例析含參數(shù)的一元一次方程問題

文／唐崇明

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到系數(shù)用字母來表示的一元一次方程，這樣的方程我們稱之為含字母系數(shù)的方程，也叫“含參方程”。這類問題題型多變，富有思考性。下面就讓我們一起探究此類問題吧！

類型一 利用方程的定義求參數(shù)的值

例1已知（k-2）x||k-1=3是關(guān)于x的一元一次方程，則k的值為______。

【解析】根據(jù)一元一次方程的定義可知：一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不等于0，而且方程必須是整式方程。

解：由題意知解得k=-2。

類型二 利用方程解求參數(shù)的值

例2已知關(guān)于x的方程3a（x+5）=6x+1無解，求a的值。

【解析】解決本題需先將方程轉(zhuǎn)化為“ax=b”的形式，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，此方程無解。

解：原方程可化為（3a-6）x=1-15a。

解得a=2。

問題拓展已知關(guān)于x的方程a（2x+b）=12x+6有無數(shù)多個(gè)解，求a、b的值。

【解析】參照上題的思路，解決本題需先將方程轉(zhuǎn)化為“ax=b”的形式，當(dāng)a=0 且b=0時(shí)，此方程有無數(shù)多個(gè)解。

解：原方程可化為（2a-12）x=6-ab。

因?yàn)樵匠逃袩o數(shù)多個(gè)解，

類型三 利用兩個(gè)方程解之間的關(guān)系求參數(shù)的值

例3已知關(guān)于x的方程=x-1與方程3（x-2）=4x-5的解相同，求a的值。

【解析】對(duì)于此類兩個(gè)方程具有相同解的問題，我們一般有如下的兩種思路來解決：第一種思路，先將第二個(gè)方程解出來，將求得的解代入第一個(gè)方程，求出參數(shù)a的值；第二種思路，分別將兩個(gè)方程解出來，由于兩個(gè)方程具有相同的解，可以得到關(guān)于參數(shù)a的方程，從而求出a的值。

解法一：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，所以，

解法二：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

問題拓展兩個(gè)關(guān)于x的方程分別是2（x-1）=3m-1與3x+2=-2（m+1），它們的解互為相反數(shù)，求m的值。

【解析】對(duì)于此題，我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程中均含有參數(shù)m，同時(shí)這兩個(gè)解互為相反數(shù)，因此利用例3 的第二種思路解決此題較為簡(jiǎn)單。首先分別用含有m的代數(shù)式表示出兩個(gè)方程的解，再根據(jù)解互為相反數(shù)，可以得到兩個(gè)解的和為0。

解：解方程2（x-1）=3m-1，得。

解方程3x+2=-2（m+1），得。

因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解互為相反數(shù)，

解得m=1。

類型四 利用方程的整數(shù)解求參數(shù)的值

例4已知方程x=6-mx是關(guān)于x的一元一次方程，當(dāng)m取什么整數(shù)時(shí)，方程的解為正整數(shù)？

【解析】此類方程的解為正整數(shù)，首先應(yīng)用含有m的代數(shù)式來表示方程的解，然后根據(jù)解為正整數(shù)以及m為整數(shù)這兩個(gè)條件，可以得知解中的分母是分子的正約數(shù)，最后得出m的值。

解：整理方程，得（m+1）x=6，

因?yàn)閤為正整數(shù)，且m為整數(shù)，

所以m+1 是6 的正約數(shù)，則m+1=1、2、3、6，即m=0、1、2、5。

類型五 利用方程的錯(cuò)解求參數(shù)的值

例5小明解關(guān)于x的方程去分母時(shí)，方程右邊的-2 沒有乘10，求得的解為，試求出方程正確的解。

【解析】對(duì)于此類題型，我們首先要將錯(cuò)解代入寫錯(cuò)的方程中，然后求出待定字母的值，再將求得的待定字母的值代入原方程，求出方程正確的解。

總之，在解決含有參數(shù)的一元一次方程的相關(guān)問題時(shí)，同學(xué)們需要認(rèn)真研讀題目，把握題意，針對(duì)問題的核心，將對(duì)應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程，最終得出答案。