二次函數的應用問題

文／李瑤

二次函數是反映現實世界中變量間的數量關系和變化規律的常見的數學模型，是初中階段學習的重難點之一。同時，二次函數在實際生活中的應用也十分廣泛。下面就以2022年中考題中的利潤和面積問題為例進行分析解讀。

問題1利潤問題

例1（2022·山東濱州）某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件。假定每月的銷售件數y是銷售價格x（單位：元/件）的一次函數。

（1）求y關于x的函數表達式；

（2）當銷售價格定為多少元/件時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤。

【分析】（1）設一次函數的一般形式，利用待定系數法，解出k和b，即可得到y關于x的函數表達式。

（2）根據等量關系“利潤=銷量×（售價-進價）”，結合（1）中的函數表達式，列出二次函數表達式，配方后依據二次函數的性質即可求得利潤最大值。

解：（1）設y=kx+b（k≠0），

將（20，360）、（30，60）分別代入，

所以y=-30x+960。

（2）設每月獲得的利潤為w元，則

∵-30＜0，

∴當x=21時，w最大，最大值為3630。

答：當銷售價格定為21元/件時，每月獲得的利潤最大，最大利潤為3630元。

【點評】本題考查的是一次函數與二次函數在銷售方面的綜合應用。解題的關鍵是找準等量關系并明確二次函數的表達式，然后利用二次函數的性質求最值。

問題2面積問題

例2（2022·江蘇無錫）某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖1）。

圖1

（1）若矩形養殖場的總面積為36m2，求此時x的值；

（2）當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？

【分析】（1）首先，由矩形CDEF的面積是矩形BCFA的2倍，且AB=FC=ED，可以得出CD=2BC；其次，由柵欄的總長度為24m，可以用x表示出AB的長度；再次，根據矩形的面積公式“面積=長×寬”和矩形養殖場的總面積為36m2，列出一元二次方程；最后，由于墻的長度為10m，還要對方程的解進行檢驗，得出正確的答案。

解：（1）∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA的2倍，

∴CD=2BC=2x。

∴BD=3x。

根據題意，得3x（8-x）=36，

解得x1=2，x2=6。

當x=6時，3x=18＞10，不符合題意，舍去。

∴x=2。

答：此時x的值為2。

（2）∵0＜BD≤10，

∴0＜3x≤10。

設矩形養殖場的總面積為Sm2。

由（1）得S=3x（8-x）=-3（x-4）2+48。

∵-3＜0，0＜x≤

∴當時，S最大，最大值為

答：當x為時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為

【點評】本題考查了一元二次方程和二次函數在幾何圖形問題中的面積應用。依據數形結合用x表示出矩形的長和寬，以及掌握二次函數的性質是解題的關鍵。我們要特別注意，二次函數的最值不一定在對稱軸x=處取到，應結合實際情況，在自變量的取值范圍內求最值。