基于“一題一課”的中考探究式復習課的實踐研究

摘要：“雙減”背景下，高效課堂以提升學生核心素養為抓手，在“發揮學生主體作用，教師從課堂主導者轉變為引導者，教學從知識的灌輸轉向思維的啟發”新課改理念的啟發下，探究式教學成為中考復習課“減負提質”的有效教學方法.通過深挖一道題目，以一題串連知識點，引導學生進行自主探究、發散性學習.本文中以中考復習課“二次函數為基架的角度問題”為例，進行探究式教學實踐研究.

關鍵詞：一題一課；減負提質；核心素養；二次函數

《義務教育數學課程標準（2022版）》中提出“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界，通過學科實踐實現其獨特育人價值”［1］.在課標的引領下，在“雙減”的時代背景下，如何將中考復習課上得更有效率、更有趣味，從而更好地幫助學生深入理解知識點，值得深入思考.

探究式教學法由美國實用主義學者杜威提出，在具體教學操作層面可分為五個步驟：創設情境、產生問題、自主探究、得出結論、當堂訓練.中考復習課應以發展學生的學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，通過問題驅動，啟發學生思考，探尋事物的變化規律，引導學生把握數學內容的本質，讓“課堂思考”成為提升學生學力的有效途徑，讓“減負提質”真正地落地生根.筆者以一節“二次函數為基架的角度問題”的中考復習課為例，將本節課主要過程呈現如下，與讀者交流.

1 教學過程

1.1 環節一：溫故知新

師：同學們，我們在初中階段學過哪些判定兩個角度相等的辦法呢？

生1：借助三角形的全等和相似.

生2：借助尺規作圖.

生3：度量法.

1.2 環節二：自主探究

在復習回顧的基礎上，讓學生做如下探究.

問題展示：如圖1所示，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（6，0），試探究∠ACO和∠BCD的數量關系.你能用哪些方法說明？

生1：如圖2所示，構造直角三角形，利用三角函數求解.

生2：如圖3所示，構造一線三垂直模型，即K字模型.

設計意圖：從簡單問題入手，引導學生思考判定兩角相等的常見方法，為后面學生自主探究作鋪墊.

1.3 環節三：類比探究

如圖4所示，我們引入一條過A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三點的拋物線，你能將剛才的問題與這條拋物線結合起來嗎？請結合拋物線設計一個問題并給出解答過程.請同學們小組內進行討論.

問題1：在直線BC下方拋物線上尋找一點P，使得∠ACO=∠BCP.

問題2：在拋物線上尋找一點P，使得∠ACO+∠BCP=90°.

問題3：在拋物線上尋找一點P，使得∠BCP=2∠ACO.

師：我們先來解決問題1.

生1：如圖5所示，假設在直線BC的下方拋物線上存在一點P，使得∠ACO=∠BCP.過點B作 BE⊥CB交CP的延長線于點E，過點E作EH⊥x軸，易得△AOC∽△EBC，則AOCO=BECB=13.通過“K型”相似得△OCB∽△HBE，所以CBBE=OCBH=OBHE=3，求得BH=1，HE=1，由此可得E（4，-1），求出直線CE的解析式，聯立二次函數解析式求解P1.（解法2：亦可通過kBE·kBc=－1求得BE的解析式.）

師：若取消“在直線BC的下方”這個條件，那么還有其他情況嗎？

生2：如圖6所示，將點E關于直線CB對稱得M（2，1），同理可以求出直線CM的解析式，聯立二次函數解析式求解P2.

生3：如圖7所示，在求M坐標時，亦可以通過構造“K型”相似，求出點M的坐標.

生4：如圖8所示，利用∠ABC=45°構造等腰直角三角形，設CP2與x軸的交點為G，過點G作GR⊥CB于R.設GR=BR=x，所以CR=32－x.因為∠ACO=∠P2CB，得△ACO∽△GCR，所以AOOC=GRCR.由此解得x=324，故GB=32，易得G（32，0），求CG的解析式，聯立拋物線方程求解.

生5：如圖9所示，過點G作GM⊥P2C交CB于點M，作MH⊥x軸，通過構造“K型”相似求出點G的坐標.

設計意圖：通過小組討論得出結果，體現了課堂教學中生生互動的環節，在學生思維碰撞的過程中得出了“一題多解”的巧妙方法，在課堂展示思路環節過程中啟發學生思維，真正實現了把課堂還給學生，學生成為課堂的主導.

師：關于問題2的求解.

生1：如圖10所示，過點B作BQ⊥CB交CP的延長線于點Q，

過Q作QH⊥x軸，易得∠BCP=∠OAC，

故△ACO∽△CQB，得AOCO=CBBQ=13.由“K型”相似得

△OCB∽△HBQ，所以COBH=OBHQ=CBBQ=13，得Q（12，－9）.求出直線CQ的解析式，聯立方程求解.除此之外，利用對稱性求點E的坐標，聯立拋物線方程可以發現直線和拋物線相切，即點P與點C重合.

生2：如圖11所示，利用45°構造“K形”全等模型.過點A作AG⊥CP交PC的延長線于點G，過點C作CQ⊥GQ，過點G作GH⊥x軸，因為∠ACO+∠BCP=90°，所以∠ACG=45°，易得△AHG≌△GQC，求得點G的坐標，求出CP的解析式，聯立拋物線方程求解.

教師總結：不管是利用三角函數還是相似三角形都是把角和邊聯系在一起，得到一些點和線的關系.希望學生在以后的學習過程中可以做到“經一題，解一題，題題皆寶藏；遇一題，化一題，題題是故人”.

生1：如圖5所示，由AOCO=BECB=13，可以求出BC，BE的長度，由此可得E（4，-1），求出直線CE的解析式，聯立方程求解.

師：若取消“在直線BC的下方”這個條件，那么還有其他情況嗎？

生2：如圖6所示，由對稱得M（2，1），同理可以求出直線CM的解析式，聯立方程求解.

生3：如圖7所示，構造K型相似，求出點M的坐標.

生4：如圖8所示，利用∠B=45°構造等腰直角三角形，求CG的解析式，聯立方程求解.

生5：如圖9所示，過G點作GM⊥HC，通過構造K型相似求出點G的坐標.

設計意圖：通過小組討論得出結果，體現了課堂教學中生生互動的環節，在學生思維碰撞的過程中一題多解，在課堂展示思路環節過程中啟發學生思維，真正實現了把課堂還給學生，學生成為課堂的主導.

師：關于生2的問題求解.

生1：如圖10所示，易得∠BCP=∠OAC，

構造K形相似模型得到Q點坐標，求出直線CQ的解析式，聯立方程求解.除此之外，利用對稱性求點E的坐標，聯立拋物線方程可以發現直線和拋物線相切，即點P與點C重合.

生2：如圖11所示，利用45°構造K形全等模型.

總結：不管是利用三角函數還是相似三角形都是把角和邊聯系在一起，得到一些點和線的關系問題，希望同學們在以后的學習過程中可以做到“經一題，解一題，題題皆寶藏；遇一題，化一題，題題是故人”.

2 教學反思

2.1 彰顯函數復習課的特點

函數問題是最能體現“數形結合”思想的地方，通過一題入手，以基礎簡單模型為切入口，利用三角函數和構造相似三角形等手段，將幾何問題轉化為代數問題，實現了由數到形的突破.解題方法雖多樣，但目的和方法都歸為一類，即實現了函數問題數形結合的基本數學思想方法，在自主探究討論中，由易到難，由淺入深，通過生生互動發展學生思維，潛移默化中達到了解一題、通一類的目的，極大地彰顯了函數復習課的特點，突破了原有復習模式的禁錮，真正實現了把課堂還給學生的目的.

2.2 突出“一題一課”的優勢

“一題一課”教學模式結合探究式教學手段，能有效培養學生的思維；嘗試提問、自主改編能培養學生的創新能力.中考復習課要求學生對知識的理解要更加深刻，以本節課為例，學生在教師的引導下，由淺入深，由易到難，通過小組合作，在自主探究中不斷地變式，通過一題多解等模式掌握二次函數中角度問題的基本研究方法和結論，這種方式往往比單純回顧知識點更有效果.

教師改變復習課“講題+做題”的做法， 給予學生自主生長的時間、空間與表達機會. 一題一課式的微專題復習課是專題復習一種有效形式， 教師在微專題復習課的教學中， 需要重構數學的教育價值， 關注數學本質， 可以由生長源（元問題）出發， 基于基礎與經驗， 在解決問題過程中不斷產生新問題， 不斷生長新的數學知識、方法、思維、經驗. 讓學生經歷知識自主建構、方法感悟提煉、經驗不斷積累、思維不斷提升的過程［2］.

2.3探究式教學發展學生的核心素養

數學教學應該落實發展學生核心素養的根本任務.復習課不能只為考試服務，應該以發展學生核心素養為最終目標，以長遠的眼光為學生未來的發展奠基.探究式教學模式利用小組合作，通過學生自主探究、提出問題和解決問題的方式，鍛煉了學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界的能力，發展了學生的核心素養，激發了學生學習數學的興趣.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］褚水林. 生長型數學專題復習課探析 ［J］. 中學數學教學參考，2018（14）：19-22.