網格與圓作圖新題

?天津南開日新學校 耳 潔 張樹義

在近幾年的各地考試中有一種與網格和圓有關的作圖題，這類題綜合性強，層次高，能很好考查學生綜合運用數學知識解決問題的能力.這類題常以壓軸題出現，由于題型新，因此可參考的題目并不多.筆者新編了一些網格與圓相結合的作圖題，給出題目的分析、解答和涉及的知識點，供大家教學時參考，不妥之處，懇請大家指正.

1 網格面積問題

“網格面積”類作圖問題可涉及：作一個圖形，其面積等于已知數值;作面積最大、最小的圖形;把一個圖形分成有一定要求的兩部分；等等.

圖1

分析：不難算出△ABC的面積為5，可知△ABP的面積是△ABC面積的一半，則考慮作△ABC的中位線與圓交于點P.

解：如圖2，取格點D，E，連接DE交網格線于點F.取格點G，連接FG交AC于點H.設BC與網格線交于點M，作射線HM與圓交于點P，連接AP，BP，則點P即為所求.

圖2

涉及知識點： ①三角形中位線性質; ②平行線間的距離 ; ③網格作圖基本動作——比例分線段.

圖3

解：如圖4，取格點C，D，連接CD交AB于點E.取格點F，G，H，N，連接FG，HN，兩線段相交于點M.連接EM與圓交于點P，連接AP，BP，則點P即為所求.

圖4

涉及知識點：①垂徑定理的推理; ②網格作圖基本動作——比例分線段; ③網格作圖基本動作——畫已知線段的垂線.

2 網格角度問題

“網格角度”類作圖問題可涉及：作一個角等于適當角度;平分已知角;作一個角等于一個角的幾倍;平分弧；弧的倍分；等等.

圖5

分析：如圖6，延長線段AB至格點E，延長線段BA至格點F，則∠FAC=45°，故∠CAB=135°.所以作∠EAM=∠MAN=∠NAC=45°即可.

圖6

解：如圖6，取格點G，連接AG并延長交圓弧于點M.取格點H，連接AH并延長交圓弧于點N.點M，N即為所求.

涉及知識點： ①圓周角定理的推論;②等腰直角三角形的判定與性質;③網格作圖基本動作——畫指定大小的角或作角的平分線.

3 網格線段問題

“網格線段”類作圖問題可涉及：作兩條線段相等；找圓心；作切線；將軍飲馬問題；胡不歸問題；阿氏圓問題；作最長、最短的線段；等等.

圖7

解：如圖8，取格點H，G，連接GH交AB于點M.取格點N，連接NH交AC于點F，連接MF交AD于點E.點E，F即為所求.

圖8

涉及知識點：①圓周角定理的推論；②全等三角形的判定與性質；③最短路徑問題，即垂線段最短；④網格作圖基本動作——比例分線段；⑤網格作圖基本動作——畫已知線的垂線(或平行線).

圖9

解：如圖10，取格點D，連接CD交網格線于點E.連接AE交半圓于點F.連接BF交AC于點P，點P即為所求.

圖10

涉及知識點：①最值，即胡不歸問題;②相似三角形的判定和性質;③網格作圖基本動作——畫已知線的垂線(構造等腰直角三角形);④網格作圖基本動作——比例分線段.

例6如圖11,將△ABC放在每個小正方形邊長為1的網格中，點A，B，C均落在格點上，動點P到點A的距離為2，點Q是線段BP的中點，連接線段CQ，當線段CQ最小時，在圖中用無刻度的直尺畫出點P和點Q，并簡要說明畫法.

圖11

解：如圖12，取格點D，連接AD.取格點E，F，連接EF交AD于點P.連接BP，取格點K,連接CK交BP于點Q.點P，Q即為所求.

圖12

涉及知識點：①最值，即隱圓問題；②三角形中位線性質；③網格作圖基本動作——比例分線段.

4 作圖思路總結

結合以上六個例題，匯總常見作圖的思路:

(1)通過圓周角90°確定直徑；

(2)通過兩直徑確定圓心；

(3)通過等弧所對圓周角相等確定角平分線；

(4)通過直徑確定圓周角90°(即兩直線垂直關系)；

(5)通過隱圓確定動線段的最短、最長線段.

5 結束語

網格作圖問題承載著幾何直觀能力、邏輯推理與合情推理能力、運算能力、應用意識、創新意識等學科核心素養的落地體現，同時，蘊涵著轉化、化歸、數形結合、數學建模等數學思想，是中考命題的熱點之一.以往網格作圖問題通常依托于全等、相似、線與線的相對位置、三角形或四邊形的基本性質，讓學生利用網格作垂直、平行，構造相似與全等，將線段n等分[1].而今試題增加了圓這一背景后，增加了知識的綜合性，使試題更靈活，借助圓心、半徑、直徑、圓心角、圓周角、切線等的基本性質，作圖更便捷，思維更廣闊，既能考查學生綜合解決問題的能力，又能呈現出更加美觀的作圖效果.利用網格與圓相關性質的結合還可以解決更多幾何變換中旋轉、翻折等典型問題.