè)量截面中心進(jìn)行投影，然后利用最小二乘方法獲得投影測(cè)量數(shù)據(jù)的軸心位置，并完成數(shù)據(jù)的初始處理。

在測(cè)量坐標(biāo)系投影面上，通過投影點(diǎn)獲得被測(cè)圓柱體最小二乘中心軸線投影點(diǎn)Op后，以O(shè)p點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)各測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行平移，獲得各點(diǎn)坐標(biāo)值P'oi（x'oi，y'oi），然后依據(jù)各測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建空間直線度偏差最小區(qū)域評(píng)價(jià)模型。具體步驟為：

1）在投影平面內(nèi)，從P'oi中找出距離Op最遠(yuǎn)的采樣點(diǎn)M1（xM1，yM1），以及距離M1最遠(yuǎn)的點(diǎn)M2（xM2，yM2）。

2）由M1，M2通過弦線截交關(guān)系中心V1（xV1，yV1）。由式（13）計(jì)算P'oi到V1（xV1，yV1）的距離，搜尋距離V1最遠(yuǎn)的點(diǎn)M3（xM3，yM3）。

若|V1M3| ≤ |V1M1|，則M1，M2為“2 + 0”模型的特征點(diǎn)，空間直線度的偏差為2|V1M1|；若|V1M3| >|V1M1|，則M1，M3繼續(xù)通過虛擬中心迭代。

3）當(dāng)M1，M2，M3迭 代 不 發(fā) 生 變 化 時(shí)，M1，M2，M3為“3 + 0”模型的特征點(diǎn)。通過3個(gè)點(diǎn)計(jì)算特征圓的圓心V2（xV2，yV2）的坐標(biāo)為

4）計(jì)算P'oi到V2的距離，搜尋距離V2最遠(yuǎn)的點(diǎn)M4（xM4，yM4）。若|V2M4| ≤ |V2M1|，M1，M2，M3構(gòu)成“3 + 0”模型，空間直線度偏差為2|V2M1|；若|V2M4| > |V2M1|，M1，M2，M4繼通過3個(gè)點(diǎn)計(jì)算特征圓的圓心進(jìn)行迭代。

5）當(dāng)M1，M2，M4迭代不發(fā)生變化時(shí)，M1，M2，M3，M4為“4 + 0”模型的特征點(diǎn)。通過四點(diǎn)計(jì)算特征圓的圓心V3，空間直線度偏差為2|V3M1|。由于空間坐標(biāo)的特殊性，“4 + 0”模型實(shí)質(zhì)是“3 + 0”模型的進(jìn)化形式。

4 空間直線度偏差測(cè)量與評(píng)價(jià)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法的有效性，結(jié)合實(shí)際測(cè)量件對(duì)研究?jī)?nèi)容進(jìn)行驗(yàn)證。測(cè)量對(duì)象為柴油內(nèi)燃機(jī)活塞頭部（缸內(nèi)導(dǎo)引面），需根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)獲得活塞頭部形狀與輪廓誤差。利用HEXAGON Global Class SR 575型三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)來測(cè)量和評(píng)價(jià)活塞活頭部5 ~ 25 mm處的直線度偏差，要求空間直線度偏差控制在0.05 mm以內(nèi)，測(cè)量截面采樣點(diǎn)數(shù)為400，測(cè)量截面數(shù)量為11個(gè)。實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.5 Experimental setup

實(shí)驗(yàn)中，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最大允許誤差（MPEp）為2.3 μm，定位可重復(fù)性為0.5 μm，實(shí)驗(yàn)室溫度條件為20 ℃。三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)頭分別對(duì)被測(cè)活塞頭部圓柱面測(cè)量5次，測(cè)量結(jié)果如表1所示。由測(cè)量結(jié)果中可知：最小二乘空間直線度偏差為0.0276 mm，最小區(qū)域空間直線度偏差為0.0246 mm；被測(cè)活塞頭部軸線的X，Y方向向量接近于0，說明Z軸方向向量為1，證明坐標(biāo)軸之間的誤差很小；最大測(cè)量相對(duì)誤差為1.5 μm，并且空間直線度偏差均小于0.05 mm符合要求，證明了基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法的有效性與準(zhǔn)確性。

表1 活塞頭部空間直線度偏差測(cè)量結(jié)果Tab.1 Measurement results of spatial straightness deviation of the piston head mm

5 結(jié)論

在分析現(xiàn)有空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法。根據(jù)評(píng)價(jià)模型的點(diǎn)特征關(guān)系，建立了直角坐標(biāo)系下最小區(qū)域空間直線度偏差評(píng)價(jià)方法。重點(diǎn)研究了空間直線度偏差測(cè)量的數(shù)學(xué)模型，以及基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小二乘和最小區(qū)域評(píng)價(jià)模型，有效降低了評(píng)價(jià)過程中的建模復(fù)雜度，提升了運(yùn)算效率。該方法可廣泛應(yīng)用于直角坐標(biāo)系下圓柱體類零件的空間誤差測(cè)量領(lǐng)域，對(duì)于控制圓柱體類部件的加工質(zhì)量具有重要意義。