深挖折疊問題本源 發展核心素養潛能
——以一道中考試題為例

昆明市第三中學 李加祿

折疊問題歷年來都是中考的熱點問題，具有知識覆蓋面廣、綜合性強的特點，常常受到命題者的青睞，可以說是中考幾何壓軸題的常青樹.筆者通過對2021年廣東省中考數學第23題的多解探究，嘗試用以題會類、觸類旁通等方式，探尋解決此類問題的通性通法，以期達到“觀一木而見森林”的效果，激發學生學習數學的興趣，提升數學學科核心素養.

一、試題呈現

題目：（2021年廣東省）如圖1，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交于點G，求CG的長.

圖1

二、試題解讀

本題以正方形和三角形為背景，以折疊問題為載體，綜合考查了初中階段“數與代數”“圖形與幾何”的核心知識:正方形的幾何性質、等腰直角三角形性質及軸對稱的性質，如解方程（組）、一次函數、銳角三角函數、勾股定理、相似（全等）三角形和圓等.試題圖形簡潔、立意高妙、內涵豐富、梯度合適、解法多元，注重數學思想方法的應用，涉及方程思想、數形結合思想、化歸思想等數學思想方法.可以說此題將基本知識、基本思想方法、基本技能進行了高度融合，凸顯了邏輯推理、數學運算、直觀想象和數學建模等核心素養.

三、思路探究

思路1：見平行，覓“X”型構相似.

圖2

由解法1可以看出，欲求CG的長需要找到與之相關聯的結構（線段或三角形），于是我們考慮將CG放到已知的△BCG或△CGM中，以及線段AC上.因正方形對邊平行，于是構造基本圖形“X”型相似，延長AD交BF的延長線于點N，進而求出AN的長，再通過構建方程運用勾股定理求解，使問題迎刃而解.

思路2：見共邊共角（或等角），覓“母子”型構相似.

圖3

考慮到題目中出現∠BFE=∠BAE=90°，于是將FE和BA延長相交于點N，構造常見的“母子”型相似，借助相似比為，設未知數進行轉化，通過在Rt△ANE中構建勾股定理列方程求解.這種解法較好地考查了學生關聯和重構基本知識的能力及數學建模的素養.

思路3：見直角，覓“一線三垂直”構“K”型相似.

圖4

當題目出現的特殊角是直角時，我們通常作兩條垂線構造“一線三直角”全等或相似來解決問題.如解法3通過點F構造“一線三直角”，易證△EMF∽△FNB，可求得線段之間的數量關系，再利用勾股定理求出MF，進而求得最終解決問題.

思路4：見共點等線段，覓旋轉變換構全等.

圖5

當題干中有共端點等線段條件時，我們可以考慮旋轉構造全等圖形，特別是等腰三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、正方形內有一點時，可將思考的落腳點放在圖形的旋轉上.通過圖形旋轉變換，我們將題目中分散的條件集中在某個特殊圖形中或實現邊與角的轉移，從而尋求解題思路.

思路5：見角平分線，覓平行構等腰三角形.

圖6

解法5考慮到折疊問題有角平分線，于是我們可以嘗試過角平分線上的點作某一邊的平行線，構造等腰三角形，使分散的條件集中，讓已知的邊、角關系更具體化，解法自然生成.當然，只有學生對幾何模型具有較強的洞察力和邏輯推理的素養，才能使問題得解.

思路6：以“數”解“形”，構建坐標系求解.

圖7

如解法6，當題目圖形滿足某些特殊位置關系時，如本題中AB⊥AD，我們可利用幾何圖形的特殊性質建立平面直角坐標系，將幾何問題代數化，圖形性質坐標化，以“數”解“形”，以“形”助“數”，數形結合，用解析法求解，使解題思路更加直觀簡潔，優化了計算過程.

思路7：見直角，覓圓周角構輔助圓.

解法7:如圖8，延長BF交CD于點M，作△BCM的外接⊙O，連接EM，EO，易知EO為梯形DABM的中位線，EO∥AB，于是EO⊥AD，則AD為⊙O的切線，點E在⊙O上，故∠MEB=90°，易證△EMF∽△BEF，則EF2=MF·BF，得.在Rt△BCM中下面解題過程同解法1，不再贅述.

圖8

對于對綜合性、隱蔽性較強的平面幾何問題，若我們能根據題目條件的本質特征，如解法7中∠BCM為直角，聯想到圓的有關知識，恰當地構造輔助圓，利用圓的相關性質求解，往往可以化難為易，化隱為顯，找到解題的新思路，使得求解之路變得“圓”來如此簡單.誠然，這種解法要求學生具有較強的探索能力和敏銳的觀察力，這里有無限風光在險峰之感.

思路8：利用二倍角正切函數求解.

圖9

解法8利用二倍角公式，直接體現三角形邊、角之間的轉化關系.雖然這種解法在初中階段不作要求，但是對于學有余力的學生而言，可以作為一種方法的補充，有利于拓寬思維.

四、解題反思

1.關注核心條件，強化建模思想

本題的多樣解法都可歸功于“折疊問題”中的核心條件，從而展開豐富的聯想，構造幾何模型解題.正如美國著名數學教育家G·波利亞有過一個比喻:“一個好的數學問題和某種蘑菇有些相像，他們都是成堆地生長的，找到一個以后，你應該在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”本題中的解法1和2聚焦條件中的“翻折+平行”，聯想構造“X”型和“母子”型相似模型求解；解法3和7聚焦于條件中的“∠BFE=90°”，聯想構造“K”型相似和輔助圓模型求解；解法4聚焦于條件中的“正方形”，聯想構造旋轉變換，利用全等三角形求解；解法5聚焦于條件中的“角平分線”，聯想構造等腰三角形求解；解法6聚焦于條件中的“軸對稱”，聯想構建直角坐標系求解.因此，日常教學中教師應強化學生數學建模意識，提煉數學模型，總結一些重要的基本模型，讓其學會把陌生的、復雜的問題化歸為熟悉的、簡單的問題，提高學生的解題能力和學習興趣，這也正是培養學生數學學科核心素養的關鍵所在.

2.關注通性通法，提升核心素養

章建躍博士指出:在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的數學基本性質，“通法”就是概念所蘊含的思想方法.注重基礎知識及其蘊含的數學思想方法，才是追求數學教學的“長期利益”.如本題的8種解法都可歸結為求線段CM長或tan∠CBF的值，找到了問題的通性，通法自然也就實現了.教師要引導學生從不同的角度挖掘題目條件，提升綜合配置各種知識信息的能力，產生多種解題思路，嘗試一題多解和多解歸一，提煉通性通法，從而提高解題素養.正如德國教育家第斯多惠所說:“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞.”數學解題教學不應該是“授人以魚”式的解題，而是教會學生探究解題本源的“漁趣”.教師只有不斷深入挖掘題目里蘊含的數學思想和數學方法，盡可能地實現通性通法，提高學生的思維品質和創造性解決問題的能力，才能提升學生的數學素養.