基于OmPD模型的自行車全地形功率分配方式

王澤陽，趙顥博,2，王怡菲

(1.沈陽航空航天大學 國際工程師學院，沈陽 110136；2.美國南伊利諾伊大學 航空學院，卡本代爾 62901)

0 引言

自行車計時賽中，選手既需要足夠的爆發力來進行短時間的沖刺，也需具有騎行數小時的耐力。騎行能力可以用功率曲線來描述，表示運動員在每個持續時間內所能維持的最大能量，獲得功率曲線，對指導訓練和比賽具有重要意義。

為描述給定時間段內的最大平均功率，引入了MMP(mean maximal power output)概念來描述功率曲線，但其中存在著數據集較大[1]、測試時間不一致且不便于比較[2]的問題。提出采用MMP數據集、借用較少的參數建立數學模型，對功率曲線進行擬合的方法。

被用于功率曲線擬合的數學模型主要有雙參數臨界功率(2P-CP)模型、三參數臨界功率(3P-CP)模型和OmPD模型[2]。其中，雙參數臨界功率(2P-CP, two-parameter critical power )模型是研究最深入的[3]，其描述了輸出功率與力竭時間之間的雙曲線關系，引入臨界功率CP和無氧運動能力作為描述模型的參數。該模型表達結構簡單，但存在適用運動時間范圍較窄的局限性[2]。Poole等提出了三參數臨界功率(3P-CP)模型，用于擬合運動員較短持續時間內的功率曲線[3]，但該模型高估了較長運動時間下的功率輸出能力。Michael等提出了OmPD(omni power duration model)模型，用于擬合所有運動持續時間范圍內的功率曲線[4]。

地形因素是自行車個人計時賽中的重要影響因素，選手在上坡、下坡和平地這三種地形的功率分配方式將對比賽成績產生顯著影響。目前，關于通過建立功率曲線模型來分析不同地形下功率最佳分配方式的文獻較少，相應方法對于實際比賽缺乏指導意義。本研究采用OmPD模型建立功率曲線，為運動員在不同地形下的功率分配方式提出建議。

1 功率曲線模型的建立

OmPD模型考慮了運動員不能以臨界功率無限地運動下去，故而引入了對數衰減項來描述較長運動時間下的功率輸出。根據參考文獻[1]，OmPD模型功率曲線可表示為：

CP;t≤TCPmax

(1)

(2)

式中，CP為臨界功率，W′為無氧工作能力，表示超過臨界功率后的運動能力。Pmax為1 s內的峰值功率，A為描述輸出功率隨時間下降的固定常數，TCPmax為以CP運動的最長持續時間，參考文獻[1]取1 800 s。采用Valenzuela等對男性職業自行車運動員的MMP值的統計數據[5]進行模型擬合，得到的模型參數如表1所示，運動員的功率曲線如圖1所示。可以發現，擬合出的功率曲線與實驗測量得到的MMP符合較好，因此認為建立的功率曲線模型準確可靠。

表1 OmPD模型參數Tab.1 OmPD model parameters

圖1 OmPD模型功率曲線Fig.1 OmPD model power curve

2 各地形功率分配模型

2.1 最佳功率分配方式的理論分析

為給出在復合地形賽道下的最佳功率分配方式，需建立在不同地形下的功率輸出模型。在忽略風力影響和加速度影響的情況下，可以認為運動員在比賽中的輸出功率與騎行速度、騎行阻力和地形坡度有關：

P=cv3+mgv(μ+s)

(3)

式中，v為運動員騎行速度，c為空氣阻力系數，μ為摩擦系數，s為賽道地形坡度(坡面夾角的正弦值)，m為運動員自身體重和自行車重量之和，g為重力加速度。運動員在整個比賽中所消耗的無氧功滿足：

(4)

式中，x為賽道路段長度。對于具有恒定坡度的路段，當騎行速度恒定時，通過該路段的用時最短[6]，式(4)可以化為：

(5)

式中，下標i代指一段坡度相同的賽道路段。運動員完成比賽的用時可表示為：

(6)

為在無氧工作能力W′固定的約束下選取合適的vi，使完成比賽的用時T最小，采用Lagrange乘數法進行計算：

(7)

式中，展開可表示為：

(8)

消去乘數λ，發現當各段賽道的騎行速度vi相同時，完成比賽的用時最短。

2.2 功率分配方式實例

以2021年東京奧運會男子公路自行車個人計時賽賽道為例，計算了運動員在各段賽道的最佳輸出功率。根據實際比賽賽道地形進行合理的簡化，簡化后的賽道地形如圖2所示，各段坡長和坡度的正弦值如表2所示。

圖2 簡化和的賽道地形圖Fig.2 Simplified and topographic map of the track

表2 各段地形坡長和坡度正弦值Tab.2 Slope length and slope sine of each section of terrain

計算過程取運動員體重為平均值69.5 kg[5]，自行車車重為8 kg，重力加速度g=9.8 m/s2，空氣阻力c=0.17 kg/m，摩擦系數μ=0.003[6]。考慮到實際比賽過程中運動員不會因為輸出功率Pi小于CP而恢復無氧工作能力W′，故各路段下應滿足約束條件：

Pm=CP

(9)

確定各路段下運動員輸出功率和騎行速度的計算流程如圖3所示。計算得到各路段下的最佳輸出功率和騎行速度如圖4所示。

圖3 功率分配流程圖Fig.3 Flow chart of power distribution

圖4 各路段最佳輸出功率與騎行速度Fig.4 Optimal output power and riding speed for each road section

結合圖2與圖4可知，對于存在上坡、下坡與平地的復雜地形，在上坡時應以較高的功率騎行，且隨著坡度增大，騎行輸出功率應越高，以保證在所有上坡段的騎行速度相等，最終得到騎行過程中的最大輸出功率Pm=412.72 W。對于平地和下坡段賽道，在Pi,min=CP的約束條件下，應以CP大小的輸出功率騎行，因此坡度的絕對值越大，運動員騎行速度應越大。

2.3 偏離最佳輸出功率對完賽時間的影響

實際比賽中，完全按照最佳輸出功率完成比賽是十分困難的，而比賽前期過高的功率輸出會導致后期做功能力不足。為研究偏離最佳輸出功率對完賽時間的影響，采取對最佳輸出功率設置隨機偏差值的方法，模擬偏離最佳功率的情況，并對此進行了2 000次數值模擬。

圖5為數值模擬流程的偽代碼，圖6為通過數值模擬得到的完賽時間。

圖5 數值模擬流程偽代碼Fig.5 Numerical simulation process pseudo-code

圖6 偏離最佳功率情況下的完賽時間Fig.6 Finish time in case of deviation from optimal power

從圖6可以看出，輸出功率偏離最佳功率會導致完賽用時延長。在輸出功率波動范圍為±(Pm-CP)的情況下，2 000次模擬下的平均完賽時間比最佳功率下的完賽時間長31 s；偏差最嚴重的情況下，完賽時間相比最佳功率下的完賽時間慢118 s；偏差最小的情況下，完賽時間與最佳功率下的完賽時間接近。這同時也驗證了采取最佳功率分配方式的正確性。

3 結論

采用OmPD模型建立自行車運動員的功率輸出曲線，確定了其在不同地形下的的最佳功率分配方式。結論如下：

理論情況下選擇合適的輸出功率，令運動員在各路段下的vi相等，完賽時間最短。對于存在上坡、下坡與平地的復雜地形，應在上坡處以較高輸出功率騎行，并保證各段上坡路段的騎行速度相等，坡處則應以CP大小的輸出功率騎行。