教師在圓錐曲線教學中的隱蔽錯誤及其反思

王淼生

（廈門第一中學，福建 廈門 361003）

筆者曾歸納了學生在解答三角、立體幾何、線性規劃等知識模塊試題中常見的典型錯誤及應對策略.［1］圓錐曲線在高中數學中占有極其重要的地位，其本質就是滲透數形結合思想，是高考、競賽中的重點、熱點、難點.圓錐曲線相關試題知識點多、計算量大、推理過程繁、變形技巧高、解答靈活性強、思維跨越度大，導致學生出現這樣或那樣的瑕疵乃至錯誤.其實，錯誤不是學生“專利”.教師在圓錐曲線的精致概念、解題過程、命制試題、改編試題中也會類似瑕疵乃至錯誤，有些錯誤極其隱蔽，甚至個別問題至今都難以圓滿解決.減少乃至杜絕這些錯誤是一線教師必須面對的課題.

一、精致概念出現茫然

案例1：若橢圓焦點為F1（9,20）、F2(49,55)，且與x軸相切，則該橢圓長軸長的最小值為_____________.

錯解：案例1 為某地青年教師解題大賽試題.由于教材是在標準狀態下呈現圓錐曲線方程（即標準方程），因而不少教師看到焦點不在x軸或y軸，心生畏懼而放棄，還有不少教師沒有悟透概念（橢圓定義）更不會精致概念而茫然無措.

錯因：數學教學中最困難、最棘手的就是概念教學，數學概念是進行推理、判斷、證明的依據，是構建定理、法則、公式的基礎，是建立數學知識體系的根基，是形成數學思想方法的源泉，是解決數學問題的前提.數學教學核心就是概念教學，關鍵在于精致概念，這是考量教師專業功底的重要標志.需要教師在概念產生、生成過程中明晰概念來龍去脈，在體驗概念引入、發展進程中辨析概念，在概念的歸納、提煉歷程中鞏固概念，在構建、甄別概念動態過程中精致概念.教科書是這樣給出橢圓定義：

平面上動點p到兩個定點F1、F2距離之和為定值2a，且2a＞2c=此時動點P的軌跡是以定點F1、F2為焦點、2a為長軸長的橢圓.當我們以定點F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2中垂線為y軸建立平面直角坐標系時，得到橢圓方程為=1.其實可以任意建系.當然，不同建系方式，得到橢圓方程是不同的.只不過將焦點放在x軸或y軸時得到的方程最為簡單，故而稱為標準方程.進一步精致橢圓定義得到：無論以何種方式建立直角坐標系，其軌跡都是橢圓，且只要動點P在橢圓上運動，恒有|PF1|+|PF2|=2a.據此得到以下正確解答：

二、強行計算出現失利

案例2：雙曲線中心為原點，焦點在x軸上，漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F且垂直于l1的直線l分別交l1，l2于A，B.若成等差數列，與同向.［2］

（I）求雙曲線的離心率；（II）設AB被雙曲線所截得的線段長為4，求雙曲線方程.

案例2 為2018 年高考全國I 卷文科第22 題（理科第21 題）.通過雙曲線這一載體，考查解析幾何基本思想、基本方法，涉及數形結合、轉化與化歸、方程等思想，是一道經典試題，因此某地將上述案例2 第（I）問改為填空題并作為參加某省技能大賽測試題.案例2 入手不難，遺憾的是在規定時間內完整解答出來的選手寥寥無幾.

錯解：設出直線l的方程并分別與l1，l2聯立求出A，B坐標，再依據兩點間距離公式求出，最后強行代入2看似目標明確，但因字母較多，運算量很大，加上時間緊張、心理壓力大，最終無功而返.

錯因：計算不同于運算，這正是將數學運算作為六大核心素養之一的緣由.漸近線作為雙曲線特有標志，具有獨特性質.尤其要掌握過焦點作漸近線垂線所涉及的結論，有利于理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求出運算結果，反思運算歷程，提升數學運算素養.

圖1

三、解答試題出現偏差

錯因：案例3 是某地高三模擬試題.上述解答過程流暢，似乎無懈可擊，其實不然.由上述等號成立的條件便知m=n，且2β=，則△PF1F2為等腰直角三角形，即b=c（c為半焦距）.也就是說，當點P位于橢圓短軸頂點且b=c時取得最大值.事實上，案例3中的條件并沒有必須保證具備b=c，因而上述解法實際上人為加強了條件而導致錯誤.

正解：由上述錯解過程及余弦定理可得

當且僅當m=n，即當點P位于橢圓短軸頂點時取得最大值.

解析幾何最值問題經常借助基本不等式求解.但多次使用基本不等式要保證每一次等號成立的條件和諧相處，尤其當基本不等式與三角同時進行放縮時，更要慎重檢驗放縮過程是否與題意保持一致，是否忠實于原題要求，否則會出現意想不到的錯誤.

四、命制試題出現錯誤

圖2

錯因：案例4 源自某地考題.上述求解、推理看似嚴謹、規范，但這確實是一道錯題.原因在于滿足條件的點P根本不存在.而上述解答過程是在默認點P存在的前提下而得到.

由此說明直線F1P與這條漸近線平行，這就意味著直線F1P與雙曲線右支根本不可能相交，從而說明這樣的點P不存在，當然△PF1F2就不存在.

修復：要使這樣的△PF1F2存在，只要使得kF1P＜k1，比如，已知“直線IF1的斜率為”就存在這樣的△PF1F2，依據上述解答方法可以求出相應的△PF1F2的內切圓的方程.

五、改編試題出現瑕疵

上式即為動點P的軌跡方程，因此動點P的軌跡為橢圓（去掉A，B）.

同理，設Q(x,y)，依據已知條件可得

圖3

圖4

錯因：案例5 源自某地高三質檢題.以向量為載體，考查圓、橢圓及最值、范圍，凸顯數形結合、轉化化歸等思想，是一道集知識、能力、方法、思想及素養于一體的綜合性較強試題.從局部看，上述解答每一步似乎都是嚴謹、規范的，但從整體審視，確實存在瑕疵，甚至錯誤，而且極其隱蔽.［1］那到底錯在哪兒呢？是解答錯誤還是試題本身有瑕疵呢？

為了便于說明問題，以下將原題摘錄如下：

案例6：設點A，B的坐標分別為(-5,0)，(5,0).直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為-，求點M的軌跡方程.

案例6 事先設置了點的坐標，因此其軌跡與方程是唯一確定的.然而，上述解答過程中的建系是將線段AB所在直線為x軸，也就是說，解答中得到的橢圓=1 是長軸最短的橢圓（如圖5）.倘若將線段AB所在直線為y軸，那么得到的橢圓就是長軸最長的橢圓（如圖6），這就說明案例5 中的橢圓是一個不確定的橢圓.

圖5

圖6

事實上，線段AB不一定必須作為橢圓長軸.將線段AB作為橢圓任意一條中心弦都可以滿足斜率之積為定值.也就是說，上述解答正是在長軸最短的橢圓下得到的答案，顯然是不嚴謹的.為了更加直觀地說明問題，利用幾何畫板繪出以下圖形：

以|PQ|最小值為例：圖7 就是長軸最短的橢圓，此時|PQ|min≈0.85；圖8 就是長軸最長的橢圓，此時≈0.90.由此說明不同建系得到的最小值是不同的！至此，可以判定上述解答過程是錯誤的.遺憾的是，因筆者功底淺薄，至今還有一些疑惑：如果案例5 正確，那么| |PQ取值范圍到底是什么？如果案例5本身存在瑕疵，瑕疵在哪兒？又該如何修復？以后命制此類試題時如何避免犯同樣錯誤？

圖7

圖8

羅增儒教授認為，錯誤是越過障礙、達到目標的必經階段；錯誤是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉.［3］錯誤是一面鏡子，能夠充分暴露解題人、命題人的構思歷程、思維過程，同時錯誤也是難得的、寶貴的教學資源，深刻反思出現錯誤的誘因、出現錯誤的方式以及矯正錯誤的良策，撥亂反正，走出誤區，在“錯”中“磋”、在“誤”中“悟”、在“探”中“嘆”.