走進基于深度學習“三維一體”的教學追問課堂
——以橢圓中定值定點問題為例*

曹 輝 程守山 (江蘇省常州市北郊高級中學 213032)

劉天程 (江蘇省常州市正行中學 213017)

所謂深度學習是指教師借助一定的活動情景帶領學生超越表層的知識符號學習，進入知識內在的邏輯形式和意義領域，挖掘知識內涵的豐富價值，完整地實現知識教學對學生的發展價值.本文以教學追問為活動方式，“三維一體”為設計思路，引導學生深度學習[1].在解析幾何的教學過程中，教師往往以試題訓練為“點”、以掌握通法通解為“面”來達到教學目標.實際上，通法通解是連接知識方法的“線”，對知識方法起到橋梁作用，“面”則是知識體系形成的關鍵，最后提煉思想方法，形成跨體系、跨學科、跨領域的“體”，而“體”即是能力，是知識方法的核心規律對學生理性思維和關鍵能力的培養.

本文以一道橢圓中的定值定點問題為例，通過問題引領、深化和追問，將知識和技能由“點”到“面”深入到思維的層面，進一步構建橢圓中一類定值定點問題的知識體系，從而實現“數學本質”和“知識交匯”的“體”，提升高三一輪復習課的質量.

1 “點”到為“指”

圖1

·分析問題

點評以一道典型的定點問題為方向指引，拋磚引玉，打開學生思維的窗口.

·“點”到不止

問題1 (*)式不能直接運用韋達定理，能否轉化為單變量整體可約分？

點評由于(*)式不能直接運用韋達定理，導致不少學生找不到解決問題的方法.實際上，韋達定理可利用求根公式得到，所以將求根公式代入(*)式，即將問題轉化為單變量可約分為定值的問題.

問題2 你能根據特殊情況或對稱性猜出答案嗎？猜出答案后如何證明(*)式為定值？

點評“先猜后證”是解析幾何中常用的思想方法，學生可以根據斜率不存在和對稱性判斷出交點在x=4上，然后通過作差利用韋達定理證明猜想.

問題3 (*)式能否轉化為雙變量整體可約分問題？

點評以問題中的“單變量”和“雙變量”引導學生思考，讓學生進一步體會定值問題的單變量和多變量的整體可約分的思想方法.學生較易接受單變量可約分問題，對于雙變量可約分問題則較為陌生，該解法進一步加深了學生對定值問題的理解.以上方法難度較大，可操作性不強，大部分學生會在(*)式的處理上遇到困難.

本題容易認為核心規律是(*)式處理的思想方法.實際上，題目中隱含著一類“定”的關系，如kACkBC,kBCkBD為定值，那么斜率之間的關系是否對解決該問題有幫助？能否通過問題設計、知識遷移得出一般結論和方法，從而達到掌握核心規律的目標？以該例題為“點”，通過問題設計，使問題問問相連，使各點環環相連，讓學生進一步探究該圖形中存在的“動”和“定”的問題.

2 “點”動成線

問題1 直線BC和直線BD的斜率乘積是否為定值？

問題2 直線AC和直線BC的斜率乘積是否為定值？

問題3 由問題1和問題2，你能否發現直線AC和直線BD的斜率的關系？

問題4 根據上述問題，能否用設AC斜率的做法求交點？

解得x=4.

3 線線交錯

設計意圖通過問題深化，學生將知識、方法過渡到一般性的思維策略，如圖2.

圖2

4 “線”動成“面”

下面通過條件和結論的互換，進一步對問題追問.對于問題深化中問題1的追問：

追問1 若已知直線BC和直線BD的斜率乘積為定值，直線CD是否過定點？

(備注：可以用直線方程和橢圓聯立，借助韋達定理解決，此處不再贅述，可見文[4])

(備注：考慮到聯立的復雜性，建議用齊次化聯立解決問題，此處不再贅述)

對于問題深化中問題2的追問：

追問 若kAC=λkBD(λ為定值)，直線CD是否一定過定點？

對于問題深化中問題3的追問：

設計意圖學生不可能一次性把握數學活動的本質，故需要教師進一步思考和研究知識方法的本質.追問的設計旨在從“點”到“面”的進一步升華，進一步培養學生的理性思維和關鍵能力，讓學生經歷發現問題→解決問題→再發現問題→再解決問題的過程，進一步掌握知識的“源”與“流”.針對上述問題的提出和解決，2021年和2020年新高考全國I卷(22)以及2020年全國I卷(20)解析幾何題目便可迎刃而解.

5 “面”動成“體”

在這一過程中讓學生體會“形缺數時少直觀，數缺形時難入微”的數形結合思想，在整體消元中讓學生感受函數與方程思想，這兩大數學思想貫穿著初等數學的始末.將兩大思想牽引到其他知識塊，如：立體幾何、三角函數等，學生遇到陌生問題就不會因恐懼而束手無策.如今年新高考I卷的第8題、第21題等.從一題多法到通法，提煉思想方法，實現一法解多題.借助有效追問實現了點動成線，線動成面，面動成體的生態循環，使學生實現深度學習.

6 教學建議

(1)批判性思維的培養

本文以例題中求交點的橫坐標是定值的問題為“點”，通過問題引領，從新的角度進一步剖析問題，即發現kBD=kAC，將題目中以尋找變化過程中的不變關系為“點”發散，猜想、歸納、證明一般性結論為“線”，最后以追問的方式，從逆命題和知識方法聯系的角度逐層深化橢圓中的定值定點問題形成“面”.追問的設計可以培養學生的批判性思維，即當一個命題成立時，培養學生自覺地思考其逆命題是否成立、是否可以探究出并判斷其他相關命題是否成立.

(2)教學追問的注意點

·追問目標要明確

高中生的智力發展得已經較為成熟，因此，教師在設計問題時要結合學生對知識的理解水平提出有回答意義的問題，同時還要有明確的提問方向，提出的問題要清晰明了，能讓學生明確所提問的目標[2].

·追問要及時

隨著課堂教學方式的不斷進步，教師逐漸轉變了教學方法，明白了追問的重要性，在課堂中逐漸增加了設計問題和讓學生回答問題的環節.但在這一環節教師需要注意的是，設計的問題一定要緊緊圍繞自己所講解的知識點，最好能夠結合以前學習過的知識讓學生自發地與新知識進行對比并總結.同時教師還需注意的是，所提問題一定要及時，合理安排問題并確定問題應當提在哪里.課堂動態的把握、課堂的生成是新老教師的最大區別.

·追問要主客體互動

核心素養下的高中數學課堂一定是以討論為主的教學相長的學習共同體，能充分發揮學生主體性的課堂.學生在進行新知識的學習時一定或多或少地存在問題，因此，教師要引導學生對自己無法理解或掌握不好的地方踴躍提問.

·追問要有度

一節課不是在任何時候都有必要追問，尤其數學課堂，本身容量大、時間緊，在預設追問上更要精細.所以以課前預設的追問為主，課堂生成的追問為輔，如果不影響教學目標，有更好的生成追問突破重難點、拓寬學生思維，那么這樣的生成追問是必要的.

高三教學不是知識方法的堆積，也不是教師一言堂式的講解，它強調的是理智和情感的互動、思維方式的深層追問和高階思維的培養.同時，教學中要求教師投入更多的精力去理解知識方法的廣度、深度、關聯度，主動構建知識方法的系統，通過問題設計將知識和方法深入到思維的層面，提升學生的思維品質，達到培養學生數學學科素養的目的.