初中數(shù)學(xué)反證法的邏輯基礎(chǔ)及應(yīng)用分析

王逸勤 施春玲

（1.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州350025 2.福州大學(xué)至誠學(xué)院，福建 福州 350001）

反證法是數(shù)學(xué)證明的重要方法，在數(shù)學(xué)解題中具有廣泛應(yīng)用，有利于發(fā)展學(xué)生推理素養(yǎng).那么，反證法為何是可靠、有效的？其重要依據(jù)和邏輯基礎(chǔ)是什么？它的適用條件和使用范圍是什么？在初中數(shù)學(xué)中又有哪些具體應(yīng)用？

一、反證法的邏輯基礎(chǔ)

（一）反證法是間接證明的一種方法

數(shù)學(xué)證明按照是否直接證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題，可將數(shù)學(xué)證明分成直接證明和間接證明.［1］數(shù)學(xué)中常用的間接證明方法包括同一法和反證法，因此反證法屬于間接證明的一種方法.［2］

（二）反證法的邏輯依據(jù)是矛盾律和排中律

數(shù)學(xué)證明須遵循邏輯規(guī)律.首先假設(shè)“命題結(jié)論不成立”，如果在同一思維下推導(dǎo)得出矛盾，根據(jù)邏輯規(guī)律中的矛盾律，“命題結(jié)論不成立”與“命題結(jié)論成立”不能同時(shí)成立，其中至少一個(gè)是假的.而推導(dǎo)過程是合理的，矛盾是由“命題結(jié)論不成立”引發(fā)的，由此我們得出“命題結(jié)論不成立”是假的.再根據(jù)邏輯規(guī)律中的排中律，“命題結(jié)論成立”與“命題結(jié)論不成立”必有一個(gè)是真的.由于“命題結(jié)論不成立”是假的，因此“命題結(jié)論成立”為真.

（三）反證法并不一定等價(jià)于證明了原命題的逆否命題

用反證法推導(dǎo)得出的結(jié)論只要與已知事實(shí)（定義、公理、定理）、題設(shè)或反設(shè)相矛盾或自相矛盾即可.若推導(dǎo)出的結(jié)論與題設(shè)矛盾，且在推導(dǎo)中不用到題設(shè)條件，那么就相當(dāng)于證明了原命題的逆否命題；若推導(dǎo)出的結(jié)論與已知事實(shí)或反設(shè)相矛盾或自相矛盾，或在推導(dǎo)中用到了題設(shè)條件，那么此時(shí)就不是證明了原命題的逆否命題.

（四）“有效增設(shè)”——反證法有效性的邏輯分析

對于所要證明的命題，增加條件而不改變題意，使得更容易解決問題，叫做“有效增設(shè)”.有效增設(shè)是一種重要的解題策略，在數(shù)學(xué)證明中經(jīng)常會用到，比如構(gòu)造對偶式、對參數(shù)進(jìn)行分類討論等，均可以產(chǎn)生“有效增設(shè)”.從有效增設(shè)的策略來看，反證法之所以有效，往往是由于其能夠給題目增加條件.用反證法證明p→q，相當(dāng)于證明p∧-q→r∧-r,這就相當(dāng)于給p增加一個(gè)條件-q，特別是p信息少或q不好表示而用-q更好表示時(shí)，這個(gè)“有效增設(shè)”的優(yōu)勢就更突出了，而反證法是產(chǎn)生“有效增設(shè)”的一個(gè)重要途徑.

二、反證法適用條件和范圍分析

從邏輯意義上講，對于任何數(shù)學(xué)命題的證明，既能用直接證法又能用反證法.那么什么時(shí)候要用反證法呢？一般從正面思考不易，直接證明有困難，才考慮從反面考慮.究竟哪些命題更適用反證法呢？

（一）否定性命題

數(shù)學(xué)中的定義、定理、法則等一般是肯定型的.而此類命題的謂詞通常是用否定的，如“不是有理數(shù)”.

（二）“至少”“至多”類命題

該類型的命題結(jié)論常用“至少”“至多”等量詞.需注意的是，在對命題結(jié)論進(jìn)行否定時(shí)，其量詞要進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，即全稱量詞要改成存在性量詞，存在性量詞要改成全稱量詞.

（三）存在性命題

所謂存在性命題，即所討論對象在一定條件下是否存在的問題.該類型的命題結(jié)論常以“存在……，使得……”等形式表示.

（四）唯一性命題

所謂唯一性命題，即所討論數(shù)學(xué)對象在存在的條件下是否唯一的命題.該類型命題的結(jié)論常以“唯一……”“恰好有一……”等形式表示.

（五）無限性命題

所謂無限性命題，即命題結(jié)論所表達(dá)的對象有無窮多個(gè)的命題.比如“質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)”.該類型的命題結(jié)論常出現(xiàn)“無窮”“無限”等量詞.

（六）較少條件的命題

像平面幾何和立體幾何等數(shù)學(xué)分支，在公理體系的起始階段，一些性質(zhì)和定理很難直接證明，或有些命題條件較少，或可依據(jù)的相關(guān)定義、定理、法則很少，從正面考慮困難，此時(shí)可考慮從反面解決.

（七）逆命題為真的命題

有時(shí)所要證明命題的逆命題成立，此時(shí)正面思考困難時(shí)，可考慮從命題結(jié)論的反面出發(fā)來解決，證明中可以充分利用逆命題這一已知的事實(shí)，也即利用原命題的逆命題的結(jié)論來解決問題.此類命題如“若三角形的兩內(nèi)角平分線相等，則此三角形必為等腰三角形”.

三、初中數(shù)學(xué)中反證法應(yīng)用例析

小學(xué)階段對反證法沒有明確要求，但作為一種思維方式，在小學(xué)教學(xué)中也經(jīng)常可見其身影，比如在教學(xué)“三角形兩邊之和大于第三邊”時(shí)，在判斷“一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)鈍角”時(shí)，等等.初中階段在課標(biāo)中明確提出了“通過實(shí)例體會反證法的含義”，［3］但由于初中沒有給學(xué)生系統(tǒng)地專門介紹有關(guān)這方面的知識，只是零散地以例題形式分散在教材的不同地方，不少教師對此并沒有清晰的認(rèn)識，因此很有必要對現(xiàn)行教材中反證法的應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行梳理.此外，還將例談反證法在中考試題解答中的重要應(yīng)用.

（一）反證法在教材中的應(yīng)用例析

分析：畢達(dá)格拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”（指有理數(shù)），該學(xué)派中一個(gè)成員卻發(fā)現(xiàn)“不是有理數(shù)”，由此導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn).無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)，它促使人們從靠直觀或經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向靠證明.如何證明這一命題呢？這是一個(gè)否定性命題，因此可考慮從結(jié)論的反面入手.也可看作是證明“是無理數(shù)”這一肯定性命題，但不難發(fā)現(xiàn)幾乎沒有什么可利用的條件，因此可考慮利用反證法產(chǎn)生“有效增設(shè)”，即假設(shè)它不是無理數(shù)，則它肯定是有理數(shù)，于是就可以得到“（p、q為整數(shù)且p、q互質(zhì)）”這一推證的基礎(chǔ).（具體證明過程略）

［例2 命題］兩直線平行，同位角相等

分析：這是平行線的一個(gè)性質(zhì)，直接證明較難，同時(shí)我們知道平行線的一個(gè)判定：“同位角相等，兩直線平行”，此判定和性質(zhì)是互為逆命題的，因此這是個(gè)逆命題為真的命題.假設(shè)兩同位角不等，則可以做出一個(gè)同位角相等的角，于是根據(jù)該逆命題，又得到了一條與已知直線平行的直線，這就與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾.（具體證明過程略）

［例3 命題］經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作出一個(gè)圓（見人教版教材“圓”這一章節(jié)中的“思考”）

分析：經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)能否作出一個(gè)圓？我們無論是徒手畫還是借助幾何畫板都畫不出來，然而要確認(rèn)“經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作出一個(gè)圓”，不能依靠觀察、猜想、驗(yàn)證的方法，而必須進(jìn)行推理論證.命題“經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作出一個(gè)圓”是一個(gè)否定性命題，因此我們可以考慮反證法，即假設(shè)“經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)能作出一個(gè)圓”，根據(jù)垂徑定理，則可馬上得出與定理“在平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線相互垂直”相矛盾的事實(shí).（具體證明過程略）

（二）反證法在中考中的應(yīng)用例析

反證法在全國各地中考中，多數(shù)沒做考查要求，但掌握了反證法的原理和方法，有利于我們分析和解決各類問題，在拓展解題思路的同時(shí)，也提高了解題的有效性.下面舉例說明反證法在各省中考數(shù)學(xué)試題解答中的應(yīng)用.

1.利用反證法來進(jìn)行推理與判斷

［例4］（2018 年福建省中考）已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，下列判斷正確的是（ ）

A.1 一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0 的根

B.0 一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0 的根

C.1 和-1 都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0 的根

D.1 和-1 不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

分析：很多考生選錯(cuò)答案，甚至部分教師認(rèn)為答案D 有誤、C 是正確的.D 是一個(gè)否定性命題，正面無法判斷，可以用反證法從反面推理.假設(shè)1 和-1 都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0 的根，則有b=a+1 且b=-(a+1)，由方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到b=a+1 或b=-(a+1)，這與b=a+1 且b=-(a+1)矛盾.因此，1 和-1 不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0 的根.

［例5］（2013 年江蘇省揚(yáng)州市中考）如果10b=n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b=d(n)，由定義可知：10b=n與b=d(n)所表示的是b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系.

①略；

②勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d(mn)=d(m) +d(n)，

d=d(m)-d(n).根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：（略）；

③如下表1 中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d(x)有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請找出錯(cuò)誤的勞格數(shù)，說明理由并改正.

表1

分析：③要求找出錯(cuò)誤的d(x)并說明理由，可用反證法進(jìn)行推理與判斷.假設(shè)d(3) ≠2a-b，則d(9)=2d(3) ≠4a-2b，d(27)=3d(3) ≠6a-3b，這與題設(shè)“d(x)有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的”矛盾.因此，d(2)=2a-b；假設(shè)d(5) ≠a+c，則d(2)=1 -d(5) ≠1 -a-c，d(6)=d(3) +d(2) ≠1 +a-b-c，d(8)=3d(2) ≠3 -3a-3c，這也與題設(shè)“d(c)有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的”矛盾，因此，d(5)=a+c.從而d(1.5)和d(12)有誤.

2.利用反證法來進(jìn)行推理與證明

［例6］（2010 年遼寧省鞍山市中考）用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角.

分析：這是條件較少的命題.假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，則底角≥90°，則兩底角≥180°，則等腰三角形內(nèi)角和＞180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故反設(shè)不成立.故命題得證.

［例7］（2007 年廣東省梅州市中考）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且過點(diǎn)

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出它的圖象；

（2）求證：對任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M(m,-m)2都不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上.

分析：由（1）得知二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-(x+1)2+2.下面證明（2），這是個(gè)“至少”“至多”類命題.假設(shè)存在實(shí)數(shù)m1，使得點(diǎn)M(m1,-m12）在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，因此，-m12=+2，此方程無解（因 為d=-8 ＜0），這 與(m1,-m12) 方 程y=(x+1)2+2 的解矛盾，故反設(shè)不成立.故命題得證.

四、結(jié)語

反證法作為一種有效的思維策略和推理方法，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的作用.作為數(shù)學(xué)教師，必須了解反證法的邏輯基礎(chǔ)，掌握反證法的適用條件和使用范圍，對反證法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用有一個(gè)清晰認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)生形成推理素養(yǎng)，這樣才能取得良好的教學(xué)效果.