從差值0.5的來龍去脈說開去

江蘇灌南縣蘇州路實驗學校（223500） 楊蘇麗

在“板上釘釘圍多邊形”的一次觀摩課上，學生人手一塊釘子板，一位學生圍出了這樣的圖形（如圖1）。

圖1

圖形邊線穿過9枚釘子，圖形內圍著12枚釘子，運用皮克公式可算得這個圖形的面積是9÷2+12-1=15.5。而用外包的矩形減去剩余的兩個三角形的面積之和，所得面積是8×6-（8×6÷2+8×2÷2）=16。用組合法算出的面積與用皮克公式算出的面積相差0.5，授課教師一時間也不知道該怎么解釋，只能含糊帶過。

可是，學生很快又發現了不尋常的結果：如圖2，套用皮克公式計算出的面積是5，而用數方格的方法算出的面積是4.5，兩者也相差0.5。對此，授課教師以凹多邊形不適用這個公式為由搪塞過去。不一會兒，又有學生提出異議：“老師，這個凹多邊形（如圖3）為什么不適用皮克公式？”授課教師再次以凹多邊形超出學習范圍為由，敷衍過去，并順手將這個學生繪制的凹多邊形改成了凸多邊形（如圖4）。

圖2

圖3

圖4

本節課結束前，授課教師出示一個多邊形（如圖5），讓學生用皮克公式嘗試算出其面積，感受用皮克公式計算面積的便捷性。這時，一位學生小聲嘀咕：“數方格法也很方便。”下課鈴聲響起后，聽課教師詢問學生還有什么問題，有位學生說道：“根據皮克公式，當a=1時，S=n÷2；當a=2時，S=n÷2+1；當a=3時，S=n÷2+2……為什么圖形內的釘子每增加1枚，相應的多邊形的面積就增加1個單位？”這個問題出乎聽課教師的意料，授課教師也一時錯愕，說不出個所以然。

圖5

課后，授課教師對計算圖1的圖形面積出現的0.5的面積差始終百思不得其解：“這個0.5到底是怎么造成的？”他與其他教師共同研究：有人說是可能哪里算漏了；有人提議改用數方格的方法來計算，卻發現方格很難湊整，得出的結果也只是一個近似值；有人覺得是釘子板不規范……眾說紛紜之時，筆者問了一句：“出示圖5的目的是什么？”授課教師迅速回答：“一是讓學生學會運用皮克公式，二是突顯皮克公式的便捷性。”當筆者告訴他學生認為用數方格的方法很方便時，他沉吟片刻后說：“數方格很方便，那用皮克公式豈不是多此一舉，自找麻煩？”筆者接著問：“圖形內多1枚釘子，多邊形的面積就會多1個單位，這兩個‘1’的意義相同嗎？”他果斷地表示否定，并表示前一個“1”表示1枚釘子，后一個‘1’表示1個基本的面積單位。”“那前后都是多出一個1，這怎么解釋？”筆者追問。授課教師被問得啞口無言。

一、尋找問題根源

“釘子板上的多邊形”是蘇教版教材新增的規律探索內容，這些規律本就是客觀存在的，只是需要通過實驗去探究提煉。與一些人為制造的排列規律不同，它更能激起學生的探究興趣。因此，許多教師熱衷于選擇這一內容作為研究課。筆者在一個學期內聽了這一內容的好幾次課，幾乎每次課都會出現一些生成性問題，這些問題不僅難倒了學生，還難倒了教師。教師被難倒，究其原因是教師對問題研究不透徹。因此，教書，教師必須鉆研教材，只有自己有一桶水，才能倒給學生一碗水。

只有找到知識本源，才能為學生徹底答疑解惑。通過研究相關文獻資料，不難知道“釘子板上的多邊形”這一知識來源于“格點圖上的多邊形”。弄清這一淵源，將釘子板圖轉化成點陣圖，用兩種方法求圖1中的三角形的面積存在0.5的差值的真相也就水落石出了：圖形內的點跑出多邊形之外，處于邊線上的釘子數是9而非10。也就是說，之所以出現差0.5，是因為在釘子板上圍圖具有模糊性。

那么，教學中如何同時滿足“學科”與“科學”的需要，既做到生動有趣又做到嚴謹務實？有一種辦法就是對素材進行改造：一是新課伊始，在釘子板上圍出多邊形后，及時將釘子板圖轉換成點陣圖；二是在課堂即將結束，教師介紹皮克公式時，及時把點陣圖轉換成格點圖。這樣一來，圖1帶來的麻煩就會迎刃而解。而針對圖2生成的問題“凹多邊形不適用這個公式”，果真如此嗎？說到底，這一問題依然屬于“是什么”的問題。根據皮克公式的表述——“設Y為一個簡單多邊形，其頂點全部落在格點上。若q為多邊形Y內包含的格點數，p為多邊形Y各邊上的格點數，則Y的面積不難發現，皮克公式適用于簡單多邊形，不分凹凸。根據凹多邊形的定義“把一個各邊不自交的多邊形，任意一邊延長為直線，如果多邊形不是在這條直線的同一側，則這個多邊形可以稱之為凹多邊形”中的“各邊不自交”來判斷，圖2不屬于凹多邊形，一般認為它是組合圖形。本課教學確實與凹多邊形不沾邊，所以素材應該以凸多邊形為主體。但是，教師一旦放手讓學生自主探究，學生天馬行空的想象力迸發，就會冒出很多奇思妙想，畫出凹多邊形完全在情理之中，畫出像圖2這樣的多邊形自然不足為奇。

對于在釘子板上圍出多邊形，然后計算多邊形的面積，學生一般會想到借用組合法或者割補法去計算，因為在學習三角形、平行四邊形等圖形的面積時，學生學會了用割補法將不規則圖形轉化為規則圖形，而釘子數則具有計量邊長與高度的功能，一排釘子的數量就是所在邊的長度，當然，這個相鄰釘子之間的間距必須相等。可是根據皮克公式計算出的面積與運用幾何轉化法計算出的面積存在出入，這種強烈的認知沖突讓學生對皮克公式產生了懷疑。為了一探究竟，學生會產生強烈的探究動機，發現皮克公式中的點數和幾何法中的邊長其實是一回事，而問題出在釘子板圖的粗糙性：少圍了1枚釘子，這就會導致計算出現誤差。因此，將釘子板圖換成格點圖，就能夠將幾何法和皮克公式完美統一。

二、追溯知識原理，搞清為什么

仍以上述案例為例，在學生質疑“為什么圖形內的釘子每增加1枚，相應的多邊形面積就增加1個單位”，尋找問題根源，也就是搞清楚“為什么”時，教師或是沒有這個探索意識，或是壓根就不知道，又或是知道但是沒有把握講清楚而作罷。然而，既然學生已經明確提出疑問，教師就要勇敢面對。實際上，任何知識都繞不開“是什么”“為什么”“有什么用”三大要旨。盡管這節課的教學任務只需要引導學生歸納出釘子板上的多邊形的規律，充分經歷找的過程，而這個探索規律的過程，主要是在視覺上發現數字變化一致——“圖形內的釘子每增加1枚，相應的多邊形面積就增加1個單位”，至于是因為什么，學生還無法一探究竟。那么，受限于學生的學習能力，在無法清晰揭示的情況下，學生質疑時，教師該如何應對？筆者以為，教師可以在適當的時候點撥學生：一方面，通過多媒體動圖演示（如圖6），進行適當的滲透，直觀展示圖形內釘子數多1之后，多邊形多出的1個面積單位在哪里，從而弄清事情的原委，消除心頭疑慮；另一方面，教師正好通過這一細節，潛移默化地引領學生由“a=1”向“a=2、a=3”等情況過渡。

圖6

通過對比研究，發現問題的癥結在于為什么圖形內點數（釘子數）加1，多邊形就會多1個面積單位，兩者都是多1，但是意義不一樣。為什么會這樣呢？想從理論上證明這個問題十分困難，畫圖直觀展示才是解決之道。然而，學生沒有經驗可依，意欲圖解，必須從最基礎的圖例入手，一步步發現規律，然后推廣到一般情況，這是一個合情推理的過程。通過圖示可以發現，從a=1到a=2（如圖6），內部增加了一個點，從幾何學上講，向下擴增了一個三角形（陰影部分），這個新增的三角形的底和原來的一樣，高恰好為1格，于是新增面積為2×1÷2=1，即新增一個高度為1的三角形；從皮克公式角度出發，內部增加一個點，邊緣“吐出”一個點，同時“吞并”一個點，兩相抵消，邊線上的點數并未改變，于是根據皮克公式：新圖形的面積，比原圖形的面積

三、找到知識之用，搞清有何用

上述案例中，授課教師讓學生用皮克公式計算圖形面積后總結，初衷是體現這一公式的優越性。在與學生交流后，筆者發現學生有了新的困惑：以前學過一些常用的面積公式，也掌握了割補法、數格法，那皮克公式還有何用？能比數方格法管用嗎？確實，雖然本課的目標是探究規律本身，讓學生了解到有這個規律存在，但是一旦找到規律，運用規律就會擺到眼前，即皮克公式有什么用。上述案例中，授課教師想到了，但是沒有講透，學生反駁說“數方格法也很方便”，就說明授課教師所選的例子帶有誤導性，不夠典型。教師應該出示一個用公式和數方格都很難推算面積的格點多邊形（如圖7），讓學生切身體會到皮克公式真的很管用。

圖7

其實，皮克公式與數方格法和幾何公式法之間有著緊密聯系：如果將格點間距縮小，直到相鄰點的間距變得無窮小，也就是“微分”，皮克公式就變成了一般的面積公式。在眾多展示課中，往往出現這樣的現象：學生只關注邊上的釘子數，不顧圖形內的釘子數。其實，這種現象符合學生的思維邏輯，因為學生掌握運用的一般面積公式都是運用邊長推算的。例如，長方形的面積=長×寬，平行四邊形的面積=底×高。對此，教師應引導學生回歸本源：把多邊形涂色，直觀地展示面積大小就是格子數的多少，而格子數的多少與圖形內的釘子數有關。

為什么要學皮克公式？圖7就很好解釋了這個問題。在點陣圖中，如果一些幾何圖形的擺放位置是歪斜的，那么其邊長或者高的長度等就不容易推測出來。但是，此時其內部包含的點數和邊經過的點數依然可以清晰地數出來，仍然可以運用皮克公式算出其面積。另外，教材中運用割補法驗證多邊形（如平行四邊形面積公式推導時）面積轉化是否正確時，都是采用數方格的方法，數方格會遇到半格、大半格、小半格、對角線長度等難題，所以多采用估算的辦法，這其實是不嚴謹的，如果改用皮克公式，則可以堵住這個漏洞。

至此，學生徹底弄明白了皮克公式的來龍去脈，但還可能會產生新的困惑：皮克公式到底在什么地方能派上用場？對此，教師可以講一個生動的故事：數年前，一場數學研討會召開，由于會議地點是在一座山中，為了凸顯地方特色，主辦方展示了一個數學應用的例子，那就是利用航拍，根據樹木的分布密度來確定森林面積大小。其具體方法是用點陣薄膜覆蓋在地圖上，再根據皮克公式求出面積，然后按照一定比例尺擴大還原，就是森林面積。講完這個故事，教師可以讓學生繼續思考：這樣的算法會存在誤差嗎？為什么？

總而言之，雖然“釘子板上的多邊形”的教學目標只是尋找規律，但可能冷不丁就會碰到“釘子”。“碰到釘子時，要向釘子學習”，遇到難題，就要想辦法攻克，查找真相，這樣才能有效化解課堂中的突發狀況。