網格與密鋪：六邊形千鳥格的研發與應用

林蔚蔚

北京居其美業室內設計有限公司 北京 100000

引言：密鋪，也稱鋪砌（tiling），是一種古老的平面裝飾技法。對于密鋪，數學家格雷鮑姆與謝潑德在1987年的著作《鋪砌與圖案》提出了以下定義：密鋪指一個或多個幾何形狀既無間隙也無重疊地鋪滿整個平面。密鋪分為周期性密鋪與非周期性密鋪。周期性密鋪是由一個或多個圖形單元以一定的規律循環復制形成，在這之中又有平面正密鋪，即由一個幾何圖形形成密鋪[1]，這也是本文將要研究的密鋪形式。

17-18世紀的法國數學家特魯謝拓展了平面密鋪的形式，并提出了“特魯謝密鋪”。特魯謝的密鋪基于正方形密鋪的正方形單元。在研究瓷磚上的裝飾紋樣時，這位數學家將正方形通過對角線分割為兩個等腰直角三角形，并將兩個三角形中的一個涂黑，以此產生了四個不同的正方形單元。這些正方形單元仍然能滿足形成密鋪的條件，將它們隨機組合就能形成無數新圖案[2]。特魯謝的密鋪法則啟發了本文對基于密鋪單元的千鳥格圖案的研究。

我們所熟知的千鳥格圖案是一種來源于織物的經典的密鋪圖案。在織物中，千鳥格（houndstooth）是一種由不同色彩的紗線穿插形成的紡織紋樣，人們通過對其三維結構的歸納與概括，得出了后來廣為人知的、作為平面圖形的千鳥格圖案。也就是說，千鳥格有兩種形式：二維平面上的幾何圖案與織物組織中由紗線穿插形成的立體的紋樣肌理，在本文中為方便區分，將平面上的千鳥格稱為“千鳥格圖案”，將織物組織中由紗線穿插形成的千鳥格稱為“ 千鳥格紋理”。

中文的“千鳥格”紋樣名來源于日本，因其犬牙差互的形態，與日本傳統和服紋樣“千鳥和柄”，即千鳥紋相似，日本人便將其命名為“千鳥格子”，并與傳統的千鳥紋區分開，這個名稱流傳到中國，便成為我們所熟知的千鳥格[3]。事實上，千鳥格并非現代人的發明，在奧地利哈爾施塔特的鐵器時代凱爾特人部落遺址發掘的梭織織物中，就有不少千鳥格紋理的斜紋織物[4]。 而現代意義上的千鳥格則是從蘇格蘭低地地區的羊毛紡織業開始流行的，后經過克里斯蒂安·迪奧、亞歷山大·麥昆等時尚設計師的創新及推廣，才成為當代服飾時尚一個經典的注腳[5]。

一、拆解與分析：探索千鳥格的織物三維結構

（一）千鳥格織物結構的拆解

在人類掌握生產工具的早期，物資匱乏的情況下，絕大部分的產品都是形式服從于使用功能的，織物也不例外。作為一種典型的斜紋梭織織物，千鳥格紋理的出現建立在該品種織物獨特的性能優勢之上。梭織織物的基本結構來自經線與緯線的穿插交疊。在梭織織物中，相對于平紋織物，斜紋織物的經緯紗交織次數比平紋織物少，故而紗線之間的縫隙較小，織物就更為致密厚實[6]。在冬季寒冷多雨雪的歐洲，羊毛是易得的原材料，而厚實的斜紋織物則貢獻了出色的保暖功能，因此，斜紋織造的羊毛織物斜紋呢（twill）成為了御寒的絕佳選擇，而千鳥格紋理就是在這個基礎上，通過改變紗線的色彩與排列組合方式得到的，可以理解為滿足了功能之后在形式上的拓展。它的單元結構通俗易懂，色彩搭配簡單，便于生產，又擁有豐富的視覺效果，自然而然成為了大眾的選擇。

如果說人類對復雜之美與簡單之美的追求是殊途同歸的，那么規律就是連接起復雜與簡單之間的橋梁。千鳥格紋理雖然原理簡單，但是它改變了單色斜紋織物單調的視覺表現力。通過織物模擬的方式可以重現由簡單斜紋到千鳥格紋理的演變過程。

最常見的梭織織物有三種基本組織結構：平紋組織、斜紋組織和緞紋組織，以紗線交疊的跨度為區分。以常見的“二上二下”斜紋織物為例，在其長度范圍內每根經紗交替從兩根緯紗上穿過，再從兩根緯紗下穿過；在其幅寬范圍-內每根緯紗交替從兩根經紗上穿過，再從兩根經紗下穿過，相鄰的緯紗需向上或向下移動一個組織點，通常這種斜紋組織會被標記為2:2斜紋[6]。經線與緯線的色彩排列的變化能帶來豐富多彩的紋理，千鳥格最原始的結構來自最簡單的色彩排列方式：經緯一致，都是4根白色紗線間4根黑色紗線，經過連續重復之后，形成了密鋪的紋理（圖1）。

圖1 千鳥格的織物結構模擬圖

（二）千鳥格織物結構的分析

最簡單的千鳥格紋理是構建在8根經線（4黑4白）與8根緯線（4黑4白）以2:2斜紋的結構穿插的基礎上的。在梭織織物中，構成單元圖案的經緯線越多，那么圖案的呈現效果就越精密。當構成千鳥格單元的經紗與緯紗的數量達到數十支時，它們的穿插結構幾乎已經可以忽略不計，紋理的邊緣也無限趨于平滑，這時候千鳥格就從三維的紋理，變成了二維的圖案（圖2）。經過結構拆解-重組-三維到二維的轉化，千鳥格圖案可以被解構為四個等面積小正方形（圖3），①和③、②和④兩兩互為反相，按照次序排列之后便可形成連續單元。

圖2 從三維紋理到二維紋理的轉換

圖3 千鳥格圖案的解構

二、重組：平面網格結構轉化生成新圖形

（一）網格結構理論

網格結構的理論表明：“任何一個平面都可以由凸多邊形組合而成，而這些凸多邊形，就被稱為網格。所以網格設計便是指利用多邊形構成平面的一種設計方法。規則網格是由完全相同的正多邊形拼接組合而成的網格結構?！盵7]格雷鮑姆與謝潑德亦提出，平面正密鋪有三種形式，分別是正三角形密鋪、正四邊形密鋪與正六邊形密鋪[1]。把平面正密鋪中的單元多邊形的邊視為構成網格的線條，那么平面正密鋪也可視為規則的網格結構，因此可以得出以下結論：規則的網格結構一共有三種，分別為(3，3，3，3，3，3)，即正三角形拼合而成的網格結構；(4，4，4，4)，即由四邊形拼合而成的網格結構；(6，6，6)，即由正六邊形拼合而成的網格結構[8]（圖 4）。

圖4 三種規則網格解構

上文對千鳥格圖案進行拆分、重構的過程是在正方形網格結構下進行的，那么假如正方形單元改變了形狀，會帶來什么樣的后果？能不能將四邊形網格結構中的千鳥格“轉寫”到正三角形網格結構與正六邊形網格結構之中？最后會呈現何種效果？

（二）三種規則網格結構的相互轉化

從圖像上就能清晰地看到，正三角形網格結構與正六邊形網格結構存在直接明顯的轉化關系，六個正三角形能拼合成一個正六邊形，所以這兩種網格結構是可以相互兼容的（圖5）。正方形網格結構則需要經過一些角度上的轉化，才能與正三角形、正六邊形網格結構產生關聯。

圖5 正三角形網格與六邊形網

首先在保持邊長不變的情況下，將正方形網格拉伸為內角分別為30o、60o的正菱形網格（圖6）。此時，四邊形的結構仍然存在，只不過角度產生了變換；接下來，用相同的手段復制一個正菱形網格，其傾斜的方向與上一個菱形網格的方向相反。對齊兩個網格的中心，重疊的部分便形成了正三角形網格，同時重疊部分的邊緣也是正六邊形。如圖所示，兩個8x8的正菱形網格交疊之后，交集部分的輪廓為正六邊形，六邊形的每條邊都被等分為四份。

圖6 正方形網格與正三角形網格之間的轉化關系

（三）尋找千鳥格

從正方形網格轉換到正三角形網格的過程中，每一個正方形單元都被切分為了兩個三角形，回看圖3中構成千鳥格的四個基本正方形，正方形①和③的圖案是由正方形的對角線分割產生的，而三角形沒有對角線，所以無法生成與正方形相似的分割，這也就宣告了在三角形網格結構中，四邊形網格中千鳥格的基礎結構無法直接轉化。不過這并不意味著故事的結局，相反，故事從這里才剛剛開始。

從網格結構中的小三角形中跳出來，重新著眼于先前正方形網格結構的蹤跡—菱形網格。在這片由三角形構成的海洋中能找到無數大大小小的菱形，它們由兩個正三角形拼接而成，它們的對角線即為兩個正三角形共用的邊。而構成千鳥格的小正方形中也存在相同的對角線分割，相當于一個正方形可以理解為兩個等邊直角三角形的拼接。只要在菱形網格結構中標記出與正方形網格結構中相同的分割線，就能夠找到千鳥格了（圖7）。筆者將這種新的千鳥格形態命名為六邊形千鳥格，它既可以用正三角形網格來解構，也可以用正六邊形網格來解構（圖8），而歸根結底，它來源于正方形網格結構的形態轉變。這個解構-重組的過程，充分體現了三種規則網格結構之間有趣的動態變化關系。

圖7 從正三角形網格中找到六邊形千鳥格

圖8 六邊形千鳥格與六邊形網格的關系

三、六邊形千鳥格在產品中的應用

作為產品設計師，得出新的圖案之后筆者自然而然地開始考慮應用的問題。六邊形千鳥格作為一個來源于織物的圖案，似乎它最好的歸宿是回到織物中去。這時候我們又開始了從二維到三維的過程。

（一）六邊形千鳥格于梭織布料上的應用

因為六邊形千鳥格圖案基于正三角形網格結構或正六邊形網格結構，所以要在梭織織物中體現它的形態，就需要將圖案再次置于正方形網格結構中進行轉化。上文提到，在梭織織物中，構成單元圖案的經緯線越多，圖案的呈現效果就越精密，相反，構成單元圖案的經緯線越少，圖案的呈現效果就越抽象。所以接下來的研究內容分為兩個方向：

1.如何用最少的經緯線呈現六邊形千鳥格？

在平面圖案中我們會發現，將六邊形千鳥格圖案順時針旋轉60o ，它就能夠平行于正方形網格，它是由四個相同形狀的平行四邊形拼接構成的（圖9），每個平行四邊形包含16個正三角形，或8個正菱形，或2個大正菱形。假如把每個小正三角形定義為一個正方形，那么每個平行四邊形可以轉化為4列、8行小正方形，呈階梯狀排列；假如把每個小菱形定義為一個正方形，那么每個平行四邊形可以轉化為2列、4行小正方形，同樣呈階梯狀排列；假如把每個大菱形定義為一個正方形，那么每個平行四邊形可以轉化為1列、2行小正方形（圖10）。通過對比可以清晰看到，隨著格子的減少，形狀變得越來越抽象。在正方形網格中標記出六邊形千鳥格后，就能夠利用梭織織造出六邊形千鳥格的紋理了（圖11）。

圖9 六邊形千鳥格中的平行四邊形

圖10 從菱形到正方形的變化

圖11 不同疏密程度的六邊形千鳥格紋理對比

2.如何將六邊形千鳥格做到精致？

相較于上文“極簡”的轉化方式，將六邊形千鳥格做到精致則簡單得多?，F代化工廠的提花設備能夠最大程度地還原圖案的形式，同時豐富的紗線組合方式還能實現更多質感的變化。不同方向的緞面織法，能讓面料在受光處與背光處呈現不同的光澤與層次感。鋪貼于墻面，壁布隨著光照的變化而變化，為室內空間增添豐富的細節（圖12—14）。

圖12 最終問世的六邊形千鳥格壁布產品配色

圖13 壁布產品實拍

圖14 不同色彩的千鳥格壁布產品在空間中的運用實景

（二）六邊形千鳥格與竹編工藝的結合

梭織布料經緯交織的本質決定了六邊形千鳥格最終只能在正方形網格中實現轉化，而竹編、藤編工藝則不受經緯線的限制。有三根竹、藤條穿插為基礎的六邊形編織，是傳統竹、藤編工藝的經典樣式。筆者對在竹、藤編工藝中加入六邊形千鳥格的可能性也作了嘗試。

傳統的六邊形竹藤編織產生的基礎紋理為三角孔、六角紋與龜背紋[9]，在《鋪砌與圖案》一書中，也分析了這幾種編織紋理形成的幾何密鋪。從圖15的結構模擬可看出：

圖15-①的三角孔結構為規則的正三角形網格，通過控制竹篾的穿插與疊壓，利用摩擦力形成穩定的織片，但由于竹篾之間的距離比較松散，接觸面積小且數量少，三角孔結構的竹編在幾種編織技法中強度較低，在實際使用中，人們有時會在織片的孔洞中再穿插一些竹片以增加密度、增強牢固性。

圖15-②的六角孔結構中，竹篾相交形成的負形是清晰且整齊的正六邊形。由于六角孔結構的竹篾之間接觸面的數量比三角孔結構增加了許多，所以前者的強度比后者更為優秀。假如將交織的竹篾看成一個整體來研究六角孔之間的數值關系，可見竹篾形成的正形，實際上是與負形相同的正六邊形。

圖15-③為龜背紋結構，竹篾與竹篾之間幾乎沒有縫隙，因而這種編織方式與前二者相比，是最牢固的。龜背紋結構由正六邊形密鋪而成，在每一個正六邊形都由三個相同的正菱形組成。

圖15 幾種六邊形結構的竹、藤編工藝[9]與它們對應的密鋪結構[1]

經過對三種傳統竹編技法的幾何分析與對比，在六角孔結構與龜背紋結構中，因為最小的結構單元并非正三角形，故缺乏形成六邊形千鳥格的條件；只有三角孔結構，因此自然形成了規則的三角形孔洞，能夠在織片上以穿插、填充的方式構造六邊形千鳥格。作者在電腦上對潛在的解決方案進行圖像模擬，得到的結果如下：

（1）用較細的鐵絲或藤條連結成為正三角形網格的骨架（具體連結方式可以是交叉之后用細線或膠固定）（圖16-①）；

（2）用麥秸或蒲草在骨架上纏繞出六邊形千鳥格圖案，纏繞過后，網格表面會自然形成鏤空（圖16-②）；

（3）取與麥秸、蒲草色彩不同的竹篾，從步驟2形成的負形中穿過，（圖16-③）。竹篾強度較大，穿插于網格中亦可增強編織品的性能；

（4）由草編與竹篾形成了六邊形千鳥格正負形的效果（圖16-④）。

圖16 六邊形千鳥格竹編技法的模擬

總結

六邊形千鳥格的設計，圍繞著提取-解構-概括-重構-應用-創新這一設計邏輯展開，從一種服從于功能的形式入手，創造出新的獨立于功能之上的形式，最后再開發出這種形式的使用功能。網格結構理論作為一種理性分析的設計方法，在六邊形千鳥格的研發過程起到了重要作用，它能夠讓圖形的演變在一個合乎邏輯的框架中展開，也能夠讓平面中得到的成果更好地在實際運用中鋪展開。圖案只是一個起點，而產品研發設計是一片廣闊的海洋，六邊形千鳥格圖案未來還會以更多的形式出現在產品之中。