關(guān)于非齊次樹指標(biāo)馬氏鏈隨機(jī)矩陣的一個強(qiáng)偏差定理

金少華，王麗君，譚彥華

（河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401）

0 引言

強(qiáng)偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一，對強(qiáng)偏差定理的研究不僅對概率論與隨機(jī)過程自身的發(fā)展很有意義，而且在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)計(jì)量的分析及排隊(duì)論的逼近理論中有廣泛應(yīng)用。樹模型近年來已引起物理學(xué)、概率論及信息論界的廣泛興趣。樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一。科學(xué)家在研究桿狀菌的分裂時，總結(jié)出桿狀菌分裂的規(guī)律，即一個桿狀菌在分裂時，從中間斷開，這樣就分裂成兩個新桿狀菌，這兩個新的桿狀菌為原來?xiàng)U狀菌的后代。如果把每一次分裂中的桿狀菌看成一個頂點(diǎn)，那么桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個二叉樹結(jié)構(gòu)。如果桿狀菌分裂時受到周邊環(huán)境的影響，這樣桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個隨機(jī)環(huán)境中的二叉樹模型，因此研究隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)隨機(jī)過程不僅具有理論意義，更具有應(yīng)用價值[1]。文獻(xiàn)[2]首先研究給出了二叉樹有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的隨機(jī)序偶出現(xiàn)頻率的強(qiáng)大數(shù)定律，之后研究給出了二叉樹有限狀態(tài)分枝馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律，作為推論給出了二叉樹有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的Shannon-McMillan定理。Shi Zhiyan等[3]給出了m根Cayley樹上m階漸近奇偶馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律。Huang Huilin等[4]研究給出了2根Cayley樹上二重循環(huán)馬氏鏈的漸近均分性。Tang Ying等[5]給出了齊次樹指標(biāo)漸近奇偶馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律，并通過一個例子說明了所得結(jié)果的重要性。劉建國等[6]利用二元函數(shù)延遲平均的強(qiáng)極限定理和條件期望的平滑性，給出了可列馬氏鏈狀態(tài)出現(xiàn)頻率延遲平均的強(qiáng)大數(shù)定律。文獻(xiàn)[7]研究給出了齊次樹指標(biāo)馬氏環(huán)境中的馬爾科夫鏈的Shannon-McMillan定理。楊潔等[8]研究給出了關(guān)于齊次樹指標(biāo)馬氏鏈的廣義熵遍歷定理。文獻(xiàn)[9]研究給出了樹指標(biāo)馬氏雙鏈的Shannon-McMillan定理。文獻(xiàn)[10]給出了連續(xù)狀態(tài)非齊次馬氏鏈多元函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律。Yang Jie等[11]給出了非齊次馬氏鏈廣義樣本相對熵的強(qiáng)大數(shù)定律。Shi Zhiyan等[12]給出了隨機(jī)環(huán)境中Cayley樹指標(biāo)馬氏鏈的Shannon-McMillan定理。文獻(xiàn)[13]給出了馬氏環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)極限性質(zhì)。文獻(xiàn)[14]給出了2個漸近循環(huán)馬爾科夫鏈之間相對熵密度率的強(qiáng)極限定理。文獻(xiàn)[15]給出了關(guān)于樹上m重非齊次馬氏信源的一個小偏差定理。本文通過引入滑動相對熵的概念，研究給出了關(guān)于非齊次樹指標(biāo)馬氏鏈的一個強(qiáng)偏差定理。

1 基本概念

設(shè){Nn,n≥1}是一列正整數(shù)集，T是一個具有根頂點(diǎn)O的無限樹，如果T的第n(n≥0)層上的每個頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個頂點(diǎn)相鄰，則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹。特別地，若對非負(fù)整數(shù)集N，用模m的同余關(guān)系對其進(jìn)行分類得到如下模m的剩余類：

當(dāng)n∈(i)時，令Nn+1∈αi（αi均為正整數(shù)且不同時為1），i=0,1,2,…,m-1，就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,…,αm-1。以下恒以T表示樹Tα0,α1,…,αm-1，以S(t)表示頂點(diǎn)t的所有子代的子圖，Ln表示第n(n≥0)層上所有頂點(diǎn)的子圖。

定義1設(shè){Ω,F,P}為一概率空間，{Xσ,σ∈T}為定義在該概率空間上并于字母集S={1 ,2,…,m}上取值的隨機(jī)變量族，設(shè)

是S上一概率分布，而

是定義在S2上的隨機(jī)矩陣列，如果?t,si∈T滿足si∧t≤1≤i≤n,有

并且

則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉(zhuǎn)移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈。則其聯(lián)合分布為

設(shè)Q是可測空間(Ω,F)上另一概率測度，且隨機(jī)變量關(guān)于Q獨(dú)立，即存在S上的一列分布

設(shè){al,l≥1}是一單調(diào)不減的非負(fù)整數(shù)數(shù)列，令

定義2設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉(zhuǎn)移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈，式（4）是給定的一列S上的分布。則稱

與

分別為{Xσ,σ∈T}相對于獨(dú)立測度Q的滑動似然比和滑動相對熵。

2 強(qiáng)偏差定理

引理1設(shè){Xσ,σ∈T}是如前定義的樹T上的非齊次馬氏鏈，如前定義。設(shè)，對一切n≥1，取λξn,k使得

令

證由式（3），有

由式（10），有

令

則

由式（12）和式（13），有

定理1設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉(zhuǎn)移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈。pξn,k，λξn,k，Rn(ω)及R(ω)均如前定義。設(shè)k∈S，Sξal,n(k,ω)表示Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n中狀態(tài)k出現(xiàn)的次數(shù)，c為一非負(fù)常數(shù)，令

則

證由引理1及Doob鞅收斂定理知，存在集合A(λ),P(A(λ))=1，使得

即

則由式（19）和式（20）有

由式（21）有

當(dāng)λ＞1時，將式（22）兩端同除以lnλ，有

由式（23）與上極限的性質(zhì)

及不等式

有

當(dāng)c＞0時，函數(shù)在處取得最小值，于是有

當(dāng)c=0時，取正有理數(shù)λi(i=1,2,…)，使得λi→1+(i→+∞)，并令，則對一切自然數(shù)i，由式（24），有

因?yàn)镻(A*)=1，故由式（26）及式（27）知式（17）成立。

當(dāng)0＜λ＜1時，將式（22）兩端同除以lnλ，得

利用下極限的性質(zhì)

及不等式

由式（28）有

當(dāng)c＞0時，函數(shù)在處取得最大值，于是有

當(dāng)c=0時，取正有理數(shù)λi(i=1,2,…)，使得λi→1-(i→∞)，并令，則對一切自然數(shù)i，由式（29），有

因?yàn)镻(A*)=1，故由式（31）及式（32）知式（18）成立。

推論1設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉(zhuǎn)移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標(biāo)非齊次馬氏鏈。pξn,k，λξn,k，Rn(ω)及R(ω)均如前定義。設(shè)k∈S，Sξal,n(k,ω)表示Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n中狀態(tài)k出現(xiàn)的次數(shù)，令H(0)是滿足下面條件（33）式和（34）式的點(diǎn)ω的集合：

則

證在式（17）和式（18）中令c=0，即得式（35）成立。