幾種發射波束零陷展寬算法仿真分析

吳若增

（中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088）

0 引言

在作戰場景復雜的現代戰場中，電子對抗愈演愈烈，這極大壓縮了雷達等有源裝備生存空間。為應對敵方反輻射導彈、干擾機、偵察機等威脅，以及各種雷達對抗場景，發射波束置零技術得到廣泛應用，以此提高我方雷達生存率。發射波束置零技術是指我方雷達在敵方干擾機、偵查機等設備所在方向上不發射功率，或者發射功率極低，即發射波束圖在所在方向上形成零陷，使敵方設備無法對我方雷達進行偵查截獲。

但由于機械平臺抖動、干擾偵察設備運動、系統測角誤差等因素，雷達發射波束圖零點位置容易出現偏移。因此，采用發射波束零陷展寬技術手段，即在置零方向上形成寬零陷，使得雷達系統對置零方向估計或置零方向先驗信息存在一定誤差的條件下，仍可在置零方向區間形成零陷。

目前常用的發射波束零陷展寬算法有Capon零陷展寬算法、導數約束零陷展寬算法、正交投影零陷展寬算法、線性約束零陷展寬算法、Mailloux零陷展寬算法、靜態波束零陷展寬算法和導向矢量重構零陷展寬算法等。本文對以上算法在特定場景進行仿真分析，比較以上算法性能，給出仿真結論，為在算法工程化應用方面提供一定的指導意義。

1 算法介紹

1.1 Capon零陷展寬算法

Capon零陷展寬算法是對零陷區間的導向矢量進行積分，然后進行空域濾波，即可在置零方向上形成零陷展寬。

式中：w為權向量，Q為零陷區間構成的數據矩陣；α（θ0）為置零方向的導向矢量。

對w求梯度，令其為零，可得Capon零陷展寬算法的最優權向量表示為：

1.2 導數約束零陷展寬算法

導數約束零陷展寬算法是讓方向圖函數和其高階導數在零點方向上為零[1，2]，即可在置零方向上形成零陷展寬。

令波束圖函數f（θ）對φi=2πdsinθi/λ的高階導數在θi，i=1，…，K處為零，其中λ為雷達工作波長，d為陣元間距，θi為置零方向，共K個置零方向。即：

式中：B=diag（0 1…M-1）；M為陣元數。由上式可得BmwHa（θ）θ=θi=0，即權矢量w投影到由向量Bma（θi）構成的（1+q）K維正交補空間中。因此，可以得出w滿足如下關系式：

AJ為置零方向的導向矢量矩陣。因此w可以表示為：

1.3 正交投影零陷展寬算法

正交投影零陷展寬算法引入施密特正交化（GSO）的思路[3，4]，采用遞推的方式來進行正交補空間的推導，不需要矩陣求逆運算，可得到最佳權的表達式為：

式中：P為置零方向正交投影補空間。

1.4 線性約束零陷展寬算法

線性約束零陷展寬算法是零陷展寬算法直接推廣[5，6]，在Capon零陷展寬算法中，約束條件只有wHa（θ0）=1。而線性約束零陷展寬算法包含多個約束條件，具體表示為：

其中，C∈CM×（L+P）代表約束矩陣，f∈C（L+P）×1代表對應的約束響應向量。這時的條件極值問題可以描述為

對式求梯度，可得線性約束零陷展寬算法的權向量為

1.5 Mailloux零陷展寬算法

Mailloux零陷展寬算法[7，8]主要思想是構造一個錐化矩陣T對導向矢量矩陣Rr進行拓展，即令

式中：“°”表示Hadamard乘法。對于錐化矩陣T的構造，Mailloux方法為

式中：L表示為虛擬置零點的數量；δ為虛擬置零點在sinθ域的間隔。假設零陷在sinθ的寬度為W，則δ=W/（L-1）。

假設期望方向的導向矢量為，可得Mailloux的零陷展寬算法權向量為

1.6 靜態波束零陷展寬算法

靜態波束零陷展寬算法原理是從靜態波束控制的角度，對權值進行二次約束，達到零陷展寬的目的[9]。

約束方程為：

利用Lagrange乘子可得靜態波束零陷展寬算法權向量為：

2 仿真分析

通過Matlab仿真實驗，對本文介紹的算法進行仿真實驗，主要分析單零點、不同零陷寬度條件下仿真實驗的結果。

仿真條件：20陣元的均勻線陣，陣元間距為半個波長。假設期望方向為0°，置零方向為-40°。

2.1 Capon零陷展寬算法

圖1給出了Capon零陷展寬算法在不同零陷寬度時的波束圖。如圖1所示，在不同的零陷寬度時，零陷的深度也有所不同。當零陷寬度較小時，零陷深度越深；零陷寬度較大時，零陷深度較淺。總體來說，用Capon零陷展寬算法在單置零角度時，零陷深度滿足在-100dB以下。

圖1 不同零陷寬度時的Capon零陷展寬算法波束圖

2.2 導數約束零陷展寬算法

導數約束零陷展寬算法零陷寬度與求導階數相關，求導階數越大，零陷寬度也越寬。圖2是導數約束零陷展寬算法在不同的求導階數時的波束圖。

從圖2中可以看出，零陷寬度、零陷深度與求導階數相關。在求導階數較小時（小于6階），隨著求導階數的增大，其零陷寬度和零陷深度也會隨之變寬變深，可以達到-200dB以下；當求導階數較大時（大于8階），零陷寬度會顯著變寬，但零陷深度也隨之變淺，增益提升到-130dB以下。

圖2 不同求導階數時的導數約束零陷展寬算法波束圖

2.3 正交投影零陷展寬算法

圖3給出了正交投影零陷展寬算法在不同零陷寬度時的波束圖。

由圖3可知，隨著零陷寬度的增大，零陷深度也逐漸抬高，當零陷寬度為8°時，零陷深度抬高到了-80dB。零陷寬度的變化沒有影響波束圖的主瓣和旁瓣，即在其他方向上不受零陷寬度的影響，具有一定的穩定性。

圖3 不同零陷寬度時的正交投影零陷展寬算法波束圖

2.4 線性約束零陷展寬算法

圖4給出了線性約束零陷展寬算法在不同零陷寬度時的波束圖。

由圖4可知，線性約束零陷展寬算法隨著零陷寬度的增加，零陷深度加深，同時波束圖的旁瓣抬高。當零陷寬度進一步增大時，可使波束圖失效。

2.5 Mailloux零陷展寬算法

圖5給出了Mailloux零陷展寬算法在不同零陷寬度時的波束圖。

由圖5可知，Mailloux零陷展寬算法具有較穩定的零陷深度，維持在-80dB左右，除零陷區間外，波束主瓣和旁瓣受零陷影響較小，同正交投影零陷展寬算法類似，具有一定的波束穩定性。

圖5 不同零陷寬度時的Mailloux零陷展寬算法波束圖

圖4不同零陷寬度時的線性約束零陷展寬算法波束圖

2.6 靜態波束零陷展寬算法

圖6 給出了靜態波束零陷展寬算法在不同零陷寬度時的波束圖。

由圖6可知，靜態波束零陷展寬算法在不同的零陷寬度條件下，零陷深度一直維持在-65dB左右，同時旁瓣幅度沒有出現抬升現象，具有一定的波束穩定性。

2.7 導向矢量重構零陷展寬算法

圖7給出了導向矢量重構零陷展寬算法在不同零陷寬度時的波束圖。

由圖7可知，導向矢量重構零陷展寬算法所產生的零陷寬度比理論要求的寬度較窄，零陷深度也比其他零陷展寬算法較淺。隨著零陷寬度的增大，零陷深度逐漸抬升，但對波束圖的主瓣和旁瓣無影響，故導向矢量重構零陷展寬算法也具有一定的波束穩定性。

圖7 不同零陷寬度時的導向矢量重構零陷展寬算法波束圖

3 結語

本文介紹了幾種發射波束零陷展寬算法，并對單零點、不同零陷寬度條件下進行仿真分析。其中Capon零陷展寬算法、導數約束零陷展寬算法、線性約束零陷展寬算法在寬零陷時保持了較深的零陷寬度，可以達到以下；正交投影零陷展寬算法不包含矩陣求逆運算，具有快速、靈活的特點；Mailloux零陷展寬算法、靜態波束零陷展寬算法、導向矢量重構零陷展寬算法對波束主瓣和旁瓣影響較小，但靜態波束零陷展寬算法零陷深度一直維持在左右，導向矢量重構零陷展寬算法零陷寬度比理論要求的寬度較窄。

圖6不同零陷寬度時的靜態波束零陷展寬算法波束圖