從洛書到幻方

張影

什么是幻方

幻方是把從1到n²的自然數排成的行列的正方形數表，其每行、每列、每條對角線上的數之和都相等，這個“和”稱為幻常數，幻常數等于n（n²+1）／2?。圖1 是一個三階幻方，即n等于3，n²等于9，幻常數n（n²+1）／2等于15。

已知三階幻方有8 組，四階幻方有880組（1693年數據），五階幻方有275305224 組（1973 年數據），更高階幻方的組數至今還無法確定。

圖2：洛書示意圖

洛書的傳說與縱橫圖

世界上最早的幻方出現在中國。相傳，上古時期，洛河中浮出神龜，背馱洛書，獻給大禹。大禹因此治水成功，劃天下為九州，制定九章大法，治理國家。在長期的歷史發展中，洛書演化為中國文化的代表符號之一，并被賦予多種解釋。1977 年，阜陽西漢汝陰侯墓（位于安徽省阜陽市）出土的太乙九宮占盤，為洛書提供了考古實物證據。

圖2 是洛書的示意圖。在數學上，洛書剛好是三階幻方，按現代書寫順序，正是圖1。

幻方在中國古代被稱為“縱橫圖”。南宋數學家楊輝的著作《續古摘奇算法》中記錄了從三階直到九階幻方，連同十階的半幻方（ 不滿足對角線條件），分別稱為四四圖、五五圖、六六圖、衍數圖、易數圖、九九圖、百子圖，還給出了三階、四階幻方構造方法的說明。楊輝還研究了幻方的6 種變形。圖3 是楊輝構造的四階幻方。

幻方在現代科學技術中也有廣泛的應用，例如：它的構造原理與飛機的電子回路設置密切相關，研究人員創造的64 階方陣儀可以用于計算機、測量儀、通信交換機及水電、火電、航空等的管理系統。

南宋數學家楊輝的著作《續古摘奇算法》

一般三階幻方的規律

作為推廣，一般允許構成幻方的數字為任意實數，也不要求這些數不同。完成一般三階幻方填充，常常變身為小學奧數練習題目。其實，如果知道規律，解答這類題目易如反掌。

規律1：一般三階幻方的幻常數等于中心數的3 倍。即如圖4 所示，設一般三階幻方的9 個數字分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i，幻常數為x，e就是中心數，3e=x 。

規律2：一般三階幻方的一個角頂數的二倍等于緊鄰對角頂的兩數之和。即2a=f+h，2c=d+h，2g=b+f，2i=b+d。

圖4

知識拓展 幻方的傳播與文化影響

幻方的思想從中國傳播到日本、朝鮮、印度、泰國，后又陸續傳至阿拉伯世界、歐洲和美洲，受到世界各地人們的喜愛，常被做成平安符、幸運符等裝飾物。

金庸的武俠小說《射雕英雄傳》設置了黃蓉在桃花島回答幻方問題的情節：

黃蓉笑道：“不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇。就說四四圖罷，以十六字依次作四行排列，先以四角對換，一換十六，四換十三，后以內四角對換，六換十一，七換十。這般橫直上下斜角相加，皆是三十四。”

黃蓉的這段話說的正是前文所述楊輝的三階幻方作法和四階幻方作法（ 圖3）。

2014年，中華人民共和國澳門特別行政區發行的幻方郵票第一組6張，其中展示了特殊的幻方、構造方法、變種等多方面內容（圖片來源/ 維基百科）

文藝復興時期德國畫家丟勒（Albrecht Dürer）1514年創作的著名銅版畫《憂郁I》。畫面右上角是一個四階幻方，底行中間的兩個數字暗示了創作年份（圖片來源/ 維基百科）

圖5：一般三階幻方的ACE 公式

規律3：一般三階幻方由某3個位置的數完全決定。比如，任意確定的a，c，e值，就能完成三階幻方的填充，而且填充方式只有一種（ 如圖5）。我們把這組填充公式稱為一般三階幻方的ACE 公式。

讀者可以嘗試自己找出一般四階幻方的公式，這是解一個16元一次方程組的問題。

新想法——面積三階幻方

幻方研究專家將一般三級幻方“更新升級”，用兩條橫斜直線和兩條豎斜直線，把正方形分成9 個四邊形，就得到面積三階幻方，如圖6。類似的有面積四階幻方。這是幻方研究的新想法。

筆者特別設計了一個面積三階幻方（ 見圖7），第一行的面積數值剛好是《知識就是力量》本期數學特集發行的年份和月份。

在文章的最后，筆者留給讀者們一個挑戰問題：用互不相同的平方數構造一個三階幻方。這是從瑞士大數學家歐拉（L.Euler，1707—1783 年）開始，至今仍未解決的問題。也許本文的讀者里面就有將來解決這個難題的人！

（責任編輯 / 高琳 美術編輯 / 周游）

圖6：面積三階幻方（圖片來源/ 維基百科）

?《知識就是力量》本期數學特集發行的年份和月份

圖7