直流充電樁前級變換器快時標分岔抑制

高志強，王宇隆，周雪松，馬幼捷

（1.天津理工大學天津市復雜系統控制理論與應用重點實驗室，天津 300384；2.天津理工大學電氣工程與自動化學院，天津 300384）

近年來，我國為實現“雙碳”目標，汽車領域將面臨大變革，從發展趨勢來看新能源汽車未來將取代傳統燃油汽車，而電動汽車充電樁的整體性能將會直接影響到新能源汽車行業的發展速度。目前，直流充電樁技術存在著許多技術屏障，例如輸出功率因數低、諧波諧振等問題[1-3]。Boost功率因數校正PFC（power factor correction）變換器作為直流充電樁的重要組成部分，包含有多種非線性元器件，其在工作過程中會產生許多非線性動力學現象[4-8]。峰值電流控制方式是Boost-PFC變換器的一種常用控制手段。變換器在不穩定運行過程中會發生快時標、慢時標分岔現象，不加以控制會對電網或負載造成電壓幅值與電流幅值跳躍變化過大、輸出功率因數PF（power factor）值急劇下降等問題，故非常有必要對分岔和混沌進行抑制。

各國學者對PFC的研究不斷深入[4，9-13]。2003年，Orabi M等[13]在電源頻率上首次發現倍周期分岔現象，并稱為慢時標分岔。之后有學者在開關周期上發現倍周期分岔，稱為快時標不穩定現象[12]。馬西奎等[4]對Boost-PFC變換器的穩定性進行數學證明并給出了輸入電壓的穩定域。文獻[14]在反饋回路中采用雙積分滑模對分岔控制，畫出了輸入電壓和電感電流的相圖，可直觀地看出輸入電壓的穩定域。文獻[15]采取動態斜坡補償控制方式對變換器中次諧波振蕩現象（振蕩周期為開關周期的2倍，即振蕩頻率為開關頻率的1/2）進行控制。因此，本文采用自整定PI控制共振微擾法對快時標分岔進行控制，同時獲得了更高的功率因數并解決了輸入電流死區現象。

1 系統的離散建模

峰值電流型Boost-PFC變換器原理如圖1所示。圖1中，uin(t)為工頻輸入交流電壓，us(t)為整流橋輸出的雙半波正弦信號，i為流經電感的電流，u為變換器的輸出電壓，Uref為電壓外環的參考電壓，p1和p2為控制增益系數，CLK表示周期為Ts的時鐘信號，iref為電流內環的參考電流。電路控制方式采用雙閉環反饋，電流內環的作用是功率因數校正；電壓外環的作用是維持穩定的輸出電壓，減小紋波。

圖1 峰值電流型Boost-PFC變換器原理Fig.1 Schematic of peak current Boost-PFC converter

1.1 Boost-PFC變換器的離散映射模型

根據圖1中開關管VT和續流二極管VD的開關狀態可得到開關的切換時刻，選取電感電流i和電容電壓u為狀態變量。該電路具有以下兩種工作模態。

（1）工作模態1：VT導通、VD截止。

式中：R為負載；C為穩壓電容；L為儲能電感；ω=100π；Vm為輸入電壓的幅值。

（2）工作模態2：VT截止、VD導通。

要保證電路工作在連續導通模式CCM（continuous conduction mode）下，其電感L要滿足[15]

式中：Im為參考電流iref的幅值；fs為開關頻率。

建立Boost-PFC變換器的頻閃映射模型，按照如下方法求取狀態方程式（4）的解。

當tn≤t≤tdn時有

式中，τ為積分變量。

當tdn≤t≤tn+1時有

這里 eΑi(t-τ)(i=1,2,…)可由無窮級數法、約旦標準化法、拉氏變換法和凱萊-哈密頓法等方法來求解。

令xn=x(nTs)、xn+1=x[(n+1)Ts]，則系統的頻閃映射表達式[8]為

根據開關切換函數可求取第n個開關周期所對應的占空比dn，該開關切換函數S(xn,dn)可表示為

式中：xn為第n個開關周期的狀態向量，xn=[in,un]T；iref=p1p2Vm[Uref-C2x(dnTs)]| sinω(n+dn)Ts|；C1=[1 ,0]；C2=[0 ,1]。

因為式（8）是一個超越代數方程，通過常規方法無法求出其解析解，通常采用牛頓迭代法求出其數值解。這樣再將求得的占空比代入式（7）中即可得出Boost-PFC變換器的離散映射模型[16]。

1.2 固定斜波補償控制下仿真分析

圖1所示電路的參數選取如表1所示。

表1 參數選取Tab.1 Selection of parameters

將輸入參考電壓作為分岔參數，圖2為半個工頻周期內電感電流分岔現象。可見，電感電流在上升下降過程中都會發生分岔現象。對比圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）可以發現，在t=0.072 s時，變換器的工作狀態從混沌態變為周期2的倍周期分岔軌道，隨后從周期2變為單周期穩定運行狀態；在t=0.078 s時發生間歇性分岔，直接變為混沌態運行。由圖2（c）可知，當開關管占空比達到飽和時，系統極易發生邊界碰撞分岔。折疊分岔圖可以直觀地觀察到整個周期內電路快時標分岔動力學行為的演化形式和過程。

在每個時鐘周期Ts的起始時刻，對狀態量進行周期性采樣取點，其本質是離散圖，故在圖中顯示散點狀，同理占空比的分布圖也如此。從圖2（d）可以看出，在t=0.072 s和t=0.078 s時電流發生了分岔現象。從圖2（e）可以看出，變換器在半個工頻周期的穩定域大約從第170個時鐘周期至第400個時鐘周期，t=0.072 s和t=0.078s時變換器發生了邊界碰撞分岔向混沌態過渡。在圖2（e）中，橫坐標n在時域中對應的時間為tdn=tn+td=nTs+td，當n=1時在時域中所對應的時間為(1 ×0.000 02+0.07) s，依此類推，當n=500時在時域中所對應的時間為(500×0.000 02+0.07) s。

圖2 半個工頻周期內電感電流分岔現象Fig.2 Phenomenon of inductance current bifurcation in half a power frequency period

升高輸入參考電壓后電感電流頻閃采樣如圖3所示。可見，電路狀態隨參考電壓逐漸增大其穩定域逐漸變小。從圖3（a）可以看出，相比于Uref=220 V，Uref=320 V時變換器的穩定域大大縮小，使其分岔和混沌態持續的時間變長，電感電流大約在t=0.074 s和t=0.077 s時發生了邊界碰撞分岔。從圖3（b）可以看出，Uref增加至520 V時變換器在半個工頻周期內都存在非線性動力行為，在t=0.074～0.076 s內變換器處于分岔態。從圖3（c）可以看出，在半個工頻周期內占空比分布都處于飽和狀態，在這種情況下系統極易發生邊界碰撞分岔。

根據式（7）所示的Boost-PFC變換器的離散映射模型得到其折疊分岔圖如圖4所示。可以看出，系統發生了非線性動力行為，當輸入參考電壓為220 V時，系統的穩定域大約為215個時鐘周期；當逐漸增大輸入參考電壓時，系統的穩定域會逐漸減少，直到輸入參考電壓增加至520 V時，系統完全處于分岔和混沌態。

圖4 電感電流的折疊分岔Fig.4 Folded bifurcation of inductance current

2 參數微擾法控制分岔

2.1 固定斜坡補償控制設計

參數微擾法是一種非反饋控制方法。本文模型在參考電流iref施加1個斜坡擾動，從而讓系統保持在穩定的周期1軌道上運行。將補償信號施加到電流內環的參考電流上，以消除分岔現象。圖5為斜坡補償原理。

圖5 斜坡補償原理Fig.5 Schematic of slope compensation

式中，iramp(t)為幅值為k、周期為Ts的斜坡誤差信號。

在第n個開關周期內，由電感的電壓電流特性和圖（5）中幾何關系可得出如下方程：

令攝動量Δin=in+1-in，in為第n個時鐘周期的起始時刻的電感電流，in+1為第n+1個時鐘周期的起始時刻的電感電流，un為第n個時鐘周期的起始時刻的輸出電壓，un+1為第n+1個時鐘起始時刻的輸出電壓。將式（9）代入式（10）可得到Δin和Δin+1的關系式[14]為

同理可得Δin+m與Δin的關系式為

為了電路穩定，需要使式（12）為單調遞減，即式（11）中在單位圓內，由此可得

2.2 固定斜坡補償控制仿真分析

這里選取k=0.5，可得到加入固定斜坡補償后電感電流時域波形、頻閃采樣、電感電流與輸出電壓的相圖如圖6所示。經過快速傅里葉變換FFT（fast fourier transform）分析可得輸入電流的總諧波失真THD（total harmonic distortion）為9.08%。

圖6 加入固定斜坡補償后的效果Fig.6 Effect of adding fixed slope compensation

由圖6可知，固定斜坡補償雖然能夠抑制分岔，但會使電感電流在0附近出現大范圍死區和峰值偏移現象，若負載發生突變，則會導致斜坡補償的幅值做出調整。

3 自整定PI控制參數共振微擾法

3.1 自整定PI控制參數共振微擾法

此方法是將PI控制和參數共振微擾法相結合的一種控制方法。電壓外環采用PI控制用來消除斜坡補償中存在的死區問題。為了使分岔現象呈現周期性變化，在參考電流疊加1個幅值微小的余弦半波信號用來消除振蕩現象；為了使Boost-PFC變換器的間歇性分岔控制到周期1軌道上，在參考電流補償1個斜坡信號。因此，可以得到新的參考電流表達式為

式中：A為余弦半波信號的幅值，A?1；，其中e=kP(Uref-u)+kI∫(Uref-u)dt，kP和kI分別為PI控制器的比例和積分系數；為斜坡信號補償，其幅值為0.3。

由非線性動力學理論可知，要使系統穩定就要保證系統所有特征值的模值在復平面單位圓內。由系統的雅可比矩陣可求出幅值A在0.2～0.5之間，就可以對邊界碰撞分岔進行有效抑制[17]。

3.2 自整定PI控制參數共振微擾法仿真分析

圖7為自整定PI控制參數共振微擾法所對應的原理示意。

圖7 自整定PI控制參數共振微擾原理Fig.7 Schematic of self-tuning PI control parameter resonance perturbation

圖8為參數共振微擾原理示意。根據非線性動力學理論，攝動量在迭代過程中逐漸衰減才能使系統穩定運行，由此可求得斜坡補償的峰值和半波信號的幅值。

圖8 參數共振微擾原理Fig.8 Schematic of parameter resonance perturbation

通過系統的零極點配置使系統的所有特征值都在復平面的左半平面內，進而求得PI控制參數kP和kI。在Matlab/Simulink中進行參數自整定，經過自整定后的控制參數分別為kP=0.006 537，kI=1.063 2。

圖9為自整定PI控制器參數共振微擾法的仿真波形。可以看出，電感電流在0附近沒有出現電流死區現象和電流峰值偏移現象；經過FFT分析得到輸入電流的THD為0.12%，與斜坡補償相比，諧波含量大大降低。

圖9 自整定PI控制器參數共振微擾法的仿真波形Fig.9 Simulation waveforms of self-tuning PI controller parameter resonance perturbation method

在升高輸入參考電壓和負載突變的情況下仿真結果如圖10所示。從圖10（a）可以看出，電感電流沒有出現分岔現象及峰值偏移現象，輸出功率隨參考電壓的升高而變大。從圖10（c）可以看出，在t=0.045 s時負載從110 Ω突變為500 Ω，在負載發生時固定斜波補償控制法出現了電流的小范圍塌陷，而對于自整定PI參數共振微擾法，負載突變對電流波形的影響很小。由此可知，當系統發生負載突變時自整定PI控制共振微擾法比固定斜波補償控制的抗擾性和魯棒性更好。

圖10 仿真結果Fig.10 Simulation results

4 結語

本文首先采用頻閃映射的離散建模方法建立Boost-PFC變換器的離散模型。通過仿真得出輸入參考電壓升高會導致系統由邊界碰撞分岔進入混沌狀態。由于輸入信號是半工頻的周期信號，故這種運行狀態在每個周期都會重復發生，只需要考慮1個周期的狀態即可分析整個周期的運行狀況。然后，分別采用參數微擾法和自整定PI控制共振微擾法對系統分岔進行控制，仿真驗證了自整定PI控制共振微擾法較于參數微擾法具有更高的穩定域、更好的魯棒性，且能夠輸出較高的PF值。確保了直流充電樁在不同輸入參考電壓下運行的穩定性和可靠性，使其充電效率得到提高。