二次函數增減性性質新說及其應用

2023-01-05 12:46:58福建省武夷山市第二中學林夢雨

?福建省武夷山市第二中學林夢雨

1 引言

增減性是拋物線的一條非常重要的性質，也是重要的考點，下面就對性質及其應用歸納如下，僅供學習時借鑒.

(1)當a>0時，若d1>d2，則y1>y2；

(2)當a<0時，若d1>d2，則y1

下面以a>0為例加以證明.

證明：如圖1.

圖1

綜上所述，當a>0時，若d1>d2，則y1>y2成立.

A．2 B．3 C．4 D．5

由a>0，得c<0，則abc<0，故①正確.

所以正確的個數有5個.故選：D．

點評：本題考查了二次函數的圖象與系數的關系、二次函數的最值、二次函數與x軸的交點情況、二次函數與一元二次方程之間的關系、二次函數的性質等知識點，綜合性較強，需靈活運用二次函數的以上相關知識點．

圖2

由拋物線y=ax2-2ax+c過點A，可得c=1.

為了進一步檢驗經過響應面設計試驗所獲得的模型及其預測的最佳工藝條件的可靠性，在最佳工藝條件進行驗證試驗，并重復5次，結果及統計分析如表6所示：對于酵母固態發酵551H及552H，驗證試驗結果與預測結果差異性均不顯著（P＞0.05）,因此，模型預測的最佳工藝參數適合實際應用。

點評：解答時，有三點需要把握好.一是用好配方法確定拋物線的對稱軸；二是用好“ady”法則計算距離d并準確比較大小；三是靈活運用分類思想，結合“ady”法則計算即可.

例3(2021·日照)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=-1，其圖象如圖3所示．下列結論：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(x1，y1)和(x2，y2)是拋物線上的兩點，則|x1+1|>|x2+1|時，y1

圖3

A．4 B．3 C．2 D．1

解析:由拋物線圖象開口向上，可得a>0.又對稱軸在y軸左側，所以a，b同號，即b>0.

由拋物線與y軸交點在x軸下方，得c<0.所以abc<0，故①正確．

(4a+c)2-(2b)2=(4a+c+2b)(4a+c-2b)，當x=2時ax2+bx+c=4a+c+2b，由圖象可得4a+c+2b>0，當x=-2時，ax2+bx+c=4a+c-2b，由圖象可得4a+c-2b<0，所以(4a+c)2-(2b)2<0即(4a+c)2<(2b)2.故②正確．

因為拋物線的頂點坐標為(-1，m)且a>0，所以y≥m，即ax2+bx+c≥m，即拋物線與直線y=m有交點，而m-1位于直線y=m下方，故拋物線與直線y=m-1無交點，方程ax2+bx+c=m-1無實數根.故④正確.

綜上所述，①②④正確.故選：B．

點評：解答時，有兩個關鍵點要把握好.一是“ady”法則的理解和運用，這可以準確判斷結論③；二是靈活運用函數的最小值以及數形結合思想判斷方程的根，這一點也是很重要的.

例4已知二次函數y=ax2-3ax+c(a<0)的圖象上有三個點(-1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，則y1，y2，y3的大小關系是( ).

A.y2

C.y1

故選：D．

點評：解答時，準確計算拋物線的對稱軸以及點的橫坐標與對稱軸的距離是解答的基礎性條件，熟練掌握“ady”法則是解題的關鍵．

二次函數是初中數學的重要內容，熟練掌握其性質更是學習的重點之一，特別是增減性尤其重要.為此，要做到如下三點.

(1)掌握增減性的基本描述方式，這是掌握性質的基礎，也是性質變形的根本依據.

(2)靈活掌握創新的“ady法則”，法則與原性質對比有兩大優點：一是不需要判斷點與對稱軸的位置關系，不需要分其在對稱軸的左側還是右側，避免了解答時易出現的錯誤；二是解決了二次函數圖象上所有的點的函數值的大小比較問題，提高了解題效率.

(3)通過性質的運用，數形結合思想、分類思想、絕對值思想都得到了充分的展示和應用，這也是解題時必須要牢記的.