采用雙模壓縮態的光子糾纏光纖陀螺儀研究

張桂才，馮 菁，馬 林，馬 駿，楊 曄,2，王周祥

(1. 天津航海儀器研究所，天津 300131；2. 中國船舶航海保障技術實驗室，天津 300131)

0 引言

光纖陀螺是一種新型全固態光電慣性儀表，與傳統的基于質量體動力學效應的機械陀螺相比，具有無運動部件、高可靠、長壽命、低成本、快速啟動、動態范圍大及精度覆蓋面廣等優點，已廣泛應用于陸、海、空、天以及民用領域[1-2]。目前，國內外光纖陀螺技術的發展有兩個方向[2]，一方面是基于傳統干涉型光纖陀螺技術，面向高穩定、長航時及甚高精度的慣性測量和戰略應用領域的產品研發和綜合性能提升[3]，如法國iXblue公司已研制出實驗室精度優于1n mile/30晝夜的潛艇應用光纖陀螺慣性導航系統[4]；另一方面是新的精度提升前沿技術的探索，如Honeywell公司提出了基于光子晶體光纖的用于絕對基準的緊湊型超穩定陀螺[5-6]。

光子糾纏光纖陀螺儀由M. Fink在2019年首次提出，并獲得了突破散粒噪聲極限的實驗結果[7]。在對光子糾纏光纖陀螺儀的研究中發現，如果采用傳統光纖陀螺的單端口輸入光學結構，即使采用非經典光子源，其相位檢測靈敏度仍受散粒噪聲限制，因此提出了采用雙環行器的雙輸入/輸出的光子糾纏光纖陀螺儀，并首次證明了這種雙端口輸入/輸出結構僅對對稱輸入態才具備光路互易性。

雙模壓縮態是量子傳感和測量中常見的一種對稱非經典光量子態，其實驗制備已有大量報道[10-12]，但其在光子糾纏光纖陀螺儀中的應用特性尚未被人們充分認識[13]。A. Kolkiran對采用雙模壓縮態的Sagnac干涉儀進行了理論探討[14]，但給出的結果遠未實現海森堡極限的相位檢測精度。本文采用抽象自旋空間的角動量理論，首次對雙模壓縮態輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度潛力進行了評估，并證明了當這種對稱輸入態的光子數足夠大時，可以達到海森堡極限的相位檢測精度，而進一步分析還揭示出，二階符合計數的探測方案實際上存在量子增強相位信息的抵消，這正是A.Kolkiran的相關研究未達到海森堡極限相位檢測性能的原因。本文對光子糾纏光纖陀螺儀的光源選型和探索新的相位檢測方案具有參考意義。

1 雙模壓縮態及其特性

|in>=

(1)

可以看出，雙模壓縮態是一個對稱輸入的非經典態。

根據量子力學公式[17]

eξABe-ξA=

(2)

=a1

?

(3)

因而在海森堡圖像中，真空態的雙模壓縮算符演變為

(4)

同理有

(5)

進而還可以證明

(6)

2 雙模壓縮態輸入的Sagnac干涉儀和二階符合計數

針對雙模壓縮態輸入的量子Sagnac干涉儀需要雙輸入/雙輸出的光路特征，提出了一種采用雙環行器的光子糾纏光纖陀螺結構，如圖1所示。這種結構可以實現輸入與輸出的有效分離。在海森堡圖像中，輸入算符a1、a2經過理想Sagnac干涉儀在兩個輸出端口演變為輸出算符b1、b2，且有[14]

(7)

式中，Sij是Sagnac干涉儀的傳輸矩陣S的元素；U是與傳輸矩陣S對應的Sagnac干涉儀的演變算符。傳輸矩陣S與分束器、相移器(光纖線圈)有關，可以表示為

(8)

式中，φ為旋轉引起的Sagnac相移

(9)

式中，L、D分別為Sagnac干涉儀的光纖長度和線圈直徑；λ為輸入光波的物理波長；c為真空中的光速；Ω為旋轉角速率。

圖1 雙模壓縮態輸入的Sagnac干涉儀Fig.1 Sagnac interferometer with two-mode squeezed state input

同時，由式(7)和式(8)可以計算兩個輸出端口的輸出光強I1、I2

=sinh2r

(10)

二階符合計數I12計算為

(11)

(12)

這是采用二階符合計數探測方案的量子糾纏光纖陀螺儀的量子干涉公式。其中

(13)

也即被探測光子的糾纏特性導致一種縮短的德布羅意波長λD=λ/2，致使干涉條紋的頻率增加2倍，相位響應也即Sagnac標度因數提高了2倍。

(14)

當2sinh2r>4時，Δφ甚至比Δφshot還大，不可能實現海森堡極限的相位檢測性能，這也是在A. Kolkiran的文章中觀察到的結果[14]。因此，需要進一步分析雙模壓縮態輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度潛力。

3 采用角動量理論評估雙模壓縮態Sagnac干涉儀相位靈敏度

3.1 輸入態的角動量表征

輸入角動量Jx-in、Jy-in、Jz-in定義為[19]

(15)

用輸出湮滅算符b1、b2代替輸入湮滅算符a1、a2，可以定義輸出角動量Jx-out、Jy-out、Jz-out。

對于理想的Sagnac干涉儀，任何輸入態|in>都是總光子數算符N的本征態|n1n2>

N|in>=(n1+n2)|n1n2>

(16)

總光子數算符N、角動量分量算符Jz(本征值為m)與角動量平方算符J2(本征值為j(j+1))對易，說明輸入態是它們的共同本征態。角動量表征的輸入態|j,m>與光子數態表征的輸入態|n1n2>的關系有

(17)

(18)

3.2 Sagnac干涉儀的角動量演變模型

實際上，任何一個雙輸入/雙輸出端口的無損耗無源線性量子光學器件都可以描述為在抽象自旋空間的旋轉[21-22]。假定Sagnac干涉儀的分束器是分光比50∶50的理想分束器，對于Sagnac干涉儀來說，第一個分束器等效于使輸入角動量繞x軸按逆時針旋轉了角度π/2；相移器(光纖線圈)等效于使輸入角動量繞z軸按順時針旋轉了角度φ；第二個分束器等效于使輸入角動量繞x軸按順時針旋轉了角度π/2。圖2作為一個簡單例子，描述了抽象自旋空間中光子數態|n0>通過Sagnac干涉儀的演變。雙模壓縮態的輸入角動量圖示具有較復雜的形態，但通過Sagnac干涉儀的演變過程不變。

(a)輸入態|n0>

Sagnac干涉儀的角動量矩陣變換可以表示為

(19)

可以看出，y向的角動量Jy不變，Sagnac干涉儀相當于一個繞y軸的角動量旋轉變換。

3.3 雙模壓縮態輸入的相位靈敏度潛力

Jz-out=-sinφ·Jx-in+cosφ·Jz-in

(20)

得到

sinφcosφ·<00|S?(r)(Jx-inJz-in+

Jz-inJx-in)S(r)|00>

(21)

其中

<00|S?(r)(Jx-inJz-in+Jz-inJx-in)S(r)|00>=0

(22)

(23)

由輸入角動量的定義，得到

sinh2rcosh6r+7sinh4rcosh4r+sinh6rcosh2r

(24)

=sinh2rcosh2r

(25)

式(23)中其他各項均為0。

由式(18)，在小角速率檢測也即φ=0時，相位檢測靈敏度(相位不確定性)有

(26)

sinh2r=N/2

(27)

代入式(26)，因而有

(28)

4 二階符合計數中的量子增強信息抵消

下面分析式(14)的二階符合相位檢測精度未達到海森堡極限的原因。由式(1)可以看出，雙模壓縮態是光子數態|nn>的疊加，其輸出的形態非常復雜。這里以光子數態|22>為例,探討雙模壓縮態輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的二階符合計數中量子增強信息的抵消。對于光子數態|22>，經過Sagnac干涉儀后的輸出態為

(29)

可以看出，干涉儀兩個輸出端口的輸出態共有5個可能的光子數態：|40>、|04>、|31>、|13>、|22>，每個輸出態具有各自的生成概率。|40>、|04>態的概率振幅中含有2φ和4φ相位信息，|31>、|13>中僅含4φ信息，|22>輸出態也同時含有2φ和4φ相位信息。但是， |22>輸入態的二階符合計數(二階相關光強)卻不含4φ信息

(30)

(31)

下標“12-o”表示其中一個探測器接收端光子數為奇數(odd)的光子數態|31>、|13>的二階符合計數對4φ信息的貢獻，式(31)已接近海森堡極限的相位靈敏度。

(a)其中一個輸出端光子數為奇數的輸出態的二階符合計數

以上分析表明，在雙模壓縮態光子糾纏光纖陀螺中，采用二階符合計數探測方案，實際上存在量子增強信息的抵消，導致相位檢測靈敏度無法達到海森堡極限。因此，對于雙模壓縮態輸入光子糾纏光纖陀螺儀，盡管其相位檢測靈敏度潛力為海森堡極限，但探測方案應盡可能提取完整的量子增強信息，才能實現海森堡極限的相位檢測靈敏度。

5 結論

本文對采用雙模壓縮態輸入的光子糾纏光纖陀螺儀進行了研究：

1)針對雙模壓縮態輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的雙輸入/雙輸出特征，提出了一種采用雙環行器的Sagnac干涉儀的光路結構，推導了二階符合計數探測方案的量子干涉公式，發現二階符合計數遠未達到海森堡極限的相位檢測性能。

2)采用四階角動量理論首次分析了雙模壓縮態輸入的光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度潛力，證明當光子數足夠大時，可以實現海森堡極限。

3)針對雙模壓縮態光子糾纏光纖陀螺儀的二階符合探測方案僅能實現超相位分辨率(干涉條紋加倍)而未能實現超相位靈敏度(達到海森堡極限)的情況，通過考察光子數態|22>經過Sagnac干涉儀后各個輸出態分量的二階符合計數特征，發現二階符合計數探測方案存在量子增強信息的抵消，也即在其中一個探測器接收端光子數為偶數的輸出態和光子數為奇數的輸出態的二階符合計數形成互補的倍頻干涉條紋，進而相互抵消。

因此，本文認為，需要精心設計探測方案，提取完整的量子增強信息，才能在雙模壓縮態光子糾纏光纖陀螺儀中實現海森堡極限的相位檢測精度。