指向數(shù)學(xué)理解的“正數(shù)與負(fù)數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

黃賢明 (江蘇省蘇州高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215129)

1 引言

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)的頒布，義務(wù)教育階段負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)有了新變化.在小學(xué)階段，負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域剝離出來，安排到“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的第三學(xué)段，設(shè)計(jì)了“如何表達(dá)具有相反意義的量”的主題活動(dòng).活動(dòng)中強(qiáng)調(diào)負(fù)數(shù)的情境解釋，感受負(fù)數(shù)是源自生活且服務(wù)生活的數(shù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感.在初中階段，《標(biāo)準(zhǔn)》中添加了“理解負(fù)數(shù)的意義”這一內(nèi)容要求，并給出了相關(guān)案例，以期從歷史的角度發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)引入的目的與意義，感悟負(fù)數(shù)的本質(zhì)特征，并弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)螺旋上升的過程，小學(xué)階段的負(fù)數(shù)歸為“綜合與實(shí)踐”，其目的是以數(shù)學(xué)活動(dòng)為載體，讓學(xué)生在生活中感受、發(fā)現(xiàn)、表達(dá)具有相反意義的量，并在歸納、比較中感悟負(fù)數(shù)的價(jià)值，即“了解負(fù)數(shù)的意義”；初中階段的負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)則強(qiáng)調(diào)“理解”，不僅是對負(fù)數(shù)本身的理解，更是對其符號(hào)意義、數(shù)學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值等多角度、高水平的理解.

2 數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵闡述

2.1 數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

“理解”作為描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，《標(biāo)準(zhǔn)》中給出的含義是：描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系[1].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在理解.從結(jié)果上看，數(shù)學(xué)理解是指學(xué)習(xí)者能夠描述相關(guān)數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵、區(qū)別、聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并能夠隨時(shí)提取應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題；從過程上看，數(shù)學(xué)理解是在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對象外部表征的基礎(chǔ)上，找尋新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，并納入學(xué)習(xí)者的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的平衡，從而達(dá)到對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)與理解[2].不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)理解是建立在學(xué)習(xí)者原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過教師的引導(dǎo)，促使學(xué)習(xí)者對新舊知識(shí)形成聯(lián)結(jié)，以此達(dá)到理解數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)并將其應(yīng)用于解題的目的.

2.2 數(shù)學(xué)理解的過程模型

從過程上看，學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解是一種內(nèi)在心理過程，更是一個(gè)層級(jí)發(fā)展的過程.學(xué)生數(shù)學(xué)理解的發(fā)展會(huì)依次經(jīng)歷五個(gè)階段[3]，即理解層級(jí)過程模型(如圖1).經(jīng)驗(yàn)性理解是學(xué)習(xí)者基于原有經(jīng)驗(yàn)而對數(shù)學(xué)對象產(chǎn)生的起始性理解.這種理解大多是淺層的、不全面的，僅僅是學(xué)習(xí)者對日常生活中對客觀事物的體驗(yàn)與感悟.形式化理解是學(xué)習(xí)者在一定的刺激下，將經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行整理、組織、重新表征，使學(xué)習(xí)對象與其原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建聯(lián)結(jié)，進(jìn)而形成對新知本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí).結(jié)構(gòu)化理解是一種結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)型的理解，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)對象及其知識(shí)體系脈絡(luò)的把握.遷移性理解是在結(jié)構(gòu)化理解的基礎(chǔ)上，能夠靈活將新知遷移到陌生的情境中，解決探究性、拓展性的數(shù)學(xué)問題.文化性理解有兩層含義，一是學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)對象背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)與理解，二是學(xué)生通過歸納小結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，理解學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思想方法，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)品格.文化性理解貫穿于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)始終，同時(shí)各理解層級(jí)也為文化性理解奠定基礎(chǔ)，提供“養(yǎng)料”，最終構(gòu)成相互作用、共同發(fā)展的有機(jī)整體.

圖1

3 指向數(shù)學(xué)理解的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 情境創(chuàng)設(shè)：激活經(jīng)驗(yàn)性理解

問題1小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)過很多“數(shù)”，在下面這則自我介紹中出現(xiàn)了哪些數(shù)？

活動(dòng)1嘗試將這些數(shù)按照一定的規(guī)則分類.

教師引導(dǎo)學(xué)生逐漸完善對這些數(shù)的刻畫，指出有限小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為(視為)分?jǐn)?shù).

數(shù)的產(chǎn)生最早源于人類的計(jì)數(shù)、排序，產(chǎn)生了數(shù)1，2等正整數(shù).由于要表示“空位”“沒有”，數(shù)0就應(yīng)運(yùn)而生.又隨著測量、分物的需要產(chǎn)生了(正)分?jǐn)?shù)……這些數(shù)夠用嗎？在生活中你是否發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)？

情境1 (地理知識(shí))珠穆朗瑪峰海拔8 848.86 m，艾丁湖海拔-154 m.

情境2 (氣象知識(shí))全國最低氣溫預(yù)報(bào)，其中黑龍江省-20℃，廣東省20℃.

情境3 (社會(huì)經(jīng)濟(jì))2020年我國居民人均可支配收入增長4.7%，居民人均消費(fèi)支出同比增長-1.6%.

問題2這些數(shù)分別代表著什么含義？負(fù)數(shù)是如何產(chǎn)生的呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生借助情境中的相反意義的量來解釋這些數(shù)的含義，同時(shí)強(qiáng)調(diào)數(shù)0并非代表“沒有”，而是一個(gè)“分界點(diǎn)”.

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)的數(shù)出發(fā)，回顧數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展的歷史，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，順理成章地引出對負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí).再以三個(gè)情境激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性理解，讓學(xué)生提取相反意義的量的概念，感受負(fù)數(shù)的生活意義與應(yīng)用價(jià)值.

3.2 歸納提取：生成形式化理解

問題3什么是負(fù)數(shù)？什么是正數(shù)？請用自己的語言描述(如圖2).

圖2

中國古代數(shù)學(xué)家常常會(huì)用紅色(或正放)算籌表示正數(shù)，黑色(或斜放)算籌表示負(fù)數(shù)，而如今在數(shù)的前面添加“+”與“-”也相當(dāng)于對數(shù)進(jìn)行“標(biāo)記”，代表數(shù)的性質(zhì)，并非是運(yùn)算符號(hào).

設(shè)計(jì)意圖從具體的正負(fù)數(shù)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用對負(fù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)性理解歸納提取出負(fù)數(shù)的概念，構(gòu)建正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系，形成對負(fù)數(shù)的形式化理解，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)交流等能力.

3.3 意義再構(gòu)：形成結(jié)構(gòu)化理解

活動(dòng)2中國是最早使用負(fù)數(shù)的國家.數(shù)學(xué)家劉徽對正負(fù)數(shù)給出“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”的定義.在《九章算術(shù)》中給出了許多具有相反意義的量的例子，如：

(1)買十三豕(豬)和賣豕八；

(2)有余錢一千和錢不足六百.

請你用正負(fù)數(shù)來刻畫上述例子，并再列舉出幾組具有相反意義的量的例子.

例題 讀一讀，并指出下列數(shù)中的正數(shù)、負(fù)數(shù).

問題4在課前回顧了正整數(shù)與正分?jǐn)?shù)，能否借鑒過去的經(jīng)驗(yàn)，再將這些數(shù)細(xì)分呢？

小結(jié)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù).

設(shè)計(jì)意圖通過中國數(shù)學(xué)史的融入，滲透文化性理解，讓學(xué)生在歷史的情境中再構(gòu)負(fù)數(shù)的意義，促使學(xué)生形成對負(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)化理解.同時(shí)通過例題講解，構(gòu)建正負(fù)數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力與分類意識(shí).

3.4 實(shí)際應(yīng)用：達(dá)成遷移性理解

遷移1某人從學(xué)校出發(fā)向東走了100 m，再向西走200 m.

(1)若向東走100 m記為+100 m，那么向西走200 m記作什么？

(2)請你畫一畫他的行走軌跡，指出他最后所在的位置并用正負(fù)數(shù)表示.

遷移2某市中考體育的跳繩項(xiàng)目規(guī)定：每分鐘165個(gè)為滿分，若規(guī)定超過為正，不足為負(fù)，其中5位同學(xué)的成績記錄如下：-5，10，-18，0，1.

(1)“-5”“10”“0”的含義是什么？

(2)這五名同學(xué)分別跳了多少個(gè)？滿分率是多少？

設(shè)計(jì)意圖通過遷移練習(xí)，讓學(xué)生在新情境中應(yīng)用正負(fù)數(shù)的意義，再次強(qiáng)化對數(shù)0的認(rèn)識(shí)，同時(shí)以求滿分率的問題啟發(fā)學(xué)生從數(shù)的含義上考慮，促進(jìn)學(xué)生遷移性理解的達(dá)成.

3.5 自我總結(jié)：促進(jìn)文化性理解

總結(jié)提綱：

(1)在這節(jié)課中，你對負(fù)數(shù)有了哪些新的認(rèn)識(shí)？與你過去的知識(shí)有什么聯(lián)系與區(qū)別.

(2)在這節(jié)課中，你對數(shù)的分類有了哪些新認(rèn)識(shí)？

(3)在國外，負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)并沒有中國這樣順利，究竟是什么原因?qū)е碌哪兀空埨镁W(wǎng)絡(luò)或圖書館自行了解，并在下節(jié)課與大家分享.

設(shè)計(jì)意圖文化性理解貫穿著本節(jié)課的始終，總結(jié)環(huán)節(jié)更應(yīng)從整體的角度系統(tǒng)地梳理知識(shí)脈絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生建立新舊知識(shí)的思維聯(lián)結(jié)，并納入他們的經(jīng)驗(yàn)體系中.同時(shí)通過提出探究性問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，有效發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，形成對負(fù)數(shù)的綜合性、整體性、文化性的認(rèn)識(shí)與理解.

4 教學(xué)思考

4.1 聚焦“理解”的起點(diǎn)，立足原有認(rèn)知

學(xué)生在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)生活中已經(jīng)積累了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)，這些成為了初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也就是教師教學(xué)的起點(diǎn).“知識(shí)大廈”的構(gòu)建是一層層的累積，教師聚焦學(xué)生“理解”的起點(diǎn)，把握過去與現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異，以“為理解而教”的目標(biāo)指導(dǎo)日常教學(xué).數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)螺旋上升的過程，就負(fù)數(shù)而言，學(xué)生在小學(xué)階段就接觸過，那初中階段的負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)還應(yīng)該“炒冷飯”，再構(gòu)建負(fù)數(shù)的生活意義嗎？回答自然是否定的.學(xué)生已在小學(xué)階段經(jīng)歷了“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，充分感知了負(fù)數(shù)的由來與意義.而初中階段的負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)概念的抽象化、形式化，促進(jìn)學(xué)生形成對負(fù)數(shù)的高層次的理解，為接下來學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算作準(zhǔn)備.因此，初中負(fù)數(shù)教學(xué)應(yīng)起始于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性理解，通過呈現(xiàn)生活中負(fù)數(shù)的例子，激活學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生回顧負(fù)數(shù)的產(chǎn)生過程，并從歷史的角度出發(fā)，揭示負(fù)數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，促進(jìn)對負(fù)數(shù)的多角度的意義再構(gòu).

4.2 重視“理解”的深度，指向數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)理解的水平分記憶性理解水平、解釋性理解水平與探究性理解水平.對于負(fù)數(shù)的概念而言，記憶性理解水平就足以解決大部分考試中的問題，但較低層次的理解水平并不能滿足學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)與發(fā)展的需要，教師應(yīng)該以更高層次的理解作為教學(xué)目標(biāo)的導(dǎo)向.例如，以中國古代歷史中對負(fù)數(shù)的表示來類比如今負(fù)數(shù)符號(hào)的含義，進(jìn)一步揭示“-”的本質(zhì)內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生從符號(hào)的角度深入理解負(fù)數(shù).再例如，在遷移性理解環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了行走問題，將負(fù)數(shù)引入數(shù)軸中，既通過操作、思考等形式讓學(xué)生感知數(shù)軸、絕對值、有理數(shù)運(yùn)算等內(nèi)容，理解負(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)運(yùn)算中的價(jià)值意義，又能夠讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、數(shù)形結(jié)合意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

4.3 關(guān)注“理解”的廣度，浸潤數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)理解不應(yīng)僅僅停留在對知識(shí)本身的理解，更應(yīng)該將知識(shí)與其知識(shí)結(jié)構(gòu)、文化背景、思想方法等構(gòu)件聯(lián)結(jié)，形成對數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、整體性的理解.數(shù)學(xué)承載著思想與文化，數(shù)學(xué)文化可作為課堂的“潤滑劑”.《標(biāo)準(zhǔn)》中多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化的重要性，指出數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要關(guān)注數(shù)學(xué)文化，繼承與弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)文化自覺和文化自信.在數(shù)學(xué)理解中，文化性理解滲透于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)始終，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的各個(gè)環(huán)節(jié).因此，在負(fù)數(shù)的教學(xué)中教師可以選取適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史料，穿插在教學(xué)的始終，如：以數(shù)的發(fā)展作為引入，揭示負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性；以古代負(fù)數(shù)的表示方法加深學(xué)生對負(fù)數(shù)符號(hào)的理解；課后查閱資料，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，促進(jìn)學(xué)生對負(fù)數(shù)的文化性理解.通過數(shù)學(xué)文化的融入，充分發(fā)揮負(fù)數(shù)所蘊(yùn)含的文化價(jià)值，達(dá)到以文化促理解、以文化育人的目的.