基于改進灰狼進化算法的六軸機器人時間最優軌跡規劃

段昊宇翔，張 宇，陳昊然，張倩玉

（昆明理工大學機電工程學院，云南昆明 650500）

0 引言

隨著機器人學科的不斷發展，業界內外對機器人運動能力、使用壽命等一系列性能指標提出了更高的要求。機器人軌跡規劃對生產效率和使用壽命會產生直接影響［1］，如何規劃機器人運動軌跡方式具有重要研究意義。

工業機器人的軌跡規劃是指在滿足工作要求和機械臂硬件限制的情況下，對預期運動軌跡進行規劃［2-3］。從數學分析的角度講，就是給機器人的路徑賦予上時間的信息，即在某時刻規定機器人特定的位置、速度、加速度。機器人時間最優規劃是軌跡規劃中一個非線性且非常復雜的研究課題。近年來，國內外學者針對工業機器人時間最優軌跡規劃取得了許多研究成果。代瑞恒等［4］提出一種改進量子遺傳算法的機器人關節軌跡優化，但未考慮機器人動力學約束；浦玉學等［5］提出一種以改進引力搜索算法為基礎的最優控制軌跡規劃，但加權因子的使用主觀性太強，缺乏科學依據；張慧敏［6］使用改進模擬退火算法處理三軸機器人時間最優問題，其并未對位置維度進行規劃，且三軸機器人的適用性不強。此外，由于使用的是三次多項式進行插補，加大機器人運動過程中的振動與沖擊。因此，本文在5 次多項式插值的基礎上，考慮運動學［7］和動力學約束條件，提出使用改進灰狼進化算法在時間維度上對軌跡進行優化的方法，通過點到點（P2P）的方式達到預期軌跡，并使用MATLAB 軟件進行仿真分析，驗證此方法的可行性與有效性。

1 機器人建模

本文以自主研發的HW700 型機器人為研究對象，其三維模型如圖1 所示。使用傳統的DH 參數描述方法［8］建立機器人運動學模型，模型參數如表1所示。

Fig.1 3D model drawing of the research object圖1 研究對象的三維模型

Table 1 DH parameters表1 DH參數

其中，θi表示關節的角度變量，αi表示關節的扭轉，ai表示關節偏距，di表示桿長。

機器人動力學是研究機器人的運動條件和力矩之間關系的學科。其中，正向動力學是已知機器人的力矩條件和上一時刻的運動狀態可以得出下一時刻的運動狀態；逆向動力學是指在已知機器人運動狀態和速度的情況下能得到機器人各關節的力矩，本文提到的動力學是逆向動力學。一般而言，機器人動力學建模分析一般有兩種方法［9］：牛頓—歐拉法和拉格朗日—歐拉法。牛頓—歐拉法分析動力學的優點是可以知道所有連桿生成運動的方向以及大小，但缺點是分析太過復雜，這將導致出錯的概率就會極大提高；而拉格朗日—歐拉法分析動力學是以能量的角度看待系統。雖然兩種方法在分析時選用的角度不一樣，但兩者分析結果相同。本文結合虛功定理使用拉格朗日—歐拉法得到關節i運動時的廣義力矩表達式由式（1）—式（5）所示［10］。

式中：τi表示關節i的廣義力矩；qi表示關節的轉角角度表示轉角角速度表示轉角角加速度；g表示重力矢量表示p 桿的重心的位置向量；Ti-1，i表示相鄰桿件之間的坐標變化矩陣；Ji表示i桿的慣性矩陣；mi表示桿件質量；xi、yi、zi表示i桿的質心坐標；Iixx、Iiyy、Iizz表示i桿的慣性矩［11］；Iixy、Iiyz、Iixz表示i桿的慣性積。

2 軌跡規劃問題描述

根據工作需求，設定目標路線，機器人末端需經過按順序N個目標點，qi，n表示第i個關節在通過目標點Pn（n=1，2，…）時所對應的關節角度。為了使機器人末端的運動軌跡平滑，即機器人各關節可以平穩運動，需保證關節插補函數平滑且連續，一般情況下使用多項式插補的方式，本文選用式（6）所示的五次多項式進行軌跡插補［12］。

從目標點i到目標點i+1，兩個端點處的位置約束條件由式（7）所示。

聯立式（6）和式（7），得到每個關節的多項式系數由式（8）所示。

在機器人運動過程中，機器人在滿足經過給定路徑點條件下，同時滿足機械臂的運動學和動力學約束并以最短時間順利完成給定任務，提高運動效率。本文數學模型構建如式（9）—式（10）所示，機器人運動學約束和動力學約束具體數值如表2所示。

式中：qmin、qmax表示第j個關節的極限旋轉角度；表示第j個關節的最大角速度、最大減速度；表示第j個關節的最大角加速度、最大角減速度；τmax表示各關節能承受的最大廣義力。

Table 2 Binding conditions表2 約束條件

3 改進灰狼進化算法

一般而言，用多項式進行規劃軌跡時需要預先人為設定每一段軌跡中間的時間、位置、速度等一系列先決條件，但是如果已經提前規劃了時間等一系列條件就無法對時間再作優化處理［13-14］。因此，本文選用自適應智能算法尋找最優時間軌跡，即在一個取值范圍內，計算機通過設計的智能算法在約束條件下自動尋找函數最優值。在智能算法選擇上，灰狼優化算法（Gray Wolf Algorithm，GWO）收斂速度快、穩定性好，不會因為意外輸入而引起算法錯誤，具有很強的局部搜索能力。然而，灰狼優化算法存在易陷入局部最優、早熟的缺陷，導致其在處理復雜的工程優化問題時收斂精度不高。王俊等［15］將改進灰狼算法應用于醫學問題之中，解決了其領域中“維數災難”的問題。鑒于此，本文提出改進灰狼進化算法（M-DEGWO），即在灰狼優化算法的基礎上引入差分進化算法（Differential Evolutionary Algorithm，DE）以改善灰狼優化算法易早熟、停滯等不足，從而更好地去尋找機器人在時間維度上的最優軌跡［16］。

3.1 灰狼算法

灰狼優化算法受狼群野外生存的社會等級制度啟發［17-18］，搜索部分的等級制度分為頭狼（Alpha 狼）、二號狼（Beta 狼）、三號狼（Delta 狼）、四號狼（Omega 狼）。算法邏輯部分也遵循著狼群攻擊獵物的過程，首先尋找獵物階段，其次是圍捕獵物階段，最終是進攻獵物階段。Alpha 狼群中的個體，在整個種群當中屬于決策階級，主要任務是帶領種群在狩獵過程中去決定探索方向和管理狼群分布等。Alpha 狼、Beta 狼、Delta 狼、Omega 狼依次為適應度最好的4 個個體，其中Omega 狼為候選解。在空間中，通過Alpha 狼、Beta 狼、Delta 狼去引導狼群不斷向獵物位置靠近，從而找到獵物并進行攻擊。建立這一行為的數學模型如式（11）—式（12）所示。

式中：D表示獵物與個體的距離；t表示當前迭代次數；表示協同系數向量表示獵物的位置向量；表示實時狼的位置向量。

3.2 非線性控制參數策略

式中，tmax表示迭代次數。

3.3 狼群進化

Alpha 狼、Beta 狼、Delta 狼作為進化的父代，通過求出適應度次優的兩頭狼差值并與變化的搜索因子結合［20］，再與頭狼相聯系產生變異代，其變異代生成式如式（19）所示。

其中，W 為動態變化的搜索因子，其變化規則如式（20）所示。

變化的搜索因子可改善傳統灰狼算法在收斂精度和搜索頻次方面的缺陷，搜索因子W和當前迭代的次數t相關，前期當t小時，搜索因子W大，提高了算法的全局尋優能力和個體變異范圍；后期隨著迭代的進行，t逐漸變大，搜索因子W變小使算法有了更強的局部尋優能力。

新生成的子代個體由父代個體和突變代個體擇優提供，在滿足物競天擇的法則之下優勝劣汰，如果產生適應度更優的個體，則會淘汰原本父代中的不良個體，逐步讓狼群向著正確的方向搜索。

3.4 改進灰狼進化算法

改進灰狼進化算法流程如圖2所示。

Fig.2 Flow of modified grey wolf evolutionary algorithm圖2 改進灰狼進化算法流程

算法步驟如下：

Step1：輸入種群規模大小N、最大迭代次數MaxIt、交叉概率PCR、變異概率pumt。

Step2：初始化父代種群{Xi，i=1，2，…，N}，初始化子代種群（child）、突變種群（mutant）。

Step3：將父代種群的個體代入約束條件一（機器人運動學約束）和約束條件二（機器人動力學約束）中，滿足約束條件的個體生成父代種群，不滿足條件的個體被淘汰。

Step4：計算父代灰狼個體適應度并記錄精英狼Xα(t)、Xβ(t)、Xδ(t)的位置、數值大小。

Step5：根據收斂因子a計算出A1、A2、A3的數值，更新的數值并記錄的位置。

Step7：將子代種群的個體代入約束條件一（機器人運動學約束）和約束條件二（機器人動力學約束）中，滿足約束條件的個體進入新的父代種群，不滿足條件的個體將被記錄數量并淘汰。

Step8：記錄當代適應度最優個體（最小值）并與前代適應度最優個體進行比較，同時在新的父代種群中重新生成與不滿足條件個體相同數量的個體，更新收斂因子a等參數。

Step9：輸出歷史最優個體。

4 仿真結果及分析

為了驗證本文改進策略對軌跡優化的效果，規劃了一條由起點P1 和中間點P2 到終點P3 組成的典型搬運工作路徑，并使用智能算法對該路徑進行軌跡優化仿真試驗。路徑具體參數如表3所示。

Table 3 Track location表3 軌跡位置

改進灰狼進化算法參數設置為：種群規模大小N設為100、最大迭代次數MaxIt設為500、交叉概率PCR設為0.7、變異概率pumt設為0.9。差分進化算法的參數設置為：種群規模大小N設為100、最大迭代次數MaxIt設為500，縮放因子W設為0.6，交叉概率PCR設為0.7。灰狼算法的參數設置為：種群規模大小N設為100、最大迭代次數MaxIt設為500。3種算法初代個體的產生范圍都為[0，10]。

表3 中，P1、P2、P3 為關節空間中機器人3 個不同時刻的位姿，由于M-DEGWO 算法為自適應算法，為了減少隨機性，運行5 次收斂值后取平均值的結果與灰狼算法、差分進化算法在相同約束條件和目標函數下對于尋優時間尋優精度進行比較，結果如圖3所示。

Fig.3 Algorithm optimization chart圖3 算法尋優圖

結果顯示，改進灰狼進化算法相比于差分進化算法收斂速度更快、精度更高，且對父代個體做了預處理；相對于灰狼算法收斂精度更高，通過引入非線性收斂因子和動態的縮放因子，改善了灰狼算法易陷入局部最優、早熟的問題。結合上文所述的機器人動力學建模及軌跡規劃問題描述，經過改進灰狼進化算法對5 次多項式插值進行時間優化后，利用MATLAB 軟件對其進行編程分析得到其時間最優軌跡，得到6 個關節各自的位置、速度、加速度以及力矩隨時間變化曲線分別如圖4—圖7所示。

Fig.4 Joint position curve圖4 關節位置曲線

Fig.5 Joint velocity curve圖5 關節速度曲線

Fig.6 Joint acceleration curve圖6 關節加速度曲線

從圖4—圖7 可知，所求出的運動時間都滿足于機器人自身的運動學條件和動力學條件。從此條運行軌跡的約束條件上看，滿足規劃軌跡的主要約束界限為關節一的約束，特別是在1.5～2.7s 這一區間關節一運行加速度逼近的極限加速度，其他約束條件都有適當的緩沖區域可以調節，優化后從P1 到達P3 的時間為2.713 2s，而不使用優化算法從P1 到P3 的設定時間為3.8s，使用改進灰狼進化算法縮短了在相同條件之下到達目標點的時間，機器人效率提升28.6%。

Fig.7 Joint torque curve圖7 關節力矩曲線

5 結語

本文提出了一種軌跡規劃方法，使用五次多項式對機器人關節角在滿足機器人運動學及動力學約束情況下進行插補，并采用改進灰狼進化算法對機器人軌跡進行時間優化，獲得符合條件的最優時間。試驗結果表明，采用MDEGWO 算法比單獨使用GWO 算法、DE 算法收斂速度更快，收斂精度更高；在保證關節位移、速度以及加速度平滑且符合動力學和運動學約束的條件下縮短了機器人到達同一目標點的時間，此方法比機器人默認的軌跡規劃算法效率提高28.6%，為后續機器人控制研究提供了科學有效的理論依據。本文采用時間最優優化模型，后續將考慮機器人能量、沖擊振動的多目標軌跡優化。此外，亦會考慮機器人動力學中關于電機和連桿間剛柔耦合因素的影響。