將同主題內容置于主題式學習單元之中*
——以“反比例函數”章節啟示課教學為例

?江蘇省南京市南站中學(雨花臺中學南站校區) 杭秉全

1 引言

現行的數學課程設計與教材編排都體現了“螺旋式上升”的原則[1]．同一內容主題，初一學一點，初二學一些，初三繼續學，逐漸加深．這比把一個內容主題，一步到位、體系敘述完善地放在一起，用學時連續的學段學習，更貼近循序漸進地認知發展規律．但遵循“螺旋式上升”原則編寫的數學教材，因同主題學習內容分解到各學年段，導致教材中前后章節的學習往往缺乏知識內容的邏輯聯系．本文中以“反比例函數”章節啟示課教學為例，將反比例函數的學習，置于函數這一主題式學習單元之中，建立各類函數之間的聯系，借鑒已學函數研究的基本思路與基本方法，豐富函數研究的經驗，實現學生對函數學習認知的螺旋式上升．

2 回顧，為類比學習奠定基礎

學習任何一個新知識，都要關注它的來龍去脈，要清楚與之在知識內容、研究方法以及所蘊含的思想等方面相近的前繼學習和后續學習．同一主題下不同內容的學習，有很多學習經歷趨同、學習經驗相通．因此，在同主題學習經歷與經驗的回顧中，可以為新知識的類比學習奠定基礎．

活動1觀察與思考

觀察表1，并思考以下幾個問題：

表1 路程與時間的關系

(1)時間t與路程s之間有何關系？

追問：s是t的函數嗎？為什么？

設計意圖:讓學生通過觀察表格，發現兩個量之間是正比例關系，兩個變量之間是函數關系(s是t的正比例函數)，從而引發學生對前面正比例函數學習的回顧與再認．

(2)在前面的學習中，我們圍繞“正比例函數”從哪些方面展開了研究？

(3)經過這些研究，大家對“正比例函數”有哪些認識？

(4)在 “正比例函數”的研究中，我們運用了哪些數學思想方法？

設計意圖:讓學生有順序、有層次地全面回顧正比例函數的學習，初步梳理出函數主題式學習單元的研究思路、經驗和方法．為后續類比正比例函數的學習奠定基礎．

3 類比，探究同主題新內容

類比遷移是解決很多新問題的一個重要而有效的方法．類比遷移發生在具有相同結構特征的兩種不同的概念領域，或發生在相同或非常接近的概念領域．同主題下不同內容的學習應充分運用類比遷移的學習策略，在與同主題學習經歷與經驗的類比中，進行同主題新內容的學習探究．

在“反比例函數”章節啟示課的新知探究環節中設計如下2個教學活動，可以引導學生類比正比例函數，將研究基本思路、方法策略等遷移到反比例函數的研究中．

活動2類比與探究

觀察表2，并探究以下幾個問題：

表2 時間與速度的關系

(1)時間t與速度v之間有何關系？

追問：v是t的函數嗎？為什么？

設計意圖:讓學生通過觀察表格，發現兩個量之間是反比例關系，兩個變量之間是函數關系．

(2)實際生活中，哪些情境下的兩個變量也具有類似的關系？

設計意圖:讓學生舉例，其一，體會數學源于生活，其二，為通過歸納下定義提供豐富而具體的例子．

(3)請給這類函數命名，并嘗試下定義．

設計意圖:讓學生在正比例函數學習的回顧，以及多個具體例子的基礎上，自主歸納出反比例函數的一般表達式，類比正比例函數定義的表述形式，給出反比例函數的定義．進一步感悟歸納的數學思想方法，和類比的研究策略．

(4)圍繞“反比例函數”，在有了定義之后，還可以研究哪些內容？

設計意圖：再一次引發學生類比正比例函數的研究經驗，梳理出反比例函數的研究主線，架構出本章節的學習內容框架．進一步感悟類比的研究策略，明晰函數主題式學習單元的基本研究思路(如圖1)．

圖1

活動3猜想與推理

(1)請你猜想反比例函數的圖象大致是什么樣子？并說說你的依據．

設計意圖：在畫反比例函數圖象之前，引導學生關注反比例函數關系式的特點，由“數”想“形”．初步分析兩變量的取值范圍以及正負性特征，猜想反比例函數的圖象大致分布在哪些象限；根據一個變量隨另一個變量增大或減小的變化特點，猜想反比例函數圖象的增減性．用猜想、說理的活動，引導學生運用數形結合思想，開啟反比例函數圖象及性質的研究．

(2)選擇一個反比例函數，并畫出它的圖象，檢驗之前對反比例函數圖象大致樣子的猜想是否正確．

追問1：利用描點法畫函數圖象，有哪些步驟？

追問2：選擇怎樣的反比例函數，方便描點？

追問3：列表時，自變量取值有限制嗎？如何取值能更具代表性，且便于描點？

設計意圖：用特例驗證之前對反比例函數圖象特征的猜想，并為后續歸納反比例函數圖象的一般性質提供基礎．設計追問1，引導學生回顧用描點法畫函數圖象的操作經驗；設計追問2，進一步引導學生由“數”想“形”，選擇適合的反比例函數特例，方便畫其圖象，即被選擇的反比例函數關系式能保證其圖象上有多個橫、縱坐標都為整數，且數值均不大的點，方便在坐標系中描出它們的位置；追問3，再一次引導學生關注函數關系式，實現從沒有思考的“隨意”列表，向考量代表性的“有意”列表的轉變，讓“分析思考”走在“動手操作”之前，進一步讓學生體會到對函數關系式特征的分析是畫好其圖象的前提，感悟數形結合思想．

(3) 觀察所畫的反比例函數圖象，結合反比例函數關系式，歸納反比例函數的性質．

設計意圖：由特例歸納一般性結論．在歸納活動中，既有結合特例圖象的“幾何直觀”，又有結合反比例函數關系式的“代數推理”，還有從特殊到一般的歸納思想，以及與同主題“一次函數圖象性質”學習經驗的類比．促進學生在觀察、分析以及類比中，感悟數學思想方法，提升數學核心素養．

追問：結合上面問題的研究結論，你對反比例函數圖象的性質有新發現嗎？觀察前面所畫的函數圖象，有這樣的直觀感受嗎？

設計意圖:因一次函數圖象的性質研究中不討論對稱性，所以對于反比例函數圖象的對稱性的研究沒有同主題研究經驗指引．因此，設計問題驅動學生用代數推理的方式認識反比例函數圖象的對稱性，并用特例的幾何直觀驗證．同時，再一次讓學生從數(代數推理)與形(幾何直觀)兩個角度認識函數圖象的性質，進一步感悟數形結合的思想方法．

4 梳理，豐富學習經驗

在個人知識管理流程中，知識結構化是知識提煉環節的一個要點．因此，數學教學不能只有零散的知識點，而應做好相關知識的梳理與提煉．在梳理中，將各知識節點串為知識鏈，將多條知識鏈縱橫聯系，編織成知識網；在提煉中，對新知識的再認，形成這類主題式學習單元的整體性、結構化認識．相同類型的主題應采用相同的詮釋框架，盡量使用一致的順序、一致的用語、一致的圖表，在對同主題不同內容的學習梳理中，可以豐富主題式學習單元的學習經驗，形成結構穩定的認知．

在“反比例函數”章節啟示課的課堂小結環節中，設計如下教學活動，引導學生對函數的學習進行再認，明確函數研究的基本思路與方法，豐富函數主題學習的研究經驗．

活動4梳理與再認

(1)填表3：

表3 函數主題單元小結

(2)總結：通過正比例函數、一次函數以及本節課對反比例函數的學習，你對研究某一類函數，有何經驗與認識？

設計意圖:在梳理中，明晰之前以及本節課所學的各類函數的知識內容，認清所學各類函數之間的區別與聯系，形成函數這一主題的知識結構；在總結中，再認函數這一主題的研究基本思路，豐富函數這一主題的研究經驗，認識同主題內容的學習應置于主題式學習單元之中的學習策略．

5 結束語

“螺旋式上升”的原則不只是體現在教材編排上，同時也體現在學生對重要概念的獲得、思想方法的感悟與數學核心素的提升養．教材把同一內容主題的學習分解到各學年段中，教學時，應聯“分”為 “合”，這種“合”不是簡單地把教學內容合在一起，而是在各學年段遵循從簡單到復雜，將同主題內容的學習置于主題式學習單元之中，加強同主題不同學習內容之間的聯系，運用類比的研究策略，實現學生認知與經驗、能力與素養的螺旋式上升．