基于T-S模糊模型的非線性分布參數系統極點配置P-sD控制

黨愛然，欒秀春，孫賀濤，王俊玲，周 杰，楊志達

(1. 哈爾濱工程大學黑龍江省核動力裝置性能與設備重點實驗室，哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學核安全與先進核能技術工信部重點實驗室，哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學核安全與仿真技術國防重點學科實驗室，哈爾濱 150001)

0 引言

分布參數系統是一種由偏微分方程、泛函微分方程及偏微分-積分方程等多種形式組成的系統，在物理學中，很多現象都是用偏微分方程來描述的，這些現象的控制問題也具有很強的現實背景。分布參數系統廣泛應用于熱工、導彈、航空及核裂變等工程系統，并且分布參數系統的穩定性對于設計控制器也起到至關重要的影響。另一方面，由于非線性問題在實際工程中普遍存在，國際上對非線性系統的控制設計問題進行了大量的探討。其中，模糊控制技術，尤其是Takagi-Sugeno(T-S)模糊控制技術在非線性系統的分析和解決綜合問題時得到了廣泛應用，因為這種控制技術具有同時兼顧模糊邏輯理論和線性系統理論的優點。

在國際上，有關非線性分布參數系統的穩定性分析和控制器設計方面成果頗豐，可是已有的一些方法在某些情況下仍然存在問題,有待進一步改進與創新。采用T-S模糊模型描述非線性分布參數系統，并以此為基礎設計P-sD狀態控制器是一種較為新穎的設計方式，此種方式既有較強的創新性，又能同時兼顧系統的穩定性，在實際設計中有著較強的實際意義。

分布參數系統的穩定性對于設計控制器非常重要，各國學者在此方面做了很多研究。文獻[1]研究了非線性分布參數系統在平衡狀態時的局部指數穩定；文獻[2]針對具有特定邊界條件的非線性分布參數系統的穩定性進行了證明；文獻[3]對分布參數系統設計了反饋控制器，并驗證了引入控制器后整個系統的穩定性；文獻[4]不僅證明了分布參數系統的穩定性，同時證明了分布參數系統的能控能觀性；文獻[5]基于魯棒性，針對非線性分布參數系統設計了觀測器；文獻[6]研究了非線性分布系統的漸進穩定性和同步性，提出了一個新分布引理，并給定了幾個充分條件和數值算例，以證明該分布模型的漸進穩定性和同步性。在文獻[7-9]中均提出了將分布參數系統視為無窮維系統的思想，即將算子與狀態函數視為無窮維矩陣與向量，文獻[10]還依據這樣的思想來證明分布參數系統的能控性與穩定性。將分布參數系統視為無窮維系統的思想可以將分布參數系統與集中參數系統進行類比，文獻[11]中采用Lyapunov方法來證明系統的穩定性。

在系統穩定性分析方面，降階建模是一種十分有效的手段，國內外學者在降階建模基礎上的研究與創新成果頗豐。在驗證系統穩定性方面，線性分布參數系統相比非線性分布參數系統更加容易驗證，所以文獻[7-8]中提出了將非線性分布參數系統降階建模的理念。文獻[12]提出了一種新的低階時空最小二乘支持向量機方法對非線性分布新系統進行建模，并提出了一種基于核空間的空間相關分析方法；文獻[13]針對具有馬爾可夫跳變執行器故障的非線性分布參數系統的事件觸發有限時間可靠控制問題，提出了采用T-S模糊模型描述所考慮的非線性分布系統，采用一種新的事件觸發策略調節采樣數據的傳輸瞬間，并通過仿真研究驗證了該方法有效性；文獻[14]利用采樣數據模糊控制方法，研究了一類非線性拋物型偏微分方程系統的指數穩定問題，通過對擴散方程和FHN方程的控制進行仿真，驗證了提出設計方法的有效性；文獻[15]提出了一種非線性度量方法，以量化分布系統的非線性嚴重程度；文獻[16]回顧、討論和比較了非線性測度的定義和計算方法，討論了混合系統和由耦合微分、積分和代數方程描述的非線性測度的擴展。針對參數未知以及存在時滯的分布參數系統，通常采用參數辨識以及智能控制的方法進行設計。文獻[17]提出了針對參數未知的分布參數系統進行狀態估計；文獻[18]采用迭代學習控制，針對系統參數變化的分布參數系統進行設計；文獻[19]采用學習算法解決非線性分布參數系統的跟蹤控制問題；文獻[20]在參數未知的非線性分布參數系統中引入了神經網絡的方法進行控制；文獻[21]討論了分布參數系統中參數辨識的一般問題，提出了一種基于量子引導跟隨的變異策略優化算法作為優化策略；文獻[22]研究了具有時滯的分布參數模型多智能體系統的一致性控制問題，提出了一種分布式P型迭代學習控制方法；文獻[23]研究了線性不穩定分布參數系統的異常時空源檢測與估計問題，基于空間域分解方法進行理論分析，并設計了相應的自適應控制；文獻[24]研究了參數未知并且不確定分布的分布參數系統的跟蹤控制問題；文獻[25]針對非線性分布參數系統設計了魯棒神經網絡自適應控制器，采用智能控制方法中的神經網絡，既滿足了非線性分布參數系統的穩定性，又實現了參數不確定系統的自適應控制；文獻[26]提出了當分布參數系統中輸入是有限維的情況下，模糊控制仍然可以實現設計要求。

分布參數系統建模廣泛應用于各類工程系統的設計與分析中。在現實的工程問題當中，分布參數系統十分普遍，在涉及傳熱以及振動等現象時，往往采用分布參數系統進行建模。因此，證明系統的穩定性和面臨非線性以及參數未知等情況下的降階建模及設計相應的控制器是十分重要的。文獻[27]就核電站中蒸汽發生器的傳熱過程進行了分布參數建模，并以此為基礎設計了符合需求的控制器；文獻[28]就太陽能發電以及發熱系統進行了分布參數系統建模，并對其中環節進行了參數調節方式的分析，以從中尋求降低成本與提高效率的方法。

本文從分布參數系統的穩定性著手，將非線性分布參數系統中的非線性項用T-S模糊方法建模，并根據此模型設計狀態反饋控制。由于分布參數系統中存在空間一階微分項與二階微分項，在運用Lyapu-nov方法證明穩定性的過程中，Lyapunov函數的微分中將出現常數項與積分項。針對積分項，采用狀態反饋的方法進行控制，根據配置空間極點函數來設計狀態反饋，非線性分布參數系統中的非線性項采用文獻[11]中的T-S模糊建模方法，以確保設計過程的順利進行。T-S模糊建模將非線性項表達成在不同時刻線性項的組合形式，對分布參數系統的參數時空分離進行了討論，在文獻[29]中，有時空分離的方法能夠提高建模精度的論述，在本文中引入的T-S模糊建模方法和原本的非線性分布參數系統是相同的。針對常數項，引入狀態變量的空間一階微分項，通過狀態變量的邊界條件進行計算，以抵消Lyapunov函數的微分中的常數項，文獻[30]也提出了通過邊界條件實現控制分布參數系統。這樣引入狀態反饋以及狀態變量空間一階微分項的控制方法，在文獻[11]中被稱為P-sD狀態控制。與現有的P-sD狀態反饋相比，通過考慮邊界條件來消除影響，增強了極點配置對于性能的調節作用。

1 分布參數系統的穩定性

對于線性分布參數系統系統

A(x)Y(x,t)+B(x)U(x,t)

(1)

采用Lyapunov直接法討論系統的穩定性。式中，Y(x,t)=[y1(x,t)y2(x,t) …yn(x,t)]T，x∈[l1,l2]，y1…n(x,t)是閉區間[l1,l2]上的連續函數；Θ1(x)、Θ2(x)和A(x)是連續n×n矩陣函數；B(x)是連續n×1矩陣函數。

考慮Lyapunov函數

(2)

(3)

將式(1)代入式(3)中，得

B(x)U(x,t))dx

式中，積分項中分為四部分，其中包含空間二次微分項的第一部分采用分部積分法進行處理

(4)

式中

(5)

(6)

將式(6)代入到式(4)中，得

(7)

包含空間一次偏導項的第二部分仍然采用分部積分法進行處理

(8)

(9)

將式(7)與式(9)代入得

(10)

(a)

(b)

Y(x,t)dx

(c)

(d)

1)矩陣函數Θ1(x)為對稱矩陣，且Θ1(x)>0；

2)矩陣函數Θ2(x)為對稱矩陣；

3)矩陣函數P(x)=I(x)，在此處是為了簡便推導過程，其實矩陣函數P(x)為對稱矩陣，且P(x)>0，則接下來的推導過程也成立。在這里，即使將P(x)選取為對角矩陣也不會增強結論的保守性。

2 控制器設計

設計合適的控制器保證系統的穩定性。根據式(10)中不同部分，采用對應的方法設計控制器。

2.1 極點配置

U1(x,t)=K(x)Y(x,t)

式中，K(x)為1×n維連續矩陣函數。

通過調節矩陣函數K(x)，可以使F(x)+B(x)K(x)的特征函數λ(x)為指定的空間函數，滿足系統的穩定性與符合性能要求。

2.2 P-sD狀態反饋

式(10)中可以根據邊界條件求出確切數值的部分，正負是不確定的。針對這部分采取的方法是在輸入中引入狀態變量的空間微分項，使這一部分的數值變為0，從而對整個系統的穩定性沒有影響。

式中，L為1×n維實數矩陣，由此可得

在這里，B(x)L=LTBT(x)。所以

通過設計實數矩陣L，使

那么，引入設計好的控制器，輸入U(x,t)為

這是一種設計P-sD狀態反饋控制的新思路。

3 T-S模糊模型

非線性分布參數系統中的非線性項表示為f(x,Y(x,t))，則非線性分布參數系統表示為

根據最大值與最小值，ξ(x,t)可以表達為

ξ(x,t)=h1(ξ(x,t))m1+h2(ξ(x,t))m2

式中，h1(ξ(x,t))，h2(ξ(x,t))∈[0,1]，且h1(ξ(x,t))+h2(ξ(x,t))=1。

隸屬度函數如圖1所示。定義模糊集為“大”與“小”，那么非線性分布參數系統由如下規則的T-S模糊模型描述：

如果ξ(x,t)屬于“小”，則

A(x)Y(x,t)+m1Y(x,t)+B(x)U(x,t)

如果ξ(x,t)屬于“大”，則

A(x)Y(x,t)+m2Y(x,t)+B(x)U(x,t)

那么，非線性分布參數系統表示為

圖1 隸屬度函數Fig.1 Membership function

4 系統仿真結果及分析

對如下具有兩個不同邊界條件的具體的非線性分布參數系統設計控制器并進行仿真。控制器設計步驟為:

4.1 具有第一類邊界條件非線性分布參數系統

受約束與一類邊界條件，x∈[0,π]，t≥0，y1(0,t)=0，y1(π,t)=1，y2(0,t)=0，y2(π,t)=1，初始條件，y1(x,t0)=sin(0.5x)，y2(x,t0)=sin(0.5x)。

模糊T-S模型為

由此可以計算

設置極點為-1±i，則

y1(x,t))mi)-1]

此時

令y1(x,t∞)=x/π，仿真結果如圖2所示。

圖2 y1(x,t)演化圖形Fig.2 Evolution diagram of y1(x,t)

4.2 具有第二類邊界條件非線性分布參數系統

根據此方法設計狀態變量具有二類邊界條件的分布參數系統

該系統模糊T-S模型為

根據式(10)，該系統是不穩定的，無控制器時，y1(x,t)的變化如圖3所示。為滿足系統的穩定性，按步驟設計控制器為

圖3 無控制器y1(x,t)演化圖形Fig.3 y1(x,t) evolution diagram without controller

引入控制器后，y1(x,t)的變化如圖4所示。

圖4 引入控制器后y1(x,t)演化圖形Fig.4 y1(x,t) evolution diagram with controller

4.3 非線性分布參數系統實例與方針

在核反應堆領域中，與反應堆功率相關的中子擴散方程如下

邊界條件為z∈[0,1]；t≥0；Nr(0,t)=0；Nr(1,t)=0。采用Lyapunov方法判斷該系統的穩定性

Nr(z,t))+f(Nr)ρr(z,t))+

Cr(z,t)(λ(Nr(z,t)-Cr(z,t)))+

ρr(z,t)(GVr(z,t))dt

經整理推導

ρr(z,t)(GVr(z,t))dt

此時系統的穩定性是無法確定的，為保證系統穩定，設置期望極點為[-1+i-1-i-300]，設計控制器為

Vr(z,t)=

令反應堆功率階躍提高10%的仿真結果如圖5和圖6所示。

圖5 加入極點配置后功率演化圖形Fig.5 Relative power evolution after adding pole assignment

圖6 未加入極點配置功率演化圖形Fig.6 Relative power evolution without adding pole assignment

通過對比加入節點配置前后的反應堆相對功率演化圖形可以看出，加入極點配置后的堆內相對功率分布響應快速，而未加入極點配置的堆內相對功率超調過大。

5 結論

分析Lyapunov函數時間微分項，并以此根據極點配置的方法設計狀態反饋，其中對于極點配置無指導作用的部分有兩項，分別為常數項以及分布參數系統中的非線性項。針對常數項的處理方法為引入狀態變量的空間一次微分項進行抵消；針對分布參數系統中的非線性項采用T-S模糊模型進行表達。根據此思路設計的P-sD狀態控制器應用于兩個非線性分布參數系統數學模型的仿真結果可以得到如下結論：

1)P-sD狀態控制器可以使分布參數系統穩定；

2)采用T-S模糊模型可以精確描述非線性分布參數系統。

此控制器設計方法就是基于Lyapunov穩定性推導而來，那么設計的控制器一定可以保證分布參數系統的穩定，對于非穩定的分布參數系統，該控制器表現出良好的性能。在仿真過程中，當隸屬度函數如圖1所示時，非線性模糊T-S模型與原非線性分布參數系統在任何狀態都是相同的。因此，以非線性模糊T-S模型為參考設計的P-sD狀態控制應用于原非線性分布參數系統不會帶來模型化簡所引起的偏差。