溫故知新巧用轉化妙解最值

文／陳俊

二次函數作為初中數學的重點和難點，一直是中考命題的熱點。其中，動點與最值問題，又是同學們感到比較棘手的一類問題。我們可以通過聯系以往所學的知識，將陌生問題轉化為熟悉問題，將復雜問題轉化為簡單問題，迅速找到解題的切入點。

一、利用“將軍飲馬”解決線段最值問題

例1如圖1，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點M在拋物線的對稱軸上，當點M到點B的距離與到點C的距離之和最小時，點M的坐標為 。

圖1

【分析】點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，利用“將軍飲馬”模型，可以將點M到點B的距離與到點C的距離之和，轉化為點M到點A的距離與到點C的距離之和。

解：∵拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點，

∴令y=0，得-x2-2x+3=0，

解得x=-3或x=1。

∴A（-3，0），B（-1，0）。

令x=0，得y=3，

∴C（0，3）。

設直線AC的表達式為y=kx+b，把A（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=kx+b，

∴直線AC的表達式為y=x+3。

設直線AC與直線x=-1的交點為M，則此時MB+MC的值最小。

把x=-1代入直線y=x+3，得y=2，

∴M（-1，2）。

即當點M到點B的距離與到點C的距離之和最小時，點M的坐標為（-1，2）。

【小結】求兩條線段之和最小值的問題，常采用“將軍飲馬”模型。對于這類問題，首先將動點所在直線看作“河”，再通過找對稱點，求出直線表達式，便可解決問題。

二、利用“三點共線”解決線段最值問題

例2如圖2，已知直線與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為（1，0）。在拋物線的對稱軸上找一點M，使 |AM-MC|的值最大，點M的坐標為 。

圖2

【分析】由于點C和點B關于拋物線的對稱軸對稱，那么要求 |AM-MC|最大，即求|AM-MB|最大。根據三角形兩邊之差小于第三邊，故當A、B、M在同一直線上時，|AM-MB|的值最大。

解：由直線可 得 點A坐 標為（0，1）。

將A（0，1）、B（1，0）坐標代入

∴拋物線的表達式為

∴拋物線的對稱軸為直線∵B、C關于直線對稱，

∴MC=MB。

要求 |AM-MC|的最大值，即求|AM-MB|的最大值。

根據三角形兩邊之差小于第三邊，故當A、B、M在同一直線上時，|AM-MB|的值最大。

由A（0，1）、B（1，0）坐標可求出直線AB的表達式為y=-x+1。

∴點M坐標為

【小結】我們對比發現，例1是“三點共線”中求線段和的問題，求的是最小值；例2是“三點共線”中求線段差的問題，求的是最大值。

三、利用“圖形分割”和“坐標相減”解決面積最值問題

例3如圖3，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。點D是第一象限內拋物線上的一個動點（與點C、B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連接BD、CD。設點D的橫坐標為m，△BCD的面積為S。求S關于m的函數表達式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值。

圖3

【分析】本題直接表達出△BCD的面積有一定的困難，但我們如果通過圖形分割，分別求出△ECD和△EBD的面積，就可以表示出△BCD的面積。本題的另一個難點是動點D的運動使得線段DE的長度發生改變，只要能求出DE的最大值，就能求出S的最大值。

解：設直線BC的表達式為y=kx+b（k≠0）。

∵直線BC過點B（3，0）、C（0，3），

∴y=-x+3。

設點D的坐標為（m，-m2+2m+3），

則點E的坐標為（m，-m+3），

∴當時，S有最大值

【小結】二次函數圖像上點的位置的“直觀變化”與二次函數表達式確定的“數量變化”之間有著密切的聯系。在研究二次函數問題時，我們始終要以“變化與對應”為基礎，感受數形關系。