基于時延估計的不確定混聯機構自適應慣性增益滑模控制方法

蔣毅躦，高國琴，方志明

（江蘇大學電氣信息工程學院，江蘇鎮江 212013）

0 引言

混聯機構是一種由串行鏈和并行鏈相結合所組成的機械結構，具有剛度大、承載能力強和工作空間大等優點［1］。為提升現有汽車涂裝輸送設備的承載能力與柔性化水平，本文基于混聯機構研發了一種承載能力強、柔性化水平高的汽車電泳涂裝輸送系統［2-3］。基于動力學模型的混聯機構控制方法，考慮動力學特性，其非線性部分可以通過設計控制器進行補償，在理論上能實現良好的控制效果［4］。然而，混聯機構的非線性、強耦合，復雜多輸入多輸出特性，導致建立其動力學模型較為復雜，同時其還因進出電泳槽液存在模型參數變化與外界擾動突變等不確定因素［5］。為此，有必要從實時獲取混聯機構動力學模型、解決不確定性問題方面進行研究，以提高該混聯機構的動力學控制性能。

為解決實時獲取混聯機構動力學模型問題，Hsia 等［6］最早提出時延估計技術以估計機械臂的模型，現已在機器人控制領域中獲得廣泛關注［7-8］。其核心思想是利用時延估計（TDE）技術，通過采樣系統在上一時刻的時延狀態（輸出與加速度）估計系統動力學模型，是一種無需復雜被控對象動力學模型，避免在線實時計算其逆動力學的方法［9］。但傳統TDE 技術應用于動力學控制時常存在兩個問題，一是存在時延估計誤差影響跟蹤精度，二是難以選取合適的時延估計常量慣性增益。

時延估計誤差與采樣頻率有關且具有非線性，是限制控制器性能的固有因素［10］。為解決時延估計誤差對跟蹤精度所造成的影響，在初期研究中提出了基于TDE 的PD控制算法，以抑制時延估計誤差在跟蹤精度方面帶來的影響，但針對采樣頻率較低的時變不確定系統抑制效果有限［11-12］。相較于TDE-PD 控制策略，基于TDE 的等速趨近滑模控制算法，不僅可以抑制時延估計誤差帶來的影響，還能使系統在時變不確定性問題下達到更高的跟蹤精度［13-14］。Jin 等［15］提出基于TDE 的非奇異快速終端滑模（NFTSM）控制方法，在提升時延估計誤差下不確定系統跟蹤精度的同時，利用NFTSM 的系統狀態在有限時間內收斂、改進終端滑模控制（TSMC）收斂速度緩慢甚至“收斂停滯”問題，并解決奇異性問題的特點，實現更短時間的誤差收斂，達到較高的跟蹤精度［16-17］。

針對上述問題，本文利用TDE 技術實時獲取時延估計動力學模型，引入非奇異快速終端滑模抑制時延估計誤差對跟蹤精度的影響，以保證滑模面收斂速度與系統的非奇異性。針對該不確定混聯機構難以選取合適定常慣性增益問題，對慣性增益矩陣提出自適應規則，不僅能動態調節得到合適慣性增益的值，且能使系統迅速抑制由外界擾動突變等引起的突變時延估計誤差。最后，提出一種基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制方法，以提高混聯機構在不確定性問題下的魯棒性與軌跡跟蹤精度。

1 混聯機構描述及基于TDE的控制器

1.1 混聯機構描述

本文選用課題組自主研發的汽車電泳涂裝輸送用混聯機構，該雙邊對稱混聯機構的單側結構如圖1 所示（其中，各數字指代如下：1-導軌、2-底座、3-行走驅動電機、4-減速機、5-移動滑塊、6-升降驅動電機、7-連桿、8-從動輪、9-主動輪、10-連接桿、11-車體、12-翻轉驅動電機、13-電動絲桿）。混聯機構的行走驅動電機驅動行走輪帶動整個機構做前進和后退的平移運動。由于升降、翻轉機構是結構較復雜的雙邊對稱混聯機構，控制策略設計要求較高，因此著重研究升降翻轉機構的動力學建模及控制策略。

Fig.1 Hybrid mechanism for automobile electrocoating conveying圖1 汽車電泳涂裝輸送用混聯機構

對于該混聯機構，其動力學方程可表示為：

其中，q=(q1q2φ1)T為單側的滑塊位移與主動輪逆時針轉動角度為對應的速度和加速度；M(q)為廣義慣性矩陣為Coriolis 矩陣；G(q)為重力項矢量；為摩擦力項；τd為集總擾動項；τ為控制力矩向量。

1.2 基于TDE的控制器

將式（2）考慮時間變量重寫為如下：

將N 表示為時間t的函數，代表系統在運行時隨時間發現的變化，其他作此下標的均代表此涵義。N 的估計值可以通過TDE 技術估計得到。

采用TDE 技術的傳統時延估計控制器（TDC）已被提出，其控制律為［6］：

其中，e=qd-q(t)定義為軌跡跟蹤誤差，qd為關節的期望運行軌跡。式（6）等號右邊的第一部分能夠補償混聯機構非線性動力學部分，而第二部分則為線性期望誤差動態方程，作用于該閉環系統中。為提高系統魯棒性和收斂速度，式（6）的第二部分可采取其他公式，詳見第2章。

1.3 慣性增益Μˉ

由此可見，經過運算后實現了整個關節動力學的解耦與線性化處理。但是通常由于時延值選取等一系列原因，時延估計項無法完全補償混聯機構非線性動力學部分，存在估計誤差，因而式（7）重新寫為：

定義誤差的表達式為：

將式（9）稱為TDC 估計誤差，當滿足式（10）的條件時ε是有界的。對于任意t≥0 的時間，時延控制估計誤差（TDE errors）在常數矩陣滿足約束條件式（10）時都是有界的［6，10］。理論上可以通過式（10）計算得到，但實際上的值很難準確獲得，它會因如機器人位姿、外界不確定等因素而發生變化。進而在實際應用中通常采用試錯法調節，一個合適的慣性增益能夠保證系統穩定性與控制性能，相反也會對控制器造成嚴重影響。但增益的選擇是一個復雜不容易的問題，因為當機器人的慣量變化時，即使在當前選擇了一個合適的值，之后也可能無法滿足約束條件式（10）。因此，傳統的TDC 在應用中通常存在以下兩點問題：①PD 型的線性誤差動態方程處理復雜集總未知項時魯棒性不足；②常量在系統處于時變、不確定性等問題的工作狀態時難以保證系統穩定性與控制性能。

備注1：問題①在下文會作詳細解釋。

備注2：為確保式（5）的時延估計估計有效性，采樣周期L 應該足夠小。在常見的機器人中，此要求可以很容易通過一個或幾個采樣周期的選取加以實現。但當系統的采樣周期較長時，則需要對TDC 進行改進以達到控制要求［19］。

2 基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制器設計

為解決上述提到的兩個問題，首先通過引入非線性期望誤差動態方程（Nonlinear DED）提高響應速度以及抑制時延估計誤差項式（9），達到加強控制性能要求。本文選擇NFTSM 動態方程替換控制律中的線性期望誤差動態方程部分。根據研究的一般混聯機構系統模型階次，故滑模面與趨近律設計選取如式（11）、式（12）［20］：

其中ρ1、ρ2、α、β為控制器參數，q，p(p＞q)，γ＞1，0 ＜k＜1 都是正奇數。選用NFTSM 動態方程，其具有限時間收斂到平衡狀態、消除抖振以及對系統不確定性和擾動具有很好的魯棒性等特點。

本文提出基于NFTSM 滑模面式（11）和趨近律式（12）的TDC 策略，如式（13）：

2.1 自適應慣性增益設計

再根據滑模面式（11）將式（14）變形為：

該非線性微分方程的收斂性可參考文獻［20］。當考慮估計誤差時，式（15）重寫為：

在閉環動態方程式（16）中，時延估計誤差（TDE error）可以看作是脈沖型擾動的輸入誤差。方程在給定時延估計誤差ε后，滑模變量s在穩態下的大小主要由決定，同時ρ1、ρ2與系統響應速度有關。因此，當的模值越大，滑模變量s就越小。但由于不等式約束式（10）的存在，的模值大小不能無限制增大，否則會使整個系統不可控。

其中：·i和·i i分別代表向量·的第i個元素與對角矩陣·的第ii個斜對角元素；式中引入滑模變量si與其導數與ki是正常系數，起到調節慣性增益矩陣變化速率的作用；δi是滑模變量si與的正則化因子這項定義為約束層。通過引入式（11）中定義的s 變量，所提自適應律調節到一個合適的范圍內，用于保證系統在不確定性問題下的魯棒性，同時提高了誤差收斂速度。

所設計基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制器原理框圖如圖2所示。

Fig.2 Schematic diagram of controller圖2 控制器原理框圖

2.2 穩定性證明

根據Lypunov 理論證明根據式（18）所提出的基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制系統的一致最終有界性。

假設1：系統不確定部分及外部隨機干擾項變化緩慢時延誤差εi有上界，為當選用合適的控制增益時，假設1成立，具體證明過程可參考文獻［21］。

假設2：在時間t=0 時，滑模變量靠近于零。這是因為通常在實際操作中，混聯機構的初始運行位置一般也為期望軌跡的初始位置。

設計一個Lyapunov 方程如下：

將式（15）和自適應律式（16）代入式（18）中可得：

3 仿真及結果比較

3.1 仿真環境

以式（1）所示的汽車電泳涂裝輸送用混聯機構作為被控對象，給出兩個實例進行仿真研究，最終通過比較各方法數值模擬的結果驗證了所建立模型與提出方法的有效性。情況一為在模型參數變化的不確定因素下進行仿真，特意“隨機”設置被控對象的變化負載質量m=15kg；情況二為在基于情況一且受外界擾動突變的時變不確定因素下進行仿真，其中混聯機構的主要參數參考文獻［2］。

Table 1 Lumped disturbance term parameters表1 集總擾動項參數

3.2 數值仿真

為驗證所提出控制方法的有效性，將在變負載具液阻汽車電泳涂裝輸送用混聯機構中對基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制方法（簡稱為：所提方法）的仿真結果與另外兩種方法的仿真結果進行比較。這兩種分別是基于拉格朗日動力學模型的NFTSM 控制方法（簡稱控制方法1）與基于時延估計的定常慣性增益滑模控制方法（簡稱控制方法2）。

非奇異快速終端滑模面參數為：α=7，β=2，γ=3，p=5，q=3；控制律參數為：ρ1=5，ρ2=12，k=0.5；慣性增益自適應律參數為 ：δ=[3，3，30]T，diag(0.15，0.15，1.5) × 102，初值控制方法1中控制器使用已有名義模型［2］，其負載質量m=5kg。

由于升降翻轉機構兩邊對稱，兩邊對應關節運動一致，故只給出一側升降翻轉機構各主動關節的仿真曲線。圖3 為在第一種情況下各主動關節軌跡跟蹤誤差曲線；圖4 和圖5 分別為在第二種情況下的各主動關節軌跡跟蹤曲線與所提方法根據系統狀態對于慣性增益矩陣進行調節的曲線。3 種控制器下各主動關節的軌跡跟蹤均方根誤差數據（RMSE）如表2所示。

如圖3 所示，控制方法1 由于無法在線辨識系統參數變化的不確定情況，拉格朗日動力學模型的不精確導致軌跡跟蹤誤差較大；而使用了TDE 技術的控制方法2 與所提方法通過估計系統動力學模型解決了模型參數變化帶來的不確定性問題，都有較小的軌跡跟蹤誤差。同時，通過對慣性增益矩陣的自適應調整，所提方法在同等情況下相對于控制方法1、2 具有較快的收斂速度，如表2 所示，所提方法具有更高的軌跡跟蹤精度。如圖4 所示，所提方法在4 個時刻受到外界擾動突變項影響產生較大軌跡跟蹤誤差時，所產生的誤差峰值較小，誤差收斂速度較快，該控制方法對變負載具液組混聯機構具有良好的跟蹤性能。如圖5所示，慣性增益自適應律根據軌跡跟蹤誤差的大小對慣性增益矩陣進行實時調整，當較大初始誤差及外界擾動突變項干擾時，各慣性增益的值變大，使得誤差減小；當系統逐漸趨于一個相對穩定的狀態時，的值又將減小到一個較小鄰域內。這與上文進行理論分析的慣性增益矩陣變化情況相吻合。

Fig.3 Tracking error curve of joint trajectory under case 1圖3 情況一下關節軌跡跟蹤誤差曲線

Fig.4 Tracking error curve of joint trajectory under case 2圖4 情況二下關節軌跡跟蹤誤差曲線

Fig.5 The inertial gain matrix 圖5 慣性增益矩陣

Table 2 Tracking RMSE of each joint trajectory under case 1表2 情況一各關節軌跡跟蹤RMSE

4 實驗及結果分析

汽車電泳涂裝輸送用混聯機構樣機系統實驗平臺以及樣機進入槽液時的狀態如圖6所示。

Fig.6 A novel hybrid mechanism for automobile electro-coating conveying system圖6 汽車電泳涂裝輸送用混聯機構樣機系統

為進一步驗證所提出的基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制方法的有效性與可行性，將所提出方法與基于時延估計定常慣性增益滑模控制方法（控制方法2）應用于輸送混聯機構樣機，并通過車體進出水槽的過程表示系統受到的時變不確定因素，分別進行運動控制實驗。樣機升降關節與翻轉關節軌跡跟蹤誤差的實驗曲線如圖7 所示，樣機升降關節與翻轉關節最大跟蹤誤差與受擾最長收斂時間的實驗結果如表3所示。

Table 3 Experimental results of maximum joint tracking error and maximum disturbed convergence time表3 關節最大跟蹤誤差與受擾最長收斂時間實驗結果

由圖7 和表3 可知，所提方法具有較小的跟蹤誤差實驗結果，且誤差峰值較小，在受擾產生突變誤差后其最長收斂時間也較短。這進一步驗證了所提出的基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制方法的有效性，該方法能夠同時保證較好的軌跡跟蹤性能和較高的誤差收斂速度。結果表明，該控制方法可以保證輸送混聯機構樣機在受不確定因素干擾時的較高軌跡跟蹤精度。

Fig.7 Experimental results of joint trajectory tracking error圖7 關節軌跡跟蹤誤差實驗結果

5 結語

文本針對汽車電泳涂裝輸送用混聯機構建立其動力學模型較為復雜且難以獲取精確模型參數的問題，提出一種基于時延估計的滑模控制算法，并通過設計慣性增益矩陣自適應律克服了不確定因素對系統的影響，最后通過仿真實驗驗證了所提出的基于時延估計的自適應慣性增益滑模控制算法的有效性。仿真與實驗結果表明，該算法在混聯機構輸送車體進出電泳槽液時，可在保持軌跡跟蹤精度的同時保證系統的穩定性并提高響應速度。本文在研究過程中主要考慮了輸送車體進出電泳槽液時對系統的影響，僅將其當做簡單的突變擾動干擾，然而在實際場景下，進出電泳槽液的過程需更為詳細的分析，同時在空氣與電泳液中運行時也需要考慮不同阻力、摩擦力等。因此，在后續研究中可對混聯機構進出電泳槽液的工作情況作進一步分析，改進相應控制算法以提高算法實用性和可行性。