一道高中數(shù)學(xué)會考題蘊(yùn)含的多種解法與分析

夏順友，仲崇軼，王常春，陳治友

（1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018；2.遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，貴州 遵義 563006；3.貴陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550005）

貴州省2021 年12 月第43 題是以解析幾何中圓為背景的最優(yōu)化問題。題目如下：

已知圓O:x2+y2=r2(r＞0)過點(diǎn)。

（1）求圓O的方程；

（2）已知點(diǎn)A(-40)，，B(2,0) 點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，求的最大值，并求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)。

該題蘊(yùn)含了一類線性目標(biāo)函數(shù)在二次約束條件下的最大值問題。

該題第一問略去分析，針對第二問蘊(yùn)含的類似問題以及一般問題的多種解法進(jìn)行陳述并解析，再對題目蘊(yùn)含的一般二次約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最大值問題的多種一般解法進(jìn)行論述。

1 多種解法與分析

本節(jié)不針對原題進(jìn)行多種解法陳述與分析，只對下面類似問題進(jìn)行。

已知圓O:x2＋y2=4上任意一點(diǎn)M，和點(diǎn)A(-2，0)，B(4，0)，求的最大值，并求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)。

設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，則x2＋y2=4，則

解法一：利用均值不等式求解

20-8x=12，8+4x=12

由此得x=1代入x2+y2=4得y=。

注1.1 均值不等式主要對“等積問題”、“等周問題”，即“n個正數(shù)的乘積為常數(shù)，則當(dāng)它們相等時它們的和有最小值”“n個正數(shù)的和為常數(shù)，則當(dāng)它們相等時它們的乘積有最大值”。該題所使用的方法和針對的問題有較好技巧。下面給出一個較一般例子與做法。

求約束條件 6u2+4v2＝25下z=3u+2v的最大值。

解法二：化為一元函數(shù)最值求解

其中－2≤x≤2，z是x的函數(shù)，為求z的最大值，先求z對x的一階導(dǎo)數(shù)

解法三：拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日函數(shù)為：

注1。2 作為 2u2+v2=36約束下對二元目標(biāo)函數(shù)f(u,v)=2u＋v最大值求解通用方法就是拉格朗日乘數(shù)法。如果不整體代換，直接對下述問題：

約束條件x2＋y2=4下，求解目標(biāo)函數(shù)

的最大值，也可以直接利用拉格朗日乘數(shù)法，此處不做求解。

解法四：判別式法求解

解法五：凸規(guī)劃結(jié)合判別式求解

注1.3 解法四和解法五都用判別式法，但是解法四是利用有解做，而解法五是利用凸規(guī)劃思想，再利用幾何意義的相切而做。

解法六：利用三元柯西不等式求解

解法七：利用二元柯西不等式求解

解法八：參數(shù)換元結(jié)合三角函數(shù)求解

注1.5 該解法先代換一次，再利用參數(shù)方程化為三角函數(shù)求解，問題變得簡化。如果不做第一次代換，直接對問題：

約束條件x2＋y2=4下，求解目標(biāo)函數(shù)

的最大值。

令x=2cosθ,y=2sinθ把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解也可以，會復(fù)雜得多。

解法九：化為一元函數(shù)最值求解

注1.6 該方法與解法二有一些不同之處。解法二在原問題上進(jìn)行，而解法九是做代換后做。

解法十：梯度法求解

注1.7 梯度反映了多元函數(shù)值遞增最快的方向。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是二元線性函數(shù)是平面，約束是橢圓柱面，它們的交線是封閉的橢圓。顯然有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，對應(yīng)相應(yīng)的最大值與最小值。

2 一般問題與解法

本節(jié)對原題所蘊(yùn)含的更一般的多元線性目標(biāo)函數(shù)在二次約束條件下的最大值問題模型和求解方法進(jìn)行闡述。

一般數(shù)學(xué)模型：

其中b＞0，a1≠0,a2≠0,...,an≠0，且

b1＞0,b2＞0,...,bn＞0

該模型求解的方法一是拉格朗日乘數(shù)法，其次是柯西不等式方法，再是利用均值不等式方法。

3 會考情況與解題教學(xué)實(shí)踐情況

該會考題兩問，每問5 分，參加人數(shù)70064，本題平均得分在包含零分卷時是3.45 分，如果不包含零分卷，則平均得分是5.19 分，這說明考生們基本上都掌握了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的初步知識，但對圓外兩點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的距離之和取最大值的求法掌握得普遍差一些。得分情況見下表：

該題在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生解題教學(xué)訓(xùn)練課程中有很好的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力（見［6］）。另外文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］中的題也可以增加本文中的梯度法和拉格朗日乘數(shù)法，此處不再詳述。