蜘蛛網里的奇妙數學

鄧晶

蜘蛛網里的數學概念

蜘蛛結的“ 八卦”網，既復雜又美麗，即使工匠用直尺和圓規也難畫得如此勻稱。出現在蜘蛛網上的數學概念更是驚人——弦、平行線段、三角形、相似三角形、對數螺線等等。

蜘蛛網里的坐標系

傳說法國數學家笛卡爾從蜘蛛結網中獲得靈感，發明了坐標系。笛卡爾希望用幾何圖形來表示代數方程，但幾何圖形是直觀的，代數方程是抽象的，要如何將二者聯系起來呢？當他看到蜘蛛在墻角結網時，豁然開朗：可以用兩面墻和天花板之間的交線，來確定蜘蛛的位置，于是直角坐標系應運而生。

這則故事的真實性有待考證，但是我們確實可以用蜘蛛結網來理解坐標系。

直角坐標系與蜘蛛

蜘蛛網里的對數螺線

如果我們仔細觀察蜘蛛結網的過程不難發現，在構建完蜘蛛網基礎框架后，蜘蛛會從最外圈盤旋著向中心結網，構成一條螺線，而這種螺線被數學家稱為對數螺線。

對數螺線有兩個明顯的特點：一是，對數螺線曲線上任意一點和中心的連線與該點的切線所形成的角是一個定角，所以對數螺線又叫等角螺線；二是，對數螺線具有相似性，無論你把它放大或縮小都不會改變它的形狀。

對數螺線永遠向著中心繞，而且越繞越靠近中心，但似乎又永遠不能到達中心，而且距離呈有規律的分布。即使用最精密的儀器，我們也看不到一根完全的對數螺線。這種圖形只存在科學家的假想中，可令人驚訝的是小小的蜘蛛也知道這條線，它織出的網就是對數螺線。……