在有效教學(xué)活動(dòng)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

?江蘇省蘇州市彩香實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊愛霞

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，也是促進(jìn)學(xué)生長期發(fā)展的必要品質(zhì)，在學(xué)生的自主發(fā)展中有著不可替代的重要意義.數(shù)學(xué)建模的過程能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，通過建構(gòu)數(shù)學(xué)模型還能提升學(xué)生解決問題的能力，因此在教學(xué)中可以依托培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).筆者將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談一談在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，提升學(xué)生的綜合品質(zhì)和核心素養(yǎng).

1 在數(shù)學(xué)活動(dòng)探究中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的建構(gòu)，在教學(xué)中通過設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和分析問題，從而學(xué)會(huì)總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識，并掌握數(shù)學(xué)推理的思想方法，建構(gòu)起知識體系[1].教師要注重設(shè)計(jì)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，挖掘數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，在建構(gòu)縱橫知識聯(lián)系的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號建構(gòu)具體問題的數(shù)學(xué)表達(dá)形式.

案例1七年級數(shù)學(xué)“握手問題”數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)

筆者根據(jù)“握手問題”的本質(zhì)，設(shè)計(jì)了一系列貼合學(xué)生實(shí)際生活的具體事例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.

問題1同學(xué)們，老師打算坐高鐵去北京，在購買車票的時(shí)候想到一個(gè)問題：從南京到上海方向，中途要停靠常州、無錫、蘇州、南翔北，假設(shè)從沿途各站上車，請問要準(zhǔn)備多少種不同的單程火車票？

問題2我們班一共有46名同學(xué)，大家玩一個(gè)彼此相互握手的游戲，請問一共需要握手多少次？

問題3上個(gè)星期，我們七年級的10個(gè)班一起進(jìn)行籃球比賽，第一輪采用單循環(huán)淘汰制，請問一共需要進(jìn)行多少場比賽？

問題4春節(jié)來臨，同學(xué)們互相贈(zèng)送祝福卡片，我們班一共有46名同學(xué)，請問一共需要多少卡片才能保證同學(xué)們之間能夠做到互相贈(zèng)送呢？

分析說明：以上這些問題都可以稱為“握手問題”，貼合學(xué)生的實(shí)際情況也容易理解.在處理這類問題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生在n個(gè)變量中通過確定兩個(gè)定量進(jìn)行組合的方式確定組合的總數(shù)量，并注意不要遺漏和重復(fù)，由此逐漸引導(dǎo)學(xué)生確定解決這類問題的數(shù)學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)相似的圖形類問題，進(jìn)行進(jìn)一步的探究.

問題5在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，請問經(jīng)過這些點(diǎn)，最多可以畫多少條直線？

問題6我們知道兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請問n條直線兩兩相交，最多可有多少個(gè)交點(diǎn)？

問題7在一個(gè)角的內(nèi)部從頂點(diǎn)出發(fā)，引出(n-2)條射線，請問一共可以組成多少個(gè)角？

如圖1，直線l和n條射線之間有n個(gè)交點(diǎn)，一條線段對應(yīng)著一個(gè)角，那么換言之直線l上有多少線段就有多少個(gè)角.

圖1

問題8請問圖1中一共有幾個(gè)三角形？

分析說明：以上圖形類問題的設(shè)計(jì)與“握手問題”的本質(zhì)是一致的.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生學(xué)會(huì)將解決生活中“握手問題”的知識遷移到圖形類問題的解決中，能夠熟知解決此類問題的策略，即確定基本的定量之后再進(jìn)行相應(yīng)的不同數(shù)量的組合，注重邏輯性和順序性，建構(gòu)起基本的數(shù)學(xué)模型.

案例1中的“握手問題”是七年級學(xué)生理解的難點(diǎn)，對學(xué)生來說較為抽象，在解題過程中由于邏輯混亂常常會(huì)出現(xiàn)遺漏，導(dǎo)致各種錯(cuò)誤.因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際進(jìn)行了舉例和模擬操作，這些具體的實(shí)例與學(xué)生的實(shí)際生活緊密聯(lián)系，更容易讓學(xué)生入手和理解.通過“購買單程車票”進(jìn)行導(dǎo)入，幫助學(xué)生初步認(rèn)識這類問題的解題策略，進(jìn)而通過“圖形的初步認(rèn)識”進(jìn)行深入研討，實(shí)現(xiàn)由淺入深、由表及里的思考和探究，引導(dǎo)學(xué)生逐漸抓住“握手問題”的本質(zhì).“握手問題”的本質(zhì)是從n個(gè)參數(shù)中選擇兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行組合，求組合的數(shù)量.抓住問題的本質(zhì)才能掌握解題的規(guī)律，深化知識理解，從而激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性和主動(dòng)性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心.

教師通過設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生能夠從不同的角度和不同的層次進(jìn)行思考分析，從而找到解答問題的思路，鍛煉了思維能力.在數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化中學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)學(xué)的“化歸”思想，突出了問題的本質(zhì)，建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型，提升了解決問題的能力，真正落實(shí)了核心素養(yǎng)[2].

2 在拾階而上的數(shù)學(xué)探究中掌握數(shù)學(xué)模型建構(gòu)

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)建立在學(xué)生的知識儲(chǔ)備、解題技能和思維能力的基礎(chǔ)上，在教學(xué)中數(shù)學(xué)教師要基于初中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和特點(diǎn)，從初中生的思維習(xí)慣出發(fā)，關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展，尊重學(xué)生的差異性，設(shè)計(jì)分層問題，做到由淺入深，拾階而上.通過問題設(shè)計(jì)激活學(xué)生思維，用問題啟發(fā)學(xué)生思考，在課堂教學(xué)中要給學(xué)生充分思考的時(shí)間和空間，使學(xué)生能夠進(jìn)行充分的深度思考，提升思維能力，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，落實(shí)核心素養(yǎng).

案例2九年級“直角三角形中的折疊問題”專題復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)

問題1如圖2，直角三角形ABC中，∠C為直角，BC和AC的長度分別為8和6，將直角三角形ABC沿著AD進(jìn)行翻折，使點(diǎn)C與AB邊上的點(diǎn)E重合，請問怎樣才能求出折痕AD的長度？

圖2

問題2如圖3，將直角三角形ABC沿著BD進(jìn)行翻折，使點(diǎn)C與BA邊上的點(diǎn)E重合，請問怎樣才能求出折痕BD的長度？

圖3

師生共同討論解決問題，總結(jié)數(shù)學(xué)模型.解決這類問題可以先將已知條件集中到一個(gè)直角三角形中，使直角三角形的一邊成為已知量，另外的兩條邊之間具有特定的數(shù)量關(guān)系，然后利用勾股定理進(jìn)行求解.

問題3如圖4，將直角三角形ABC沿著CD進(jìn)行翻折，使點(diǎn)A和BC邊上的點(diǎn)E重合，請問怎樣才能求出折痕CD的長度？

圖4

師生共同總結(jié)數(shù)學(xué)模型，將直角平分后產(chǎn)生了兩個(gè)45°的角，過點(diǎn)D向兩條直角邊分別作垂線段，由此構(gòu)成了正方形，進(jìn)而利用相似三角形解決正方形的邊長.

問題4假設(shè)三角形在翻折時(shí)的折線不經(jīng)過任一頂點(diǎn)，應(yīng)該如何求折痕的長度呢？如圖5，將直角三角形ABC沿著某一條直線進(jìn)行翻折，使頂點(diǎn)A和B重合，請問怎樣才能求出折痕DE的長度？

圖5

問題5假設(shè)再換兩個(gè)頂點(diǎn)重合又會(huì)是什么情況？

問題6假設(shè)讓三角形的某一個(gè)頂點(diǎn)與指定的某個(gè)點(diǎn)重合會(huì)怎么樣呢？將直角三角形ABC沿著某一條直線進(jìn)行翻折，使頂點(diǎn)A和BC邊上的中點(diǎn)F重合，請問怎樣才能求出折痕DE的長度？

師生共同總結(jié)數(shù)學(xué)模型，在直角三角形EFC中可以利用勾股定理列方程求得CE和EF的長度，再過點(diǎn)F作AB的垂線段FH.在直角三角形DFH中可以通過同樣的方法求得DF或者AD的長度，DE的長度自然可以求得.

問題7將直角三角形ABC沿著某一條直線進(jìn)行翻折，使頂點(diǎn)B和AC邊上的中點(diǎn)F重合，請問應(yīng)該怎樣才能求出折痕DE的長度？

設(shè)計(jì)意圖：本例中的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.首先，從三角形經(jīng)過某一頂點(diǎn)的折線翻折后的情況進(jìn)行討論，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用勾股定理加以定量分析之后解決問題.其次，討論三角形不經(jīng)過某一頂點(diǎn)的折線進(jìn)行翻折后出現(xiàn)的情況，求折痕的長度.

問題設(shè)計(jì)由易到難，滿足了不同學(xué)生的需求，在層層遞進(jìn)的探究中提升了學(xué)生對這類問題的認(rèn)識，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力，在潛移默化中掌握解決這類問題的策略是先構(gòu)造直角三角形，根據(jù)已知條件利用勾股定理最終獲得解題的思路[3].

綜上所述，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵與核心，也是提升思維能力的重要途徑.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)中能夠理解知識的發(fā)生和發(fā)展過程，使知識的學(xué)習(xí)與運(yùn)用形成更加完美的結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.教師要樹立課程目標(biāo)意識，以學(xué)生的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，以核心素養(yǎng)為目標(biāo)，有效設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)拾階而上的數(shù)學(xué)探究，促進(jìn)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，開展深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.