變質心噴砂除銹移動平臺自適應全局魯棒超螺旋滑模控制

王永尚，高國琴，方志明

（江蘇大學電氣信息工程學院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

鋼箱梁作為大跨徑橋梁的常用結構，進行噴砂除銹可延長大橋使用壽命［1-2］。由于工業(yè)噴砂除銹機器人體積龐大、機構復雜，需要圍繞施工單位構建大型廠房，無法滿足鋼箱梁隨橋梁建設流動施工的要求，難以勝任鋼箱梁除銹作業(yè)。

為此，本文基于Stewart 并聯(lián)機構自主研發(fā)一種鋼箱梁噴砂除銹并聯(lián)機器人。該機器人主要由并聯(lián)機構、升降機構、移動平臺等構成，具有剛度高、承載能力強、可移動性等優(yōu)點，能任意移動、自由升降、六自由度位姿精確運動。噴砂除銹并聯(lián)機器人實物圖如圖1 所示，1 為末端噴槍，2為并聯(lián)機構，3 為噴砂軟管，4 為移動平臺，5 為升降機構，6為電氣控制柜，7 為上位機。移動平臺作為噴砂除銹并聯(lián)機器人的載體，采用阿克曼前輪轉向結構，通過電動缸控制移動平臺轉向輪，使其在噴砂作業(yè)過程中與鋼箱梁保持平行。

Fig.1 Parallel robot for sand blasting and rust removal圖1 噴砂除銹并聯(lián)機器人

由于鋼箱梁體積龐大，需要升降機構配合并聯(lián)操作機構與末端噴槍對不同高度鋼箱梁面進行噴砂除銹。在實際操作過程中，升降機構運動會導致移動平臺質心位置發(fā)生變化，從而引起動力學模型慣性矩陣參數(shù)發(fā)生改變，進而影響控制器輸出力矩，降低移動平臺軌跡跟蹤控制性能。因此，需要研究質心變化情況下，移動平臺高性能軌跡跟蹤控制問題。

1 相關研究

建立考慮質心變化的移動平臺數(shù)學模型是設計高性能軌跡跟蹤控制器的基礎，目前已有學者針對移動機器人質心偏移與質心不確定問題進行相關研究，并建立考慮質心位置未知的移動平臺模型。例如，F(xiàn)ilho 等［3］從運動學模型角度推導分析移動機器人質心位置對其軌跡跟蹤誤差的影響。耿新等［4-5］在移動機器人質心與幾何中心不重合的情形下，建立移動平臺質心偏移的運動學模型，并將該模型中移動機器人質心與幾何中心之間的距離d視為常量。但在生產實踐中，由于硬件形變、碰撞磨損、測量誤差等原因，實際距離通常無法精確測量。孫忠廷等［6］認為質心僅在移動平臺兩后輪中軸線上變化。Huang 等［7］針對全向移動機器人質心偏移問題，采用極坐標表示質心位置，然而該方法更適用于構建全向移動機器人的動力學模型。

為此，本文根據(jù)移動平臺質心坐標與其軌跡跟蹤參考點坐標在全局坐標系下的幾何位置關系方程，推導質心速度與軌跡跟蹤參考點速度的代數(shù)方程，由此建立考慮質心變化的移動平臺動力學模型。該模型考慮移動平臺質心側偏變化的情況，為動力學控制器設計奠定基礎。

移動平臺是一類具有非完整約束的多輸入、多輸出、非線性系統(tǒng)［8-9］。在質心變化情況下，系統(tǒng)的不確定性問題更為突出［10］，將影響移動平臺軌跡跟蹤精度。因此，針對移動機器人系統(tǒng)存在的不確定性問題，設計滑?？刂破魈岣呦到y(tǒng)魯棒性［11］。孫忠廷等［6］針對移動機器人質心位置變化引起的運動學參數(shù)不確定性問題，設計關于質心偏移距離d的自適應律，對系統(tǒng)運動學模型參數(shù)變化進行自適應控制，然而該方法僅適用于質心沿兩后輪中軸線變化情況，難以應用于質心側偏變化的動力學控制。Peng等［12］針對移動機器人軌跡跟蹤控制中出現(xiàn)的參數(shù)不確定性與外部干擾問題，提出自適應模糊輸出反饋控制算法克服系統(tǒng)不確定性和外部干擾，并削弱滑?？刂贫墩?，但需要預先知道不確定性上界信息。

此外，傳統(tǒng)一階滑模控制存在趨近階段魯棒性較差，存在控制抖振問題，系統(tǒng)收斂速度較慢等問題。為此，本文提出一種自適應全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，既保證系統(tǒng)的全局魯棒性［13］，又解決傳統(tǒng)滑?？刂埔蛳到y(tǒng)不確定性引起的增益過量問題，同時在一定程度上提高系統(tǒng)收斂速度［14］。

該方法的創(chuàng)新點包括：建立考慮質心變化的移動平臺動力學模型，解決現(xiàn)有動力學模型建模不準確的問題，彌補由質心變化引起的誤差；設計一種自適應全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，保證移動平臺在質心變化的情況下仍然能夠進行高性能軌跡跟蹤控制。

2 問題描述

2.1 噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺運動學模型

本文以車式移動平臺（Car-Like Mobile Platform，CLMP）為研究對象［15-16］，質心變化情況下的移動平臺結構示意圖如圖2 所示。其中，OXY 是以地面為參考系的全局坐標系，OrXrYr則是以機器人自身為參考系的局部坐標系。

Fig.2 Vehicle type mobile platform structure圖2 車式移動平臺結構

選取移動平臺兩后輪中心點作為移動平臺軌跡跟蹤參考點，該點為移動平臺局部坐標系坐標原點，在全局坐標系中坐標為(x，y)。定義移動平臺的位姿為q=[x y θ δ φ]T，其中θ為移動平臺運動方向與x軸方向的夾角，δ為前輪轉向角，φ為前輪角速度，r為CLMP 的車輪半徑，b為CLMP 兩后輪間距的1/2，l為CLMP 的前后輪軸間距，G為CLMP 實際質心的位置，在局部坐標系中坐標為(f1，f2)。

假設移動平臺在移動過程中，滿足純滾動無滑動即移動平臺運動方向始終垂直于車軸，可滿足非完整約束方程：

簡化后可用矩陣進行重寫為：

根據(jù)式（1），車式移動平臺的運動學模型為：

式中，為滿秩的速度轉換矩陣，為速度向量V=[v w]T，v表示車式移動機器人的線速度，w為前輪轉向角速度。

定義軌跡曲率σ為：

因此，車式移動平臺的運動學方程可以表示為：

根據(jù)式（4），對時間求導可得：

1.2 質心變化噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺動力學模型

移動平臺質心局部坐標系中的坐標為(f1，f2)，全局坐標系中的坐標為(xG，yG)，全局坐標系下建立移動平臺質心位置坐標(xG，yG)與軌跡跟蹤參考點坐標(x，y)幾何位置關系方程：

求導得：

由于移動平臺在水平地面上行駛，其勢能近似為零（即U=0），由拉格朗日函數(shù)法建立質心偏移噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺的動力學模型，如式（10）所示：

式中，E(q)為輸入轉換矩陣，τ為力矩輸入向量，AT(q)為非完整約束矩陣，λ為拉格朗日乘子。移動平臺的總動能K可表示為：

式中，Kp表示質心偏移噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺車體的動能，Kw表示移動平臺驅動與轉向輪的動能，如式（12）、式（13）所示：

式中，mp表示移動平臺車體的質量，mw表示車輪的質量，Ip表示車體的轉動慣量，Iw表示車輪的轉動慣量。

將式（9）、式（12）、式（13）帶入式（10）得移動平臺動力學模型的矩陣形式為：

式中，M(q)為系統(tǒng)慣性矩陣，為與速度和位置相關的離心力和哥氏力項，τ1、τ2分別為驅動電機輸出力矩與轉向電機輸出力矩。

對式（14）左乘JT(q)消除動力學模型非完整約束項ATλ，并將式（5）代入式（14）得到變換后的動力學方程：

最終，移動平臺的動力學模型可表示為：

式中，d(t)為鋼砂地面地形阻力等外部干擾。

3 質心變化的移動平臺高性能軌跡跟蹤控制器設計

首先，從運動學與動力學模型的角度出發(fā)，依據(jù)運動學模型的位姿誤差方程，選擇合適的Lyapunov 函數(shù)。然后，引入雙曲函數(shù)趨近律，設計運動學反演滑?？刂破鳌Ｗ詈?，通過控制器的輸出線速度vc和軌跡曲率為動力學控制器虛擬速度輸入量。移動平臺軌跡跟蹤控制流程如圖3所示。

Fig.3 Controller flow圖3 控制器流程

3.1 運動學控制器設計

定義移動平臺的參考軌跡位姿qd=[xd yd θd]T，其實際軌跡位姿q=[x y θ]T，可得期望軌跡與實際軌跡的位姿跟蹤誤差qe：

對式（16）關于時間t求導得：

引理1對于任意x∈R并且|x|＜∞，有?(x)=xsin(arctan(x)) ≥0，當且僅當x=0時等號成立。當xe=0時，考察Lyapunov 函數(shù)［17］可得：

求導可得：

當xe=0 時，，根據(jù)引理1 可知θe=-arctan(vdye)，則：

其中，當且僅當yevd=0時等式成立。

因此，只要xe收斂至0 且θe收斂至-arctan(yevd)時，系統(tǒng)狀態(tài)ye收斂為0。根據(jù)上述結論設計切換函數(shù)：

令ξ=arctan(yevd)，對滑模變量求導得：

將式（19）代入式（24）可得：

整理式（25）可得控制律：

為使滑模變量遠離平衡點時快速趨近滑模面，提高系統(tǒng)到達階段的收斂速度，進一步抑制滑?？刂贫墩瘢胍环N新型的雙曲函數(shù)趨近律［18］：

式中，s為滑模變量，k1、k2、a、b均為大于0 的可調參數(shù)，q為正奇數(shù)冪次項為雙曲正切函數(shù)，為反雙曲正弦函數(shù)。當滑模變量s遠離滑模面，滑模變量導數(shù)主要由式（27）的第二項-k2asinh(bsq)決定；當滑模變量s趨近零時的主要由式（27）的第一項-k1tanh(as)決定。

滑模變量的收斂速度隨著滑模變量s變化而變化，當滑模變量遠離滑模面時，反雙曲正弦函數(shù)可加速滑模變量趨近滑模面；當滑模變量趨近于零時，雙曲正切函數(shù)可保證滑模變量無限趨近于零而不會繞過零。最終達到加快滑模變量到達階段的收斂速度的目的，并以雙曲正切函數(shù)tanh(as)代替符號函數(shù)消除滑?？刂贫墩?。

根據(jù)式（28）可知，當s=0 時當s＞0 時，tanh(as) ＞0 且asinh(bsq) ＞0，因此；當s＜0 時，tanh(as) ＜0 且asin(bsq) ＜0，因此。綜上，當且僅當s=0時成立。

3.2 全局魯棒超螺旋滑?？刂破髟O計

為保證移動平臺的實際速度收斂至運動學控制器所產生的控制速度，本文使用全局魯棒超螺旋滑模控制方法設計動力學控制器。引入虛擬速度量跟蹤誤差及其導數(shù)為：

設計全局滑模面如下：

式中，滑模變量S(t)=[s1s2]T，移動平臺速度跟蹤誤差分別為移動平臺期望速度向量和實際速度向量，且Vc=分別表示移動平臺期望線速度與和實際線速度分別表示移動平臺期望轉向曲率的導數(shù)與實際轉向曲率的導數(shù)，βv＞0，βσ＞0，λ=diag(λ1，λ2)，λ1、λ2為可調正的實數(shù)，?(0) 為?(t) 的初始值。

由此可見，當t=0 時滑模變量S=0，滑模控制處于無趨近階段，從而能夠保證控制系統(tǒng)具有較強的全局魯棒性。

對S(t)求導可得：

在不考慮系統(tǒng)的不確定項的情況下，結合移動平臺動力學模型式（16）可得：

選取如下超螺旋滑?？刂坡蔀椋?/p>

其中，α=diag(α1，α2)，ω=diag(ω1，ω2)為可調正定對角矩陣。結合式（28）、式（29）可得移動平臺全局魯棒超螺旋滑?？刂破鳎?/p>

基于考慮質心變化的移動平臺動力學模型，將式（16）中的外部干擾項轉移至超螺旋滑?？刂坡芍?，結合式（16）、式（37）可得：

3.3 增益自適應律切換

本文自適應律［14］如下：

式中，βi、γi、μi、ηi、εi為任意正數(shù)，αmi為任意小的正常數(shù)。

該自適應律基于滑模變量si自適應切換超螺旋滑?？刂圃鲆姒羒、ωi，且無需獲取有界不確定性上界的信息。

3.4 有限時間漸進穩(wěn)定性證明

引理2對于一個連續(xù)的系統(tǒng)x∈Rn，假設存在一個連續(xù)可微的正定函數(shù)V(x)：U→R，并存在正實數(shù)a、b和m∈(0，1) 及包含原點的開鄰域U0?U［20］，使得下式成立：

則系統(tǒng)能夠在有限時間內穩(wěn)定，若U=U0=Rn則系統(tǒng)全局有限時間穩(wěn)定，收斂時間t滿足：

選擇如下Lyapunov 函數(shù)：

4 實驗結果與分析

為驗證本文算法的魯棒性及收斂速度，將考慮質心變化的自適應全局魯棒超螺旋滑?？刂疲–entroid-Variation Mode based Adaptive Global Super-twisting Sliding Mode Control，CVM_AGSTSMC）算法與未考慮質心變化的自適應全局魯棒超螺旋滑?？刂疲ˋGSTSMC）算法，考慮質心變化的自適應超螺旋滑模控制（CVM_ASTSMC）算法，考慮質心變化的全局魯棒超螺旋滑?？刂疲–VM_GSTSMC）算法進行比較。由于移動平臺運動軌跡為重復直線運動，故選取其中一段往返運動軌跡進行仿真實驗。

定義移動平臺位于鋼箱梁一側的初始位置為坐標原點，平行于鋼箱梁的方向為X 軸方向，初始運動方向為X軸正方向，垂直于鋼箱梁的方向為Y 軸方向，由此設計移動平臺的期望運動軌跡為：

實際工程中通常選擇先噴下后噴上的噴砂方式，以避免噴砂堆積物堆積影響鋼箱梁底部噴砂除銹的質量。為避免漏噴的情況下提高噴砂除銹效率，升降機構在移動平臺沿X 軸正方向運動的加速階段與沿X 軸負方向的加速運動階段進行升降運動。根據(jù)移動平臺尺寸確定由升降機構引起的移動平臺質心變化軌跡：

噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺機構參數(shù)如表1所示。

噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺軌跡跟蹤仿真參數(shù)如表2所示。

Table 1 Mechanism parameters表1 機構參數(shù)

Table 2 Simulink simulation parameters表2 Simulink仿真參數(shù)

考慮到移動平臺軌跡跟蹤存在初始誤差，同時為仿真驗證移動平臺軌跡跟蹤轉向性能，設置移動平臺的初始位姿為

由圖4 可見（彩圖掃OSID 碼可見，下同），CVM_AGSTSMC 控制算法可保證移動平臺沿X 方向軌跡跟蹤誤差在2s 內收斂，相較于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 及AGSTSMC 算法，在移動平臺X 方向軌跡跟蹤誤差的收斂速度更快。由式（61）知，移動平臺在14～15s 沿X 正方向減速行駛，在16～17s沿X 軸負方向加速行駛。

由于移動平臺先正向減速，再反向加速，且移動平臺質心在16～17s 內發(fā)生變化，導致移動平臺X 方向軌跡跟蹤誤差在14～18s內增大。

由14～18s 內X 方向軌跡跟蹤誤差曲線局部放大圖可知，考慮質心變化模型的超螺旋滑模控制算法相較于AGSTSMC，軌跡跟蹤誤差更小。

由圖5、圖6 可見，CVM_AGSTSMC、AGSTSMC 相較于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC，收斂速度更快，控制精度更高。

Fig.4 Displacement tracking error curve in X direction圖4 X方向位移跟蹤誤差曲線

Fig.5 Displacement tracking error curve in Y direction圖5 Y方向位移跟蹤誤差曲線

Fig.6 Heading angle tracking error curve圖6 航向角跟蹤誤差曲線

由式（9）可知，移動平臺質心位置會影響軌跡跟蹤線速度。結合式（65）與圖7 可知，在17s 時移動平臺質心縱坐標偏移到最大位置，線速度軌跡跟蹤誤差變大，相較于未考慮質心變化模型的自適應全局魯棒超螺旋滑?？刂扑惴ǎ紤]質心變化模型的超螺旋滑?？刂扑惴商岣咭苿悠脚_線速度控制精度。

由圖8、圖9 可見，所使用的自適應律可有效抑制驅動輪驅動力矩抖振，CVM_AGSTSMC、CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 相較于AGSTSMC，當移動平臺航向角穩(wěn)態(tài)輸出為0rad 時（即移動平臺沿X 方向期望軌跡直線行駛，轉向輪不進行轉向），轉向輪輸出力矩輸出更小，趨近于0N，更符合實際控制情形。

Fig.7 Linear velocity tracking curve圖7 線速度跟蹤曲線

Fig.8 Driving torque of driving wheel圖8 驅動輪驅動力矩

Fig.9 Steering torque of steering wheel圖9 轉向輪轉向力矩

4 結語

本文針對噴砂除銹并聯(lián)機器人移動平臺質心變化影響其軌跡跟蹤控制精度的問題，提出一種基于考慮質心變化模型的自適應全局魯棒超螺旋滑模軌跡跟蹤控制算法，并通過仿真驗證該算法的有效性。

然而，僅采用離線估計的方法獲取移動平臺質心變化軌跡，會使得系統(tǒng)具有一定的局限性。下一步，將結合智能控制算法實時獲取移動平臺質心，以提高算法的實用性和普適性。