噴砂除銹并聯機器人無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制

石銘杰，高國琴，方志明

（江蘇大學電氣信息工程學院，江蘇鎮江 212013）

0 引言

現對于鋼箱梁的除銹多采用人工手持噴槍進行噴砂除銹作業，存在安全性不佳、噴涂質量和效率不高等問題［1］，因而用機器人取代人工作業具有重要意義。Stewart并聯機構是一種典型的六自由度運動平臺，具有剛度大、位置精度高、承載能力強等優點。因此，本文基于Stewart并聯機構研制了一種噴砂除銹并聯機器人。

并聯機構的動力學建模是實現其高速度、高精度運動控制的基礎［2］。本文研究的Stewart 并聯機構具有典型的空間閉鏈機構，末端由多條支鏈進行約束。在運行過程中，機構的靜平臺會隨移動小車和升降機構發生位置變化，動平臺會受一個時變的負載作用力的影響。同時，外界環境的影響不可忽略。

若采用傳統的動力學建模方法，如Lagrange 法、Newton-Euler 法、Kane法等，模型計算推導過程復雜，且難以獲得準確的動力學模型參數［3-7］，因此難以建立既能全面反映動力學特性、又能實現實時控制的Stewart 并聯機構動力學模型。為此，本文提出一種Stewart 并聯機構動力學模型的時延估計方法，以實時在線獲取其動力學模型。但是，時延估計技術只能估計出連續或分段連續的非線性函數［8］，部分不確定項如哥式、向心項以及重力項、粘性摩擦力項等可被有效地進行估計與補償。庫倫摩擦力是一種具有快速變化特性的不連續函數，在機器人系統中約占最大電機轉矩的30%［9］。當噴砂除銹并聯機器人進行噴涂作業時，由于主動關節進行伸縮運動，庫倫摩擦力會發生方向的變化［10-11］。此外，由于在電動缸進行伸縮運動的同時，末端噴槍存在射流反推力的干擾，電動缸受到的庫侖摩擦力在產生方向變化的同時還會產生幅值變化。具有復雜變化情況的庫倫摩擦力以及加速度項作為不連續的不確定項，會使系統產生脈沖型時延誤差，將影響系統的魯棒性。文獻［12］針對一種二自由度平面機器人，設計一種結合非線性阻尼和非奇異終端滑模的時延控制器，采用非線性阻尼抑制脈沖型時延誤差，并采用非奇異終端滑模進一步提升系統的控制性能。滑模控制對于不確定因素具有不敏感性。文獻［13］針對一種三自由度PUMA 型機械手，采用時延估計技術估計與補償機器人動力學中的連續非線性項，利用積分滑模面構造模糊邏輯系統以抑制脈沖型時延誤差。相比于線性滑模控制方法，非奇異終端滑模控制采用非線性的滑模面，在平衡點附近具有更快的收斂速度［14］。文獻［15］同時針對二自由度平面機器人和三自由度PUMA 型機器人，設計一種基于時延估計技術的非奇異終端滑模控制器，在無需系統動力學先驗知識的情況下，利用非奇異終端滑模抑制不連續庫倫摩擦力引起的脈沖型時延誤差。

上述方法在采用時延估計技術估計系統模型時，連續的不確定項可被進行有效估計與補償，而不連續的不確定項不能被有效估計，從而被轉換成脈沖型時延誤差。由于非奇異終端滑模控制方法對系統中存在的有界不確定性具有較強的魯棒性，并且可以實現有限時間內收斂，脈沖型時延誤差是有界的［9，16］，因此非奇異終端滑模控制方法可以解決不確定性問題。但是，傳統的非奇異終端滑模面指數冪項只能是分數指數冪，限制了終端滑模面參數的取值范圍。為解決此問題，本文將終端滑模面參數的指數冪項推廣到實數冪，設計一種實數冪非奇異終端滑模面。此外，噴砂除銹并聯機器人在實際工作時，若所受庫侖摩擦力方向和幅值同時發生變化，符號與上一時刻值的符號相反，且絕對值遠大于上一時刻的絕對值，此時庫倫摩擦力的估計誤差相比僅發生方向變化時庫倫摩擦力的估計誤差更大，其作為時延誤差中的主要部分，會導致時延誤差在此時發生幅值更大的脈沖型變化。當庫倫摩擦力只在某些時刻發生變化時，脈沖型時延誤差也只在某些時刻產生。現有的非奇異終端滑模控制方法選取固定的切換增益，為有效解決脈沖型時延誤差問題，需要保守選取大于脈沖型時延誤差上界的切換增益［11］，易引起嚴重的滑模控制抖振，破壞系統穩定性，嚴重時甚至會損壞機械部件。為解決此問題，本文設計一種當時延誤差發生脈沖型變化時可實時快速調節切換增益的自適應律，通過滑動變量體現庫倫摩擦力變化情況。當滑動變量變化時，使自適應律實現滑模切換增益調整的快速適應性，從而削弱滑模控制抖振。該無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制方法可有效補償噴砂除銹并聯機器人系統中存在的不確定項，同時削弱滑模控制抖振。

綜上所述，針對噴砂除銹并聯機器人Stewart 并聯機構，本文提出一種無模型自適應非奇異實數冪終端滑模控制方法，以解決傳統建模方法難以建立既能全面反映動力學特性，又能實現實時控制的動力學模型問題，以及噴砂除銹并聯機器人系統中存在的不確定性問題和滑模控制存在的抖振問題，從而實現噴砂除銹并聯機器人高精度的軌跡跟蹤控制。

1 噴砂除銹Stewart并聯機構

噴砂除銹并聯機器人由Stewart 并聯機構、升降機構、移動平臺等構成，具有剛度高、承載能力強、可移動性好等優點，能夠實現任意移動、自由升降以及六自由度位姿精確運動操作等。機器人樣機如圖1 所示。其中，Stewart 并聯機構的控制性能將直接影響噴砂除銹質量，為此，本文將Stewart并聯機構作為主要研究對象。

Fig.1 Model of sand blasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯機器人樣機

Stewart并聯機構結構簡圖如圖2所示。Stewart并聯機構由靜平臺，以及6 個電動缸、12 個虎克鉸和動平臺組成。在靜平臺中心Og建立靜坐標系OgXgYgZg，在動平臺中心Op建立動坐標系OpXpYpZp。設動平臺、靜平臺上的虎克鉸為Ai、Bi(i=1，…，6)，靜平臺與動平臺之間用虎克鉸和電動缸連接，通過電動缸的伸縮運動使動平臺進行六自由度的俯仰運動：變量x、y、z分別表示動平臺沿動坐標系X、Y、Z軸移動；歐拉角α、β、χ分別表示動平臺繞動坐標系X、Y、Z軸轉動。

Fig.2 Diagram of sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism圖2 噴砂除銹Stewart并聯機構結構簡圖

2 時延估計動力學模型

對于所研制的噴砂除銹并聯機器人Stewart 并聯機構，其動力學方程可表示為：

式中，q=[x，y，z，α，β，χ]T為Stewart并聯機構動平臺的實際位姿為動平臺的實際速度和實際加速度，M(q)為質量矩陣，為哥氏、向心項系數矩陣，G(q)為重力項矩陣，Fc為突變的庫倫摩擦力，Fv為粘性摩擦力，τd為外界干擾項，τ(t)為控制力矩。

引入一個常數矩陣Mˉ，式（1）的另一種表達式為：

式中，是一個正定對角矩陣，是Stewart 并聯機構非線性動力學、非線性摩擦力和外界干擾的總和，可表示為：

式中，τ(t-L)為時延估計項，其中L)可通過二階后向差分算法2L) +q(t-3L))/L2得到。當L足夠小時，時延誤差整體趨近于0，可表示為：

3 無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制器

3.1 控制器設計

本文設計的無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制器原理框圖如圖3所示。

非奇異終端滑模可實現有限時間內收斂，更適用于高速、高精度控制［18-19］。進一步，為放寬滑模面參數取值范圍，本文設計實數冪非奇異終端滑模面：

選取快速終端滑模型趨近律：

式中，k1、k2是常數矩陣，0 ＜b＜1，K(s)是控制器切換增益。-k1s-k2sig(s)b部分用于保證高控制精度和快速動態響應，-K(s)sgn(s)部分用于保證魯棒性。為克服脈沖型時延誤差，固定選取大于時延誤差上界的切換增益。但是，過大的切換增益會引起滑模控制抖振。

為此，設計滑模控制器切換增益自適應規則：

Fig.3 Schematic diagram of control system圖3 控制系統原理框圖

式中，p、m是系數向量，Kmax是K(s) 的上界值，i=1，2，3，4，5，6。

從式（12）可以看到，所設計的自適應規則是滑動變量s與控制器切換增益K(s)的函數，并且利用上一時刻的切換增益起引導作用。當庫倫摩擦力變化時，滑動變量s遠離滑模面，pi|s|i立即變大為上一時刻的較小值，，控制器切換增益K(s)迅速變大；當庫倫摩擦力變化結束時，滑動變量s靠近滑模面，pi|s|i變小為上一時刻的較大值，控制器切換增益K(s)迅速變小。通過調整參數pi以調節控制器切換增益K(s)的變化響應速度，并調整參數mi以進一步控制調節速度，避免控制器切換增益K(s)過估計。同時，給定控制器切換增益K(s)的上界值Kmax_i，削弱由于時延誤差初始階段較大，固定選取過大切換增益導致的滑模控制抖振。該自適應規則的設計可在初始階段以及庫倫摩擦力發生變化的階段快速選取合適的切換增益K(s)，以削弱滑模控制抖振。

最后，可得到無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制器：

本文提出的控制器由3 部分組成：實數冪NTSM 誤差動力學項、自適應切換增益項和時延估計項。其不僅可提高系統的魯棒性，而且可有效削弱滑模控制抖振。

3.2 穩定性證明

引理1 對于3 個實數a、b、c，當滿足a+b=c，存在h≥0.5，使得［20］：

引理2如果式（10）中控制器慣性增益的選取滿足如下條件：

對于所有的t＞0，‖q(t) -q(t-L) ‖→0，L→0，時延誤差是有界的［9］，且滿足為常數。

引理3關于系統，假設下列不等式（16）對于連續函數V(x) 成立，λ＞0，0 ＜μ＜1，0 ＜ω＜∞，使得［20］：

進一步，到達式（17）所需時間為：

所設計自適應非奇異終端滑模控制器穩定性證明如下：

證明：定義脈沖型時延誤差ε為：

定義Lyapunov 函數為：

對式（20）求導，并將式（21）代入可得：

選取Kii足夠大，可滿足Kii-|εi|≥0，得到：

式（25）為式（23）的特殊情況，針對式（23），滿足：

基于式（30）、式（31），可得如下不等式：

根據引理3，系統將在有限時間內收斂至以下鄰域：

4 仿真實驗及結果分析

Stewart并聯機構參數如表1所示。為驗證所提出的無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制算法的有效性，以包含摩擦力、外界干擾集總擾動的噴砂除銹并聯機器人Stewart 并聯機構為被控對象，分別對無模型PD 控制（TDE+PD）、無模型非奇異實數冪終端滑模控制（TDE+NTSM）和本文提出的無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制（TDE+ANTSM）進行MATLAB 仿真實驗。

Table 1 Parameters of Stewart parallel machanism表1 Stewart并聯機構參數

設動平臺期望軌跡為x(t)=0.1sin(πt)，位姿初始誤差為x(0)=0.02m；選擇摩擦力模型為，其中，Fv=Fc=50N·m；加入外部干擾為sin(1.5t)；采用四階Runge-Kutta 法求解系統動態響應，仿真步長取0.001s。

（1）進行無模型PD 控制（TDE+PD），控制器輸出為τ=時延誤差可表示為通過仿真調試，得到最優參數為：此時，得到時延誤差如圖4所示。

Fig.4 Pulse-type time delay error圖4 脈沖型時延誤差

圖4 表明，在0～6s 內，時延誤差大部分時間趨近于0。但是，由于電動缸伸縮運動時過零速，同時動平臺受到射流反推力影響，庫倫摩擦力發生了方向和幅值變化，時延估計技術不能對其進行有效估計，使得時延誤差在某些時刻會發生脈沖型變化。通過其他結合時延估計技術的控制算法進行分析也可得到相同結論。

（2）分別進行無模型非奇異實數冪終端滑模控制（TDE+NTSM）和無模型PD 控制（TDE+PD），通過仿真調試，得到最優參數為：L=0.001s，diag(4)，k1=0，k2=diag(5)，a=diag(1.8)。此時，得到動平臺x 軸跟蹤誤差如圖5 所示，動平臺x 軸跟蹤軌跡如圖6所示（彩圖掃OSID 碼可見，下同）。圖5、圖6 表明，當時延誤差產生脈沖型突變時，相應時刻的跟蹤誤差也會產生突變，所提出的無模型實數冪非奇異終端滑模控制方法能夠使Stewart 并聯機器人在產生脈沖型時延誤差時具有更高的位置跟蹤精度。

Fig.5 X axis trajectory tracking error of motion platform圖5 動平臺x軸跟蹤誤差

圖7 為無模型非奇異終端滑模控制（TDE+NTSM）各主動關節輸出力矩。

Fig.6 X axis trajectory tracking of motion platform圖6 動平臺x軸軌跡跟蹤

Fig.7 TDE+NTSM active joints driving force圖7 TDE+NTSM 各主動關節驅動力矩

圖7 表明，為有效克服脈沖型時延誤差，保守選取大于脈沖型時延誤差上界的切換增益，引起了嚴重的滑模控制抖振。

（3）分別進行無模型自適應非奇異終端滑模控制（TDE+ANTSM）、無模型非奇異終端滑模控制（TDE+NTSM）和無模型PD 控制（TDE+PD），通過仿真調試，得到最優參數為diag(4)，k1=0，k2=diag(5)，a=diag(1.8)，p=8 000，m=0.014。此時，自適應切換增益如圖8 所示。圖8 表明，在初始階段，由于TDE 算法自身存在的不確定性導致的時延誤差較大，切換增益取到給定上限值。在庫侖摩擦力發生方向、幅值變化的階段，切換增益根據滑動變量s實時調節大小，以確保時延誤差發生脈沖型變化時的軌跡跟蹤精度。

動平臺x 軸跟蹤誤差如圖9 所示，動平臺x 軸跟蹤軌跡如圖10 所示，無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制（TDE+ANTSM）各主動關節輸出力矩如圖11 所示。由圖9-圖11 可知，本文提出的無模型自適應實數冪非奇異滑模控制方法（TDE+ANTSM）可有效解決脈沖型時延誤差問題，實現高精度的軌跡跟蹤控制，同時可削弱滑模控制抖振。

Fig.8 Adaptive switch gain圖8 自適應切換增益

Fig.9 X axis trajectory tracking error of motion platform圖9 動平臺x軸跟蹤誤差

Fig.10 X axis trajectory tracking of motion platform圖10 動平臺x軸軌跡跟蹤

5 結語

Fig.11 TDE+ANTSM active joints driving force圖11 TDE+ANTSM 各主動關節驅動力矩

本文提出一種Stewart 機構無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制方法，引入一個常數矩陣將Stewart 并聯機構動力學方程簡化，然后利用時延信息在線估計方程中的非線性項，獲取既能全面反映動力學特性，又能實現實時控制的Stewart 并聯機構動力學模型；將非奇異終端滑模面參數的指數冪由分數冪推廣到實數冪，只需調整一個實數參數，放寬了取值范圍，并實現有限時間內收斂，以提升Stewart 并聯機構控制的魯棒性；設計一種基于滑模變量s的自適應規則，使得切換增益可在時延誤差發生脈沖型變化時實時進行快速調節，從而提高系統對主動關節伸縮運動和負載作用力變化的自適應性。

本文將所提出的無模型自適應實數冪非奇異終端滑模控制方法進行仿真對比實驗，并進一步應用于樣機實驗研究，結果表明：該控制方法有效解決了噴砂除銹并聯機器人系統中存在的不確定性問題，同時削弱滑模控制抖振，能夠實現基于Stewart 并聯機構的噴砂除銹并聯機器人高精度的軌跡跟蹤控制。在后續研究中將考慮改進實數冪非奇異終端滑模控制方法，進一步提升系統收斂性能。