萬變不離其宗
——例說二次函數解決矩形面積最值問題

文／周艷

求矩形面積的最值問題是我們比較常見的問題，解決此類問題的關鍵是什么？如何建立函數模型解決此類問題？希望本文中的例子，能讓同學們體會到如何在變化的條件中尋找到不變的方法。

問題1用一根長22cm的鐵絲：

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？

【分析】此題是蘇科版數學教材九年級上冊第24頁的問題1，通過建立兩個一元二次方程，從能否解出實數根的角度來解決。現在，學過了二次函數的知識，我們不妨換個思路，嘗試通過函數模型解決此類問題。矩形的面積（y）會隨著矩形一邊（x）的變化而變化。

解：設這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm，則寬為（11-x）cm，矩形的面積為ycm2。

根據題意，得0＜x＜11。

∵a=-1＜0，∴函數圖像開口向下。

又∵0＜x＜11，

∴當時

∴能圍成面積是30cm2的矩形。

∴不能圍成面積是32cm2的矩形。

【總結】本題中存在兩個數量關系：矩形周長=2（長+寬）①，矩形的面積=長×寬②。在設長為x后，可以先利用①表示出寬，再利用②表示出面積，建構函數模型，得到二次函數表達式，隨后利用配方法求出面積最值，最后結合自變量的變化范圍得到面積變化范圍，由此判斷圍成的面積是否在范圍內。

此方法對比利用方程的方法，可以減少構建一元二次方程的個數，也較為容易理解。此方法的難點在于同學們能否通過問題情境感知到一個量隨著另一個量的變化而變化，從而選擇從函數角度來解決問題。

例題如圖1，一個矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長為60m且MN≥AD，另外三邊用總長100m的籬笆圍成。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖1

【分析】此題的變化有：增加了一面墻，將原矩形的四邊長度之和變為三邊長度之和；自變量的取值范圍要作出適當調整，AB長度的2倍小于籬笆總長，AD（BC）的長度不超過墻的長度。

解：設AB=xm，則BC=（100-2x）m。

解得20≤x＜50。

設矩形的面積為Sm2。

S=x（100-2x）=-2（x-25）2+1250。

∵a=-2＜0，∴函數圖像開口向下。

又∵20≤x＜50，

∴當x=25時，S最大值=1250。

∴矩形菜園ABCD面積S的最大值為1250m2。

【變式1】如圖2，利用舊墻和籬笆圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長為60m且MN≥AD，籬笆總長100m。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖2

【分析】本題增加了一條邊EF，利用例題中的方法，將BC的長度和自變量x的取值范圍作出適當調整即可。

解：設AB=xm，則BC=（100-3x）m。

設矩形的面積為Scm2。

∵a=-3＜0，∴函數圖像開口向下。

又∵

∴當時

∴矩形菜園ABCD面積S的最大值為

【變式2】如圖3，一個矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長為40m且MN≥AD，一邊BC上留有一個2m的門，另外三邊用總長100m的籬笆圍成。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖3

【分析】本題做了兩個改變：（1）增加了一個2m的門，有的同學會認為，門占了籬笆的長度，籬笆變成了98m。其實，籬笆的長度100m沒有任何改變，因為加了門，矩形菜園的三邊之和變為AB+BC+CD=（100+2）m。（2）墻的長度由60m變為40m，影響自變量x的取值范圍。

解：設AB=xm，則BC=（100+2-2x）m。

解得31≤x＜51。

設矩形的面積為Scm2。

∵a=-2＜0，∴函數圖像開口向下。

∵當31≤x＜51時，S隨x的增大而減小。

∴當x=31時，S最大值=1240。

【總結】本題中二次函數的頂點橫坐標x不在x的取值范圍31≤x＜51中，所以頂點的縱坐標不是本題的最大值。我們可以利用表達式畫出草圖（如圖4）來思考，在求出特殊點的坐標后，直接得出最值。

如圖4，當x=31時，S最大值=1240。

圖4

【變式3】如圖5，一個矩形菜園ABCD，一邊AD靠墻，墻MN長為am且MN≥AD，另外三邊用總長100m的籬笆圍成。求矩形菜園ABCD面積的最大值。

圖5

【分析】此題將墻的長度由具體的60、40轉變成了字母，體現從特殊到一般。通過以上題目的訓練，同學們應該能感受到墻的長度主要影響的是自變量x的取值范圍，從而明確了最值的情況不外乎有兩種：①頂點橫坐標在取值范圍內，則可將頂點的縱坐標直接作為本題最大值；②頂點橫坐標不在取值范圍內，則需要根據函數的增減性（或結合圖像）來判斷最值情況。

解：設AB=xm，則BC=（100-2x）m。

設矩形的面積為Scm2。

∵a=-2＜0，∴函數圖像開口向下。

①當，即a≥50時，取x=25，S最大值=1250。

②當，即0＜a＜50時，因 為隨x的增大而減小，所以取x=

綜上所述：當a≥50時，S最大值=1250；當0＜a＜50時

【歸納總結】通過以上幾題，同學們應能發現解決此類問題需要抓住的主要步驟為：根據數量關系確定自變量，再表示出矩形的面積（應變量），建立二次函數表達式。在整個過程中，我們一定要養成寫出自變量取值范圍的好習慣。就本類題型而言，主要考慮垂直于墻和平行于墻的兩條線段的實際意義，列出不等式組，確定自變量的范圍。最后，我們再結合自變量的取值范圍，看二次函數的頂點橫坐標是否在自變量取值范圍內，得到正確的最值。