核心素養視域下高中概率單元的教與學

林晴嵐 黃 勇 陳柳娟

（福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350025）

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》優化了原有高中數學概率與統計主線課程內容，將數據分析素養作為高中數學課程概率與統計主線課程的重點培養目標，對概率單元的課程內容進行整體重構.概率單元課程內容由三個核心內容重新構建：第一個核心是圍繞對隨機現象認識展開研究學習；第二個核心是通過學習有限樣本空間（特別是古典概型），初步理解概率模型；第三個核心是通過學習幾個典型隨機變量分布（如二項分布、超幾何分布、正態分布等），會用概率模型解決簡單的實際問題.［1］落實概率單元的整體學習要求思路是通過對生活的具體實例研究，認識概率這一研究復雜隨機現象規律的重要數學工具；認識和理解隨機事件和概率的意義；理解不確定性思維模式與確定性思維模式之間的差異；學會面對現實生活中各種各樣的隨機現象，合理利用隨機變量刻畫隨機現象建立概率模型解決實際問題，掌握從不確定性的角度認識客觀世界的基本方式方法，落實“使學生學會數學的思考方式”，也是提升學生數學核心素養的關鍵.

一、概率單元學習內容

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》課程內容設置中概率大單元主要核心內容總體構建如圖1 所示.概率大單元總體構建的主要核心內容按照普通高中學業質量標準不同進行劃分成兩部分，兩個不同的學習要求標準：一是以高中數學學業質量標準設置數學必修課程內容，意在通過相關內容如隨機事件與其獨立性、概率的學習，能正確區別統計思維與確定性思維的差異，領悟統計判斷結果的或然性，有能力為相關事件現象進行科學決策；二是以進一步深入高校學習而必須參加全國統一高考選拔性測評應達到的數學學業質量標準，設置數學選擇性必修課程內容，重點選擇與隨機事件相關的主要內容如條件概率、離散型、連續型（正態分布）的學習，從嚴謹、準確描述生活中隨機現象的視角，讓學生感悟科學分析隨機現象對促進社會發展的價值與重大作用，促進學生理性精神的形成與發展.

圖1

概率單元內容新變化說明：

1.增加了有限樣本空間內容.讓學生在有限樣本空間知識的基礎上學習古典概型，增強對概率的理解.［1］

2.增加了全概率公式和貝葉斯公式.讓學生借助初中已學樹狀圖梳理解決問題的思路，進一步學習利用全概率公式計算概率，感受在現實問題解決中，全概率公式更具有應用的普遍性，能更簡潔、更清晰、更有條理描述問題解決的思路；了解貝葉斯公式，是為了加強與信息技術的融合，加深對概率分布的理解，把握概率與統計聯系，以及系統的統計推理與決策方法，助力發展學習型人工智能.

3.減少了原有課程內容的幾何概型.高中概率單元課程內容的總體設計是要求滿足學生在中小學階段，通過初步學習概率單元課程內容，掌握古典概型、幾何概型、二項分布、超幾何分布等，并在不斷地深入學習概率相關概念、公式、模型的過程中，進一步了解正態分布，理解有限樣本空間，提升用統計的眼光觀察現實中的隨機現象、用概率中的隨機思想思考現實問題、用概率公式嚴謹、準確地描述隨機現象的素養，為今后進一步深入學習概率空間奠定基礎.［2］

二、概率單元的教學思考

高中數學課程內容概率與統計主線的概率單元學習是由三個問題將概率單元核心內容串聯起來：一是對投擲骰子問題研究，認識隨機現象、樣本點、樣本量，理解樣本點與隨機事件的關系；二是通過古典概型的案例研究與學習，認識有限樣本空間，以及古典概型的特征，掌握建立概率模型的一般方法；三是借助二項分布、超幾何分布、正態分布等幾個典型隨機變量分布，學習運用概率模型解決實際問題的基本方法；把握概率與統計主線整體知識框架和脈絡，打開研究概率問題的新視角，發展學生的數據分析素養.

（一）概率必修單元的教學思考

圍繞必修單元學習主要內容隨機事件與概率與隨機事件的獨立性的教學思考，把握好以下五個方面：一是從概率論的特點來把握整體的邏輯關系；二是在核心概念“隨機事件”的教學過程中，讓學生體驗用數學的抽象語言描述“隨機事件”的過程；三是加強概率思想與方法的教學，讓學生在概率問題解決過程中學習運用類比、歸納等數學思想，掌握概率的研究路徑，領會事件的關系與運算，［3］等等；四是關注統計與概率的聯系，理解概率是為統計的發展提供理論基礎，概率的模型、公式為統計的科學解釋提供重要的依據；五是加強在概率運算中融合信息技術應用，明確從統計的總體中有效選擇樣本，構建概率模型嚴格、準確分析樣本中的隨機變量，借助樣本情況科學分析總體情況，信息技術是必備的先進且科學的應用工具.

教學時可通過典型的隨機現象（如拋擲硬幣、骰子等），從實例出發，讓學生經歷對隨機現象分析與歸納，從中獲得研究對象即隨機現象特征的認識與理解，加強用數學語言描述隨機現象，在解決實際問題中學習構建概率模型的一般方法，［3］領悟隨機思想和模型化思想.教學實踐時可從以下幾方面落實：一是以投擲骰子來提出問題，引導學生圍繞投擲骰子這一隨機事件的系列問題展開研究，從而學習隨機事件的相關概念，領會隨機事件發生的含義，理解古典概型；［1］二是讓學生思考連續投擲一枚均勻骰子兩次，學會如何正確表示該隨機事件的樣本點和樣本空間，經歷隨機事件的概念從直觀描述到數學刻畫的精確化過程，［3］學會用不同的語言表達方式表示事件的樣本點和樣本空間；三是通過學習用語言表達隨機事件“第一次投擲骰子得到點數是i，第二次投擲骰子得到點數是j，(i、j∈{1,2,3,4,5,6})”的樣本點與樣本空間，加深學生對隨機現象、兩個隨機事件獨立性、關系與運算法則的理解，能結合實際問題構建概率模型，計算隨機事件的概率；［1］四是從求隨機事件“兩次投擲骰子得到點數之和為6”的概率問題中，讓學生體會從特殊到一般、模型思想與隨機思想等，正確理解隨機事件的發生與否具有隨機性，但隨機事件的概率是確定的數值，明確現實問題處理過程中是采用隨機抽樣和用樣本推斷總體，所以在利用概率作決策時，應選擇大概率的方案，但要明白此方案未必是最好的.

（二）概率選擇性必修單元的教學思考

概率主題選擇性必修內容.教與學中，重點借助具體實例引導學生學習用隨機變量刻畫隨機現象，會嚴謹、準確地表達隨機變量與隨機事件的關系.教學可從以下幾方面展開：一是在必修課程內容中學習隨機事件的基礎上，進一步深入學習隨機事件的條件概率，掌握利用全概率公式求隨機事件的概率解決隨機現象問題的方法；二是通過具體的實例，幫助學生在了解離散型隨機變量的相關概念、伯努利實驗、超幾何分布及其均值的基礎上，掌握離散型隨機變量二項分布的數字特征，并能應用相關模型解決簡單的實際問題；［2］三是會根據具問題建立的誤差模型，展開對正態分布的隨機變量、均值、特征等相關概念的學習.［2］（如圖2）

圖2

教學時，以必修課程中概率知識技能、思想方法及學習活動經驗積累為基礎，以發展學生數學核心素養為宗旨，綜合典型問題進一步開展學習概率的教學活動.一是對于條件概率的概念學習，可以選擇問題“有一家庭有兩孩，若知該家庭有一女孩，那么這個家庭兩個孩子都是女孩的概率是多大”為研究案例，讓學生認識到，以“家庭已有一女孩”為事件A，“這個家庭兩個孩子都是女孩”為事件B，即在事件A 發生的條件下，事件B 發生的條件概率本質就是在縮小的樣本空間A 上求積事件AB 的概率P(B│A)=(P(AB))/(P(A)).通過“問題情境—思考探究—抽象概括”的方式，讓學生認識條件概率的意義，領會隨機事件的獨立性與條件概率之間關系，掌握求條件概率的兩種方法.學習用全概率公式解決復雜事件概率的基本思路，可以通過“某企業有三臺車床加工同一型號零件，第一臺車床加工次品率為6%，第二、三臺車床加工的次品率均為5%，現有三臺車床零件混成一堆，在此堆零件中第一、二、三臺車床零件分別占總數的25%、30%、45%.問：從中任取一個零件是次品的概率是多少？”案例分析，使學生體會利用全概率公式解決問題的方法，思路更清晰、簡潔，更具有一般性.二是理解隨機變量的概念，可以從隨機試驗“拋擲一枚硬幣直到正面朝上為止，變量Y 表示需要拋擲的次數”出發，首先建立隨機試驗的樣本空間，認識每一隨機試驗作為樣本點所具有的隨機性，［4］領會到隨機變量是對隨機試驗可能結果的量化，明晰了隨機思想與數學確定思維之間的聯系，厘清研究離散型隨機變量的路徑“隨機現象（問題情境）—樣本空間—離散型隨機變量—分布列及其表示—分布列性質”，［2］掌握用隨機變量構建概率模型刻畫隨機現象規律的思想方法，感受到借助信息技術工具來完成連續型隨機變量的概率計算對決策體現出的重要作用.

總體要求，學生通過概率大單元課程內容學習，厘清概率相關知識，以及概率的基本概念，清晰了解抽象概率的研究對象，掌握了概率的性質、公式，學會了如何構建研究具體隨機現象的思路和方法，積累了比較豐富概率研究路徑的經驗，會根據實際問題構建合理的概率模型來解決實際問題，［2］掌握了借助信息技術工具來完成有關概率的計算手段，增強數學抽象、直觀想象與推理能力.從嚴謹、準確描述生活中隨機現象的視角，讓學生感悟科學分析隨機現象對促進社會發展的價值與重大作用，促進學生理性精神的形成與發展.

三、概率單元所承載的育人價值

概率大單元的學習意義在于樹立“隨機思想”，認識客觀世界中各種不確定性現象——隨機現象，正確認識現實世界出現的各種現象中“隨機”特點，對隨機現象有能力從中抽象出相關的數學研究對象，把握事物發展的脈絡，會用科學的手段有條理、合乎邏輯解釋現實中的隨機現象，并對隨機現象進行科學分辨和提出科學的決策意見.學生通過概率與統計主線學習：一是明確了概率為“統計”的發展提供理論基礎，“隨機現象”作為概率的研究對象有著豐富的呈現形式（如天氣預報、生物制藥、種子培育、地質勘探、產品檢測、病毒傳播等）.認識到對隨機現象的正確“分辨力”是基于對總體中有效選取樣本、合適的概率模型選擇、有效分析隨機現象、科學推斷隨機現象產生的可能性等各環節的有效把握，最終達到透過“隨機”現象探索客觀事物本質和規律的過程，提升了主動分辨信息、科學定量分析的意識和能力；二是形成通過隨機現象認清事物的變化的不確定性的思維品質.能通過隨機思想去思考、去洞察事物的本質和發現其內在規律性，尋求問題的解決的科學途徑，掌握用統計與概率的思想去分析客觀世界的變化和發展的技術手段；三是積累基于“隨機”現象分析的活動經驗，從活動中感悟隨機思想是認知客觀世界的基本思想和數學方法，在現實生活中會有意識觀察與探索生活中隨機現象，能正確認識隨機事件中的偶然性與必然規律，掌握用確定的數學模型分析解釋隨機現象的思維模式和解決問題的方法，拓寬了認識與探索客觀世界規律的視野，培育學生用數學的眼光觀察看現實生活中的隨機現象，用數學的語言描述現實生活中的隨機現象，［1］提升對現實世界各種現象正確分辨能力.