多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤的“鬼點(diǎn)”形成條件

李松洲， 周荻， 杜潤(rùn)樂， 劉佳琪， 方藝忠

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 哈爾濱 150001; 2.試驗(yàn)物理與計(jì)算數(shù)學(xué)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100076)

0 引言

相比于主動(dòng)探測(cè)跟蹤，被動(dòng)探測(cè)跟蹤憑借其良好的隱蔽性和生存能力，在軍事領(lǐng)域有著更為廣闊的應(yīng)用前景。近些年，關(guān)于被動(dòng)跟蹤理論和應(yīng)用，涌現(xiàn)出大量的研究，如文獻(xiàn)[1]對(duì)比分析了基于概率假設(shè)跟蹤方法的擴(kuò)展卡爾曼濾波和無跡卡爾曼濾波在不同測(cè)量噪聲水平下求解多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題時(shí)性能的優(yōu)劣；文獻(xiàn)[2-5]研究了求解多傳感器多目標(biāo)跟蹤的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題的高效多維分配算法；文獻(xiàn)[6-7]研究了異步多傳感器多目標(biāo)跟蹤算法；文獻(xiàn)[8]比較了兩類考慮線程關(guān)聯(lián)的多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤算法——經(jīng)典貝葉斯線程關(guān)聯(lián)和蒙特卡洛線程關(guān)聯(lián)對(duì)跟蹤性能的影響；文獻(xiàn)[9-10]研究了基于概率假設(shè)密度濾波方法的非關(guān)聯(lián)多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤方法。

被動(dòng)跟蹤問題指的是根據(jù)被動(dòng)傳感器獲取的目標(biāo)角度信息估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其本質(zhì)是運(yùn)用幾何上的交叉定位原理，即通過多條測(cè)量視線于交匯于目標(biāo)點(diǎn)處實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位。文獻(xiàn)[11]指出，該方法能夠勝任對(duì)單目標(biāo)的定位跟蹤任務(wù)，但是在進(jìn)行多目標(biāo)的被動(dòng)定位跟蹤時(shí)，由于同信道干涉導(dǎo)致“鬼點(diǎn)”問題的出現(xiàn)，使得基于被動(dòng)測(cè)量的跟蹤算法在解決多目標(biāo)跟蹤問題時(shí)遇到困難。

“鬼點(diǎn)”問題只有在多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤場(chǎng)景下出現(xiàn)，它的本質(zhì)是來源于不同傳感器的多組測(cè)量集間的關(guān)聯(lián)不確定性所導(dǎo)致的，當(dāng)跟蹤系統(tǒng)對(duì)測(cè)量集間進(jìn)行了不正確關(guān)聯(lián)，將會(huì)使系統(tǒng)跟蹤到虛假目標(biāo)點(diǎn)，也就是“鬼點(diǎn)”。一般地，傳感器數(shù)目越多，獲取的測(cè)量信息越多，能夠有效降低這種關(guān)聯(lián)不確定性。因此，文獻(xiàn)[11]給出一定條件下完全消除“鬼點(diǎn)”的所需傳感器數(shù)目必須比目標(biāo)數(shù)多1個(gè)的結(jié)論，但是沒有對(duì)傳感器數(shù)目小于或等于目標(biāo)數(shù)情況下的“鬼點(diǎn)”形成條件進(jìn)行研究分析。此外，關(guān)于被動(dòng)多傳感器多目標(biāo)跟蹤如何有效去除“鬼點(diǎn)”改善跟蹤準(zhǔn)確率，文獻(xiàn)[12-13]的研究都表明在跟蹤算法設(shè)計(jì)中納入測(cè)量頻率信息可提高數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)果的可靠性達(dá)到去“鬼點(diǎn)”的效果，文獻(xiàn)[14]指出在進(jìn)行目標(biāo)跟蹤時(shí)進(jìn)行航跡管理能夠抑制“鬼點(diǎn)”生成，文獻(xiàn)[15]通過考察兩個(gè)被動(dòng)傳感器不同信號(hào)抵達(dá)延時(shí)的相關(guān)性去除“鬼點(diǎn)”，文獻(xiàn)[16]分別論述了通過增加傳感器數(shù)目、提高測(cè)量維度、利用目標(biāo)狀態(tài)的先驗(yàn)認(rèn)知以及其他屬性特征等“鬼點(diǎn)”抑制方法，而文獻(xiàn)[17]提出了一種采用抵達(dá)角度(AoA)和抵達(dá)時(shí)間(ToA)的被動(dòng)多傳感器多目標(biāo)跟蹤的新型數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法，通過對(duì)測(cè)量值進(jìn)行聚類并打分的方式處理面臨的“鬼點(diǎn)”問題，這些都屬于通過能夠有效區(qū)分目標(biāo)和“鬼點(diǎn)”附加信息的獲取已達(dá)到去除“鬼點(diǎn)”的目的，但是在實(shí)際中，很多情況下這類信息要么不存在、要么獲取困難。文獻(xiàn)[18]利用Hough變換積累單元數(shù)和單元投票數(shù)進(jìn)行“鬼點(diǎn)”的判別，達(dá)到了消除大部分“鬼點(diǎn)”的目的。文獻(xiàn)[19]將模糊集思想進(jìn)入Hough變換，利用模糊函數(shù)的隸屬度作為參數(shù)空間累積量，在局部和全局兩個(gè)層次進(jìn)行聯(lián)合判決，通過模糊推理最終區(qū)分真假航跡。文獻(xiàn)[20] 提出一種在干擾環(huán)境下新的有效“鬼點(diǎn)”去除算法，證明“鬼點(diǎn)”一般相對(duì)于目標(biāo)具有更高復(fù)雜度的軌跡，通過將目標(biāo)和“鬼點(diǎn)”的軌跡分別近似表征為線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)軌跡復(fù)雜度和系統(tǒng)階數(shù)的對(duì)應(yīng)，而系統(tǒng)階數(shù)與響應(yīng)相關(guān)的Hankel矩陣秩相等，從而可通過計(jì)算比較不同潛在軌跡所對(duì)應(yīng)的Hankel矩陣秩對(duì)“鬼點(diǎn)”和目標(biāo)進(jìn)行判別。上述幾類方法本質(zhì)上都是利用“鬼點(diǎn)”與目標(biāo)在幾何復(fù)雜度上的差異設(shè)計(jì)的剔除算法，對(duì)低幾何復(fù)雜度的“鬼點(diǎn)”能夠起到較好的剔除效果，但是對(duì)與目標(biāo)有著同樣幾何復(fù)雜度的頑固“鬼點(diǎn)”往往卻無能為力。文獻(xiàn)[21]研究了兩個(gè)測(cè)量平臺(tái)的僅角度可測(cè)的多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題，提出一類能夠同時(shí)有效降低數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)不確定性和跟蹤誤差的軌跡優(yōu)化方法，通過機(jī)動(dòng)改變傳感器的位置增加不同方位對(duì)目標(biāo)的觀測(cè)信息，以達(dá)到降低關(guān)聯(lián)不確定性而去“鬼點(diǎn)”的目的，本質(zhì)上與增加傳感器數(shù)目的原理類似，而且一般對(duì)觀測(cè)平臺(tái)的機(jī)動(dòng)能力有較高要求。文獻(xiàn)[22]提出一種基于對(duì)極幾何關(guān)聯(lián)距離的關(guān)聯(lián)代價(jià)函數(shù)，對(duì)傳感器原始探測(cè)信息間的關(guān)聯(lián)關(guān)系進(jìn)行求解，而后由此進(jìn)行目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)，避免先估計(jì)后關(guān)聯(lián)方式進(jìn)行大量三角學(xué)操作造成誤差累計(jì)的問題，提高了關(guān)聯(lián)精度，能一定程度上抑制“鬼點(diǎn)”問題，但是這種方法主要適用于基于圖像的被動(dòng)觀測(cè)問題，具有一定的局限性。此外，文獻(xiàn)[22]中所論述的對(duì)“鬼點(diǎn)”效應(yīng)的“免疫”作用并非完全來源于算法優(yōu)越性，本質(zhì)上還是增加了傳感器數(shù)目的作用。上述研究工作主要側(cè)重于對(duì)“鬼點(diǎn)”去除算法的研究，對(duì)“鬼點(diǎn)”的形成條件沒有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治鼋Y(jié)果。本文將著重針對(duì)該問題展開研究。

“鬼點(diǎn)”問題是多目標(biāo)跟蹤不可避免的問題，而“鬼點(diǎn)”出現(xiàn)的概率主要與傳感器網(wǎng)絡(luò)和目標(biāo)群的相對(duì)幾何關(guān)系有關(guān)，此外，測(cè)量裝置的精度以及探測(cè)環(huán)境的“純凈度”也是影響“鬼點(diǎn)”出現(xiàn)概率的重要因素。“鬼點(diǎn)”不可避免，但是可以消除或者降低其生成概率，這需要根據(jù)多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題在不同應(yīng)用場(chǎng)景下的特點(diǎn)，分析造成“鬼點(diǎn)”出現(xiàn)的主要因素，據(jù)此采用不同的“去鬼點(diǎn)”算法，以達(dá)到提高跟蹤系統(tǒng)準(zhǔn)確度和精度的目的，以及節(jié)約跟蹤系統(tǒng)的組網(wǎng)成本。因此，本文著重研究了多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題中“鬼點(diǎn)”的形成條件，運(yùn)用集合的分析方法，從理論上分別探究在二維和三維場(chǎng)景下“鬼點(diǎn)”形成的條件，分別分析采用2個(gè)、3個(gè)和k(k≥2)個(gè)傳感器進(jìn)行多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤“鬼點(diǎn)”形成的幾何條件，并且給出相關(guān)的理論證明和仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

1 “鬼點(diǎn)”問題描述

在二維平面內(nèi)，只需要兩個(gè)傳感器獲取的關(guān)于目標(biāo)的角度信息就可以完成對(duì)單個(gè)目標(biāo)進(jìn)行被動(dòng)定位跟蹤，如圖1所示，兩傳感器s1、s2關(guān)于目標(biāo)點(diǎn)t1的兩條射線形成的交會(huì)點(diǎn)即為目標(biāo)位置。

圖1 單目標(biāo)被動(dòng)定位Fig.1 Passive positioning of a single target

當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)目標(biāo)時(shí)(這里以兩個(gè)目標(biāo)為例)，則可能由于測(cè)量信息關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤，導(dǎo)致不能正確跟蹤到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，取而代之的將是兩個(gè)不存在的目標(biāo)點(diǎn)，一般將這樣的虛假目標(biāo)點(diǎn)稱之為“鬼點(diǎn)”，如圖2所示，為采用兩個(gè)傳感器s1、s2對(duì)兩個(gè)目標(biāo)點(diǎn)t1、t2進(jìn)行被動(dòng)定位時(shí)所構(gòu)成的相對(duì)幾何關(guān)系，g1和g2為測(cè)量信息錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)時(shí)定位到的兩個(gè)“鬼點(diǎn)”。由圖2中可見，跟蹤到的“鬼點(diǎn)”位置相對(duì)目標(biāo)真實(shí)位置有著明顯的偏差，該現(xiàn)象的出現(xiàn)顯然不利于工程應(yīng)用。因此，有必要探究“鬼點(diǎn)”的成因，這將有利于啟發(fā)多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤設(shè)計(jì)，減小“鬼點(diǎn)”出現(xiàn)的概率或者避免“鬼點(diǎn)”的形成。

圖2 “鬼點(diǎn)”形成示意圖Fig.2 Schematic diagram of the formation of ghost nodes

2 “鬼點(diǎn)”形成條件

為了探究多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題中“鬼點(diǎn)”問題的成因，下面將運(yùn)用集合的分析方法并結(jié)合幾何原理，對(duì)不同場(chǎng)景下的“鬼點(diǎn)”成因進(jìn)行闡述論證。

設(shè)被動(dòng)傳感器位置分別表示為s1,s2,…,sk，目標(biāo)位置分別表示為t1,t2,…,tp，“鬼點(diǎn)”位置分別表示為g1,g2,…,gq，由傳感器si(i=1,2,…,k)獲得的視線測(cè)量集表示為φi={L(si,t1),L(si,t2),…,L(si,tp)}，其中L(si,tj)(i=1,2,…,k,j=1,2,…,p)表示由傳感器si指向目標(biāo)tj的射線。圖1中單目標(biāo)的定位跟蹤可表示為

t1=L(s1,t1)∩L(s2,t1)

(1)

圖2中的兩目標(biāo)點(diǎn)定位跟蹤可表示為

(2)

而當(dāng)關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤時(shí)出現(xiàn)的“鬼點(diǎn)”則可表示為

(3)

由此，在一般的多目標(biāo)跟蹤定位中，對(duì)任意目標(biāo)的定位可以表示為

tj=L(s1,tj)∩L(s2,tj)∩…∩L(sk,tj)

(4)

針對(duì)圖2中所示的“鬼點(diǎn)”問題，倘若額外增加一號(hào)傳感器s3，如圖3所示，由于此時(shí)傳感器s3獲取的測(cè)量視線L(s3,t1)和L(s3,t2)不再通過點(diǎn)g1和g2，即3個(gè)傳感器獲取的測(cè)量視線除了在目標(biāo)點(diǎn)t1和t2交匯外，并沒有形成其他不同于這兩點(diǎn)的公共交匯點(diǎn)，這時(shí)將不會(huì)定位到“鬼點(diǎn)”。

圖3 三傳感器對(duì)兩目標(biāo)的被動(dòng)定位Fig.3 Passive positioning of two targets using three sensors

關(guān)于上述現(xiàn)象，文獻(xiàn)[11]給出了如下一般性結(jié)論：

引理1假設(shè)任意兩個(gè)傳感器不與任一目標(biāo)共線(假設(shè)1)，則要實(shí)現(xiàn)對(duì)傳感器公共探測(cè)區(qū)內(nèi)的p個(gè)目標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確(不出現(xiàn)“鬼點(diǎn)”)的被動(dòng)定位，最多需要p+1個(gè)傳感器進(jìn)行被動(dòng)測(cè)量。

關(guān)于引理1盡管文獻(xiàn)[11]已經(jīng)給出了相應(yīng)的證明，但鑒于原證明略顯含糊晦澀，這里給出該命題的詳細(xì)證明過程。

關(guān)于引理1的數(shù)學(xué)證明，可以通過反證法證明，下面給出證明過程。

證明設(shè)公共觀測(cè)區(qū)域(不局限于平面)內(nèi)有p個(gè)目標(biāo)(分別標(biāo)記為t1,t2,…,tp)，現(xiàn)在采用k個(gè)傳感器(分別標(biāo)記為s1,s2,…,sk)對(duì)這p個(gè)目標(biāo)進(jìn)行被動(dòng)定位，且傳感器位置為目標(biāo)位置滿足“任意兩個(gè)傳感器不與任一目標(biāo)共線”的假設(shè)條件。現(xiàn)假如該情境下定位到一“鬼點(diǎn)”gl，則gl應(yīng)為k個(gè)傳感器得到的k條觀測(cè)視線公共交點(diǎn)，即

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩…∩L(sk,tjk)

(5)

式中：ji∈{1,2,…,p}(i=1,2,…,k)為定位到“鬼點(diǎn)”gl時(shí)傳感器si指向“鬼點(diǎn)”gl射線上的目標(biāo)點(diǎn)標(biāo)號(hào)。根據(jù)“鬼點(diǎn)”的物理意義，gl還須滿足

?i∈{1,2,…,k},gl≠tji

(6)

下面首先證明：在(5)式中，?jm,jn,m≠n，恒有jm≠jn(命題1)。

根據(jù)“鬼點(diǎn)”的定義，“鬼點(diǎn)”必然處在傳感器與目標(biāo)形成的視線之上。現(xiàn)在假設(shè)?jm,jn,m≠n，有jm=jn(假設(shè)2)，從而有

tjm=tjn∈{L(sm,tjm)∩L(sn,tjn)}

(7)

則由(5)式可知

gl∈{L(sm,tjm)∩L(sn,tjn)}

(8)

由(7)式和(8)式可知，直線L(sm,tjm)和L(sn,tjn)存在交點(diǎn)tjm和gl，而由(6)式可知gl≠tjm，所以直線(射線)L(sm,tjm)和L(sn,tjn)重合，這樣sm、sn與tjm共線，不滿足假設(shè)1，所以假設(shè)2不成立，命題1得證，即(5)式中的tj1,tj2,…,tjk須為t1,t2,…,tp中任意k個(gè)點(diǎn)的一個(gè)排列。

所以，k≤p是得到“鬼點(diǎn)”的必要條件，由與該命題等價(jià)的逆否命題“當(dāng)k>p時(shí)將不可能形成‘鬼點(diǎn)’”可知引理1成立，引理1得證。

在上述證明過程中并沒有對(duì)觀測(cè)區(qū)域作出限制條件，所以引理1的結(jié)論既適用于二維場(chǎng)景，同樣也適用于三維場(chǎng)景。

由引理1可知，當(dāng)k>p時(shí)，即傳感器數(shù)目大于目標(biāo)數(shù)目時(shí)，可以避免“鬼點(diǎn)”的形成。那么，當(dāng)k≤p時(shí)是否一定會(huì)形成“鬼點(diǎn)”呢？該條件下“鬼點(diǎn)”形成又是否需要什么特殊的條件？關(guān)于該問題的探索鮮見相關(guān)的研究成果，但這并不意味著該問題的探究沒有意義。倘若能夠揭示該條件下“鬼點(diǎn)”成因，那么就能據(jù)此在實(shí)際應(yīng)用中通過跟蹤方案設(shè)計(jì)盡可能地給“鬼點(diǎn)”形成創(chuàng)造不利條件從而達(dá)到抑制“鬼點(diǎn)”生成概率，改善跟蹤系統(tǒng)性能，并且一定程度上降低跟蹤系統(tǒng)的組網(wǎng)成本。

2.1 兩傳感多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤

對(duì)于兩傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題，有如下定理：

定理1對(duì)于目標(biāo)點(diǎn)與傳感器共面時(shí)，只要當(dāng)存在兩目標(biāo)點(diǎn)位于兩傳感器基線同側(cè)時(shí)才有可能形成“鬼點(diǎn)”，且當(dāng)兩目標(biāo)點(diǎn)在基線上的投影距離大于基線長(zhǎng)度時(shí)定位到“鬼點(diǎn)”的可能性將有所降低；而當(dāng)任意兩目標(biāo)點(diǎn)與傳感器構(gòu)成異面關(guān)系時(shí)，則不會(huì)定位到“鬼點(diǎn)”。

圖4 兩傳感器被動(dòng)定位Fig.4 Passive positioning using two sensors

當(dāng)任意兩目標(biāo)點(diǎn)與傳感器構(gòu)成異面關(guān)系時(shí)，根據(jù)定理1，若假設(shè)該場(chǎng)景下定位到“鬼點(diǎn)”gl，則必然存在兩個(gè)目標(biāo)，設(shè)為tj1和tj2，滿足條件：

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2) orgl=L(s1,tj2)∩L(s2,tj1)

(9)

由場(chǎng)景設(shè)置條件“任意兩目標(biāo)點(diǎn)與傳感器構(gòu)成異面關(guān)系”知，L(s1,tj1)與L(s2,tj2)異面無交點(diǎn)，L(s1,tj2)與L(s2,tj1)同樣如此，因此假設(shè)不成立，定理得證。

根據(jù)前文所述，當(dāng)gl滿足(5)式時(shí)其必然滿足(9)式，即(9)式是(5)式的必然條件。所以可以得到如下推論：

推論1在多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤場(chǎng)景下，當(dāng)存在兩個(gè)傳感器使得任意兩個(gè)目標(biāo)都與這兩個(gè)傳感器構(gòu)成異面關(guān)系時(shí)，將不會(huì)定位到“鬼點(diǎn)”。

根據(jù)上述分析討論，得到如下結(jié)論：當(dāng)采用兩個(gè)傳感器進(jìn)行被動(dòng)跟蹤時(shí)，唯有目標(biāo)群滿足如下兩個(gè)條件時(shí)才可能定位跟蹤到“鬼點(diǎn)”：

1) 目標(biāo)群中至少存在兩個(gè)目標(biāo)點(diǎn)與兩傳感器共面；

2) 與傳感器共面目標(biāo)點(diǎn)位于傳感器觀測(cè)基線同側(cè)。

2.2 三傳感多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤

當(dāng)采用3個(gè)傳感器進(jìn)行被動(dòng)跟蹤時(shí)，根據(jù)引理1，只有當(dāng)目標(biāo)群中目標(biāo)數(shù)p≥3時(shí)才有可能跟蹤到“鬼點(diǎn)”。下面在p≥3的條件下，分析“鬼點(diǎn)”形成問題：

1) 3個(gè)傳感器s1、s2、s3共線時(shí)，有如下定理：

定理2當(dāng)采用3個(gè)共線傳感器s1、s2、s3進(jìn)行多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤時(shí)，當(dāng)至少存在3個(gè)目標(biāo)tj1、tj2、tj3與s1、s2、s3構(gòu)成共面關(guān)系才有可能跟蹤到“鬼點(diǎn)”。

證明：假設(shè)有“鬼點(diǎn)”gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩L(s3,tj3)

(10)

若令S=al(s1,tj1)+bl(s2,tj2)(a、b為任意實(shí)數(shù))表示由射線L(s1,tj1)的方向向量l(s1,tj1)和射線L(s2,tj2)的方向向量l(s2,tj2)張成的平面，則由“s1、s2、s3共線”知s3∈S，由(10)式知gl∈L(s3,tj3)且gl∈S，而gl≠s3，所以有L(s3,tj3)?S，從而tj3∈S，得證。

由此進(jìn)一步得到推論：

推論2k個(gè)共線傳感器被動(dòng)觀測(cè)p≥k個(gè)目標(biāo)的情況，可以得到至少存在k個(gè)目標(biāo)tj1,tj2,…,tjk與s1,s2,…,sk構(gòu)成共面關(guān)系才有可能跟蹤到“鬼點(diǎn)”。

證明假設(shè)有鬼點(diǎn)gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩…∩L(sk,tjk)

(11)

若令S=al(s1,tj1)+bl(s2,tj2)(a、b為任意實(shí)數(shù))表示由射線L(s1,tj1)的方向向量l(s1,tj1)和射線L(s2,tj2)的方向向量l(s2,tj2)張成的平面，則由“s1,s2,…,sk共線”知，對(duì)任意的傳感器si(i=1,2,…,k)都有si∈S，由(11)式知gl∈L(si,tji)且gl∈S，而gl≠si，所以有L(si,tji)?S，從而tji∈S。根據(jù)i的任意性可知，目標(biāo)群中至少存在k個(gè)目標(biāo)tj1,tj2,…,tjk與s1,s2,…,sk構(gòu)成共面關(guān)系，得證。

2) 3個(gè)傳感器s1、s2、s3不共線，有如下結(jié)論：

證明假設(shè)有“鬼點(diǎn)”gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩L(s3,tj3)

(12)

根據(jù)上述分析結(jié)果，可以類推得到：

證明假設(shè)有“鬼點(diǎn)”gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩…∩L(sk,tjk)

(13)

2.3 一般多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題

針對(duì)一般多傳感器多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問題，有如下結(jié)論：

定理4對(duì)于非合作目標(biāo)(目標(biāo)的空間分布不可知，具有任意性)的被動(dòng)跟蹤，當(dāng)k≤p(k≥2)時(shí)，“鬼點(diǎn)”存在的可能性恒正。

證明：設(shè)有k個(gè)傳感器在空間任意分布，如圖5中所示的s1,s2,…,sk，在空間另外任找一點(diǎn)gl，當(dāng)空間中存在k個(gè)目標(biāo)點(diǎn)位置t1,t2,…,tk分別落在射線L(s1,gl),L(s2,gl),…,L(sk,gl)上時(shí)，則能使gl滿足(5)式所述“鬼點(diǎn)”形成條件，跟蹤到“鬼點(diǎn)”gl，而由目標(biāo)分布的“任意性”可知，總可以找到這樣的k個(gè)目標(biāo)點(diǎn)位置t1,t2,…,tk。所以，當(dāng)k≤p時(shí)，“鬼點(diǎn)”存在的可能性恒為正，定理得證。

圖5 k個(gè)傳感器被動(dòng)跟蹤p個(gè)目標(biāo) “鬼點(diǎn)”形成示意圖Fig.5 Formation of ghost nodes in passive tracking for p targets using k sensors

這里需要指出的是，上述結(jié)論均是基于理想測(cè)量假設(shè)，即不考慮測(cè)量誤差的影響。但是，這些結(jié)論對(duì)于實(shí)際應(yīng)用同樣存在著重要的啟發(fā)意義，應(yīng)用中由于測(cè)量誤差隨機(jī)性的存在，當(dāng)實(shí)際幾何關(guān)系“十分接近”結(jié)論中所述條件時(shí)，便可判定滿足“鬼點(diǎn)”形成條件。這樣，合理地設(shè)計(jì)這種“接近程度”的度量機(jī)制則至關(guān)重要，這也將是下一步研究工作。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

第2節(jié)所述的多條定理，均已給出明晰的證明過程，為進(jìn)一步對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行論證，現(xiàn)設(shè)置三組跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

圖6 兩傳感器與兩目標(biāo)共面條件下的跟蹤結(jié)果Fig.6 Tracking results of two targets using two sensors coplanar with targets

若不改變s1、s2的位置，僅僅在[0 m 0 m 0 m]T額外設(shè)置第3號(hào)傳感器s3，則得到如圖7所示的仿真結(jié)果，可見傳感器網(wǎng)絡(luò)沒有跟蹤到虛假航跡，驗(yàn)證了引理1所述結(jié)論，說明增加傳感器數(shù)目能夠抑制乃至消除“鬼點(diǎn)”。

圖7 增加第3號(hào)傳感器共面條件下的跟蹤結(jié)果Fig.7 Tracking result of two targets using three sensors coplanar with targets

圖8 兩傳感器與目標(biāo)異面條件下的跟蹤結(jié)果Fig.8 Tracking result of two targets using two sensors non-coplanar with targets

實(shí)驗(yàn)2設(shè)有3個(gè)目標(biāo)t1、t2、t3分別從[-70 m 100 m 0 m]T、[-10 m 200 m 0 m]T、[40 m 200 m 0 m]T處以[0 m/s -1.2 m/s 0 m/s]T、[0 m/s -1.6 m/s 0 m/s]T、[0 m/s -1.6 m/s 0 m/s]T的速度運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)設(shè)置3個(gè)傳感器s1、s2、s2分別位于[-100 m 0 m 0 m]T、[0 m 0 m 0 m]T、[100 m 0 m 0 m]T處對(duì)這3個(gè)目標(biāo)進(jìn)行被動(dòng)觀測(cè)并跟蹤，這時(shí)3個(gè)傳感器共線，且與3個(gè)目標(biāo)共面，得到的仿真結(jié)果如圖9(a)所示，跟蹤到了一條由“鬼點(diǎn)”構(gòu)成的虛假軌跡。而當(dāng)將目標(biāo)t2的起始位置設(shè)置為[-10 m 200 m 20 m]T使得3個(gè)共線傳感器這時(shí)與3個(gè)目標(biāo)不再共面時(shí)，得到如圖9(b)所示的跟蹤結(jié)果，虛假航跡不再出現(xiàn)。該組仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)定理2所述結(jié)論起到了驗(yàn)證作用，同樣表明了提高傳感器網(wǎng)絡(luò)相對(duì)目標(biāo)團(tuán)的空間布局復(fù)雜度對(duì)“鬼點(diǎn)”的抑制作用。

圖9 三共線傳感器與目標(biāo)共面/ 異面條件下的跟蹤結(jié)果Fig.9 Result of tracking three targets using three colinear sensors coplanar/non-coplanar with targets

根據(jù)第2節(jié)對(duì)定理3和定理4的分析證明過程，二者所述結(jié)論本質(zhì)上具有一致性，可歸納統(tǒng)一于上節(jié)所述的推論3，推論3包含定理3所述結(jié)論，而定理4中“鬼點(diǎn)”存在的前提也包含在推論3所述結(jié)論之中。據(jù)此設(shè)置仿真實(shí)驗(yàn)3對(duì)該組結(jié)論進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)3不失一般性，設(shè)置3個(gè)傳感器s1、s2、s2分別位于[-100 m 0 m 0 m]T、[0 m 0 m 50 m]T、[100 m 0 m 0 m]T處對(duì)空間中3個(gè)非合作目標(biāo)進(jìn)行被動(dòng)觀測(cè)并跟蹤，3個(gè)目標(biāo)的運(yùn)行軌跡分別為

式中：t為仿真時(shí)間，t∈[0 s,100 s]。這時(shí)由于3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形式的特殊性，使得在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中射線L(s1,t1)、L(s2,t2)、L(s3,t3)始終存在著公共交點(diǎn)，導(dǎo)致最終跟蹤到一條由“鬼點(diǎn)”構(gòu)成的虛假軌跡，對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果如圖10所示，對(duì)定理3、定理4以及推論3進(jìn)行了有效驗(yàn)證。

圖10 非共線三傳感器對(duì)非合作目標(biāo)的跟蹤結(jié)果Fig.10 Tracking result of non-cooperative targets using three non-colinear sensors

同樣，通過設(shè)置6個(gè)傳感器均勻分布在半徑為80 m上的圓上對(duì)目標(biāo)群進(jìn)行被動(dòng)觀測(cè)并跟蹤，若目標(biāo)群中存在6個(gè)目標(biāo)同樣以圓形陣列(如圖11中6個(gè)目標(biāo)均勻分布在半徑為100 m的圓上)朝著傳感器方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，傳感器與6個(gè)目標(biāo)的某種“一一配對(duì)關(guān)系”所構(gòu)成的6條射線始終存在公共交點(diǎn)，使得傳感器網(wǎng)絡(luò)最終跟蹤到了如圖11所示的7條軌跡，可見其中位于中心位置的一條為由“鬼點(diǎn)”組成的虛假軌跡，該結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了推論3及定理4所述結(jié)論。

圖11 非共線六傳感器對(duì)非合作目標(biāo)的跟蹤結(jié)果Fig.11 Tracking result of non-cooperative targets using six non-colinear sensors

4 結(jié)論

針對(duì)多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤由于測(cè)量數(shù)據(jù)集的關(guān)聯(lián)不確定性帶來的“鬼點(diǎn)”問題，本文運(yùn)用集合分析方法，從幾何角度分別分析了兩傳感器、三傳感器和任意多傳感器的跟蹤場(chǎng)景下的“鬼點(diǎn)”形成條件。得到如下主要結(jié)論：

1) 當(dāng)采用兩傳感器被動(dòng)跟蹤時(shí)，目標(biāo)群須滿足目標(biāo)群中至少存在兩個(gè)目標(biāo)點(diǎn)與兩傳感器共面、與傳感器共面目標(biāo)點(diǎn)位于傳感器觀測(cè)基線同側(cè)的幾何分布條件才有可能在目標(biāo)跟蹤過程中形成“鬼點(diǎn)”，且當(dāng)目標(biāo)點(diǎn)在觀測(cè)基線上的投影距離小于基線長(zhǎng)度時(shí)，“鬼點(diǎn)”形成概率降低；

3) 對(duì)于非合作目標(biāo)(目標(biāo)的空間分布不可知，具有任意性)的被動(dòng)跟蹤，當(dāng)k≤p時(shí)，“鬼點(diǎn)”存在的可能性恒為正。

上述結(jié)論主要從幾何層面揭示了多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤過程中“鬼點(diǎn)”的形成條件，表明在求解被動(dòng)跟蹤問題時(shí)，適當(dāng)減小傳感器觀測(cè)基線長(zhǎng)度、提高傳感器網(wǎng)絡(luò)相對(duì)目標(biāo)團(tuán)的空間布局復(fù)雜度、增加傳感器數(shù)目均能起到一定的“鬼點(diǎn)”抑制作用。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)本文相關(guān)結(jié)論對(duì)跟蹤算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，或者對(duì)跟蹤網(wǎng)絡(luò)的組建和布局進(jìn)行特殊設(shè)計(jì)，盡可能給“鬼點(diǎn)”的形成創(chuàng)造不利條件，從而達(dá)到抑制和消除“鬼點(diǎn)”的目的，改善被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)的可靠性。因此，本文的研究工作對(duì)多目標(biāo)被動(dòng)跟蹤的工程應(yīng)用具有一定指導(dǎo)意義。