“自動控制原理”課程傳遞函數求解中“一例多解”教學方法的探究

張萍吳楠邢蕾

（銀川能源學院電力學院，寧夏 銀川 750105）

0 引言

當前，自動控制技術滲透到國民經濟各領域和社會生活各方面，在我國工業化、信息化與現代化建設中發揮著巨大作用。隨著技術革命和大規模復雜系統的發展，促使控制理論向智能控制理論發展[1]。但經典控制理論的形成，對控制科學的發展起到不可磨滅的推動作用。“自動控制原理”課程主要研究經典控制理論，它是以系統的數學模型為基本框架，以時域分析、根軌跡法和頻域分析法為主要分析、設計工具，在控制理論的分析中，傳遞函數貫穿始終[2，3]。由于課程教學內容量大、理論性強、知識抽象，學生時有晦澀難懂的感覺，存在教師難教、學生難學的現象[4，5]。針對以上問題，本文以傳遞函數的求解為例，將“一例多解”教學方法應用其中，歸納總結了四種求取傳遞函數的方法，供大家參考。

1 傳遞函數

傳遞函數指線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，記為G（s）=。式中：G（s）為線性定常系統的傳遞函數；C（s）為系統輸出量的拉氏變換；R（s）為系統輸入量的拉氏變換。使用傳遞函數分析或設計系統時，需要說明：（1）傳遞函數在零初始條件下定義。（2）傳遞函數是復變量s的有理真分式，且所有系數均為實數[6]。（3）只適用于線性定常系統。（4）只適用于單輸入單輸出系統[7]。因此，傳遞函數原則上不能反映系統在非零初始條件下的全部運動規律[8]。

2 傳遞函數的求取方法

2.1 微分方程法

微分方程是描述自動控制系統動態特性最基本的方法。一個完整的控制系統通常由若干元器件或環節以一定方式連接而成，對系統中每個元器件或環節按照其運動規律列出其微分方程，然后將這些微分方程聯立起來，求出了整個系統的微分方程，再對微分方程進行拉氏變化，將其整理成輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，即得到系統的傳遞函數。

2.2 復阻抗法

對于由電阻、電容、電感組成的無源網絡等，在求取其傳遞函數時可直接用復阻抗法。線性元件的復阻抗是依據線性元件的V-I關系而成立的。三種基本線性元件即電阻R、電容C和電感L，各自的復阻抗分別為和Ls。復阻抗法即利用各元件的串聯、并聯等關系或遵從的物理規律直接列寫出表示輸出量與輸入量在復頻域s內的關系的方程，從而得到系統的傳遞函數[9]。

2.3 結構圖化簡法

控制系統的結構圖是用來描述系統中各元部件之間信號傳遞關系的數學圖形，表示了系統中各變量之間的因果關系以及對各變量所進行的運算[10]。控制系統的結構圖是一種網絡拓撲約束下的有向線路，由信號線、引出點、比較點和方框四個部分組成。

采用結構圖化簡法求取系統傳遞函數具體步驟是：（1）由系統原理圖繪制系統結構圖；（2）根據研究目的確定系統的輸入和輸出；（3）移動引出點或比較點，將串聯、并聯、反饋連接的方框由等效環節代替；（4）把閉環系統化簡成最基本的結構圖形式，并求出其總的傳遞函數。

2.4 梅遜公式法

梅遜公式法是在信號流圖基礎上利用梅遜公式求取傳遞函數的方法。它由節點和支路兩部分組成：梅遜公式給出了在系統信號流圖中，任意輸入節點與輸出節點之間的傳輸等于他們之間的增益，即傳遞函數，公式為：

式中：n為從輸入節點到輸出節點的前向通路的總數目；Δ為特征式；Pk為第k條前向通路總增益；Δk為第k條前向通路特征式的余因子式。

采用梅遜公式法來求解系統傳遞函數的具體步驟是：（1）繪制信號流圖，并標出各支路的增益；（2）利用梅遜公式求控制系統總增益，得到了系統的傳遞函數。

3 舉例說明

例題：圖1是由電阻R1和R2、電容C1和C2所組成的無源網絡，試以ui（t）為輸入、uo（t）為輸出，采用不同的方法求取該網絡的傳遞函數。

圖1 系統電路原理圖

解法一：微分方程法

據基爾霍夫定律，列寫微分方程組如下：

消去中間變量i1（t）、i2（t）、u1（t），整理得到該網絡的微分方程為：

零初始條件下，對上式兩邊同時取拉氏變換，整理得系統的傳遞函數為：

解法三：結構圖化簡法

將系統原理圖改畫為系統結構圖，并分別標出系統的三個比較點A、B、C和三個引出點1、2、3，如圖2所示。

圖2 系統結構圖

將比較點B前移、引出點2后移，并將各環節等效，得新的系統結構圖如圖3所示。

圖3 等效后系統結構圖

由負反饋傳遞函數計算公式得系統傳遞函數：

解法四：梅遜公式法

系統信號流圖，如圖4所示。

圖4 系統信號流圖

三個互不接觸的回路不存在，所以：

前向通路增益及其余子式為：

最后，由梅遜公式，得系統的傳遞函數為：

4 結語

應當指出，對于系統傳遞函數的計算，方法有很多。本文只介紹了其中的四類，而這四類方法各具特色。可以根據具體題目，有所選擇地使用。給定條件不同，選擇方法不同。

本文針對自動控制原理教學內容量大、理論性強、知識抽象的特點，以求解傳遞函數為例，將“一例多解”教學方法應用其中，歸納總結了四種求取傳遞函數的方法，既緩解了知識難于理解的問題，為例題求解尋求了多種路徑，也解決了教學手段單一的不足，使師生在教學過程中共同進步，享受獲取知識的滿足感和成就感，加強了課堂效果，提升了學習效率。希望能真正幫助大家共同學好“自動控制原理”這門課程，也希望對實際工程人員能有所裨益，歡迎共同探討交流。