數學分析證明中的截斷技巧

王洪慶 王亞男 蘇莉

摘要：在數學分析中，當我們要證明一個問題時，有了正確的思路后，還常常要根據不同的對象和題設中的條件采取不同的處理方法，以實現證明的目標，本文對截斷的處理方法和技巧進行了總結和提煉。

關鍵詞：數學分析；截斷；極限；一致收斂

中圖分類號：TB文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.22.108

1截斷方法的概念

我們常常要在某些條件下，證明無窮區間上的函數或無窮多個函數的和函數具有某些性質。例如，一個實數軸上處處連續的函數，如果當自變量趨于無窮大是有有限的極限，那么它一定有界；如果函數項級數的每一項當自變量x→x0時有極限，并且這個極限在包含x0的某個區間上一致收斂，那么這個函數項級數的和的極限等于各項極限的和等。在證明這類問題時，我們的基本依據是有限區間上的函數或有限多個函數的和所具有的相關性質，同時還要根據給定的條件對無窮區間或無窮級數進行截斷處理（如何進行具體的截斷則要根據不同的問題做具體的分析）。我們把這種處理方法稱為截斷。

2截斷技巧的案例研究

例1設函數f（x）∈C（-∞，+∞），且limx→∞f（x）=l（其中l為有限數）。求證：f（x）在（-∞，+∞）上有界。

分析由于limx→∞f（x）=l，根據局部有界性可知，存A>0使f（x）在（-∞，-A）和（A，+∞）上有界。而在-A，A上可以從f（x）是連續函數這一條件獲得其有界性。

證明對ε=1，A>0，當x>A時，有f（x）-l<1，從而

f（x）<1+lx>A。

又因為f（x）在（-A，A）上連續，所以M1>0，使得

f（x）≤M1x>A。

取M=maxM1，1+l，則對一切x∈（-∞，+∞），有f（x）≤M，證明完畢。

例2設un（x）（n=1，2，…）在（x0-δ，x0+δ）內有定義（在點x0也可以沒有定義），limx→x0un（x）=ln，ln是有限數，且∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，求證：limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln。

分析現在面臨兩個問題需要解決：

（1）證明∑∞n=1ln收斂。

（2）證明等式limx→x0∑∞n=1un（x）=∑∞n=1ln成立。

第（1）個問題由Cauchy收斂原理不難解決。解決第（2）的問題的困難在于項數的無限多，因為極限運算法則只能保證有限多個函數和的極限等于它們極限的和。這就需要對無窮和進行截斷處理，把它截成項數足夠多的有窮多項和其余的去窮多項（即級數的“尾巴”），然后分別進行考慮，即

∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-∑Nn=1ln+∑∞n=N+1un（x）-∑∞n=N+1ln

我們的目的是證明當x充分靠近x0時，上面的不等式的左邊能夠任意小。這就要分析右邊的情況，而右邊的第一項根據“有限和的極限等于期各項極限的和”這一法則，要它當x→x0時能任意小時容易辦到的；第二項是兩個收斂級數的“尾巴”，其中∑∞n=N+1ln是收斂技術的“尾巴”，只要N選的足夠大，它就能任意小，而且與x無關；另一項∑∞n=N+1un（x）是一致收斂的函數項級數的“尾巴”，只要N足夠大，它也能任意小，并同樣與x無關。于是問題就不難解決了。至于N如何選取，這就要依賴于正數ε。

證明對ε>0，由于∑∞n=1un（x）在（x0-δ，x0+δ）上一致收斂，根據Cauchy收斂原理，N∈z+，當n>N時，對p∈z+，有

un+1（x）+un+2（x）+…un+p（x）<ε，

令x→x0，就得到

ln+1（x）+ln+2（x）+…ln+p（x）≤ε。

再由Cauchy收斂原理可知∑∞n=1ln收斂。

接下來，取定一個充分大的N∈z+，使得

∑∞n=N+1ln<ε3，∑∞n=N+1un（x）<ε3 x∈（x0-δ，x0+δ）。

由limx→x0un（x）=ln （n=1，2，…）可知，對上述的ε>0，δ1>0（δ1<δ），當0

un（x）-ln<ε3N，（n=1，2，…，N）

從而

∑∞n=1un（x）-∑∞n=1ln≤∑Nn=1un（x）-ln+∑∞n=N+1un（x）+∑∞n=N+1ln<ε3N+ε3+ε3=ε，證明完畢。

以上兩個例子說明，在進行截斷的時候，主要是處理好那個“無窮部分”（即截斷后剩下的無窮區間或無窮級數的“尾巴”），因為只要把這部分處理好之后，我們就可以放心處理有窮部分了，至于從什么部位上進行截斷，則要根據特設條件和證明的需要而定。

例3設f（x）∈（-∞，+∞），limx→∞f（x）存在且有限，求證f（x）在（-∞，+∞）上一致連續。

分析我們需要證明的是：對（-∞，+∞）中的任意兩點x′和x″，只要x′-x″足夠小，fx′-fx″就能夠任意小。對于任何有限區間-A，A來說，這是比較容易做到的，因為閉區間上的連續函數一定是一致連續的。但是對于兩個無窮區間（-∞，-A）和（A，+∞）就不能按同樣的想法來對待，因此需要分段考慮。如何選取上述的正數A呢？就是利用題目中的limx→∞ f（x）存在且有限這個條件了。

證明對ε>0，由于limx→∞f（x）存在且有限，根據Cauchy收斂原理，A>0，當x′和x″∈（-∞，-A］∪［A，+∞）時，有

fx′-fx″<ε2。

在-A，A上，由于f（x）一致連續，自然存在δ>0，使得對于任意的x′，x″∈-A，A，只要x′-x″<δ，就有

fx′-fx″<ε2<ε。

于是對（-∞，+∞）上滿足x′-x″<δ的任意兩點x′和x″來說，不論它們屬于-A，A，還是屬于（-∞，-A）或（A，+∞），都有

fx′-fx″<ε2<ε。

若x′∈-A，A而x″∈（A，+∞），則由x′-x″<δ可知，必有

x′-A<δ且x″-A<δ，

從而有

fx′-fx″≤fx′-fA+fx″-fA<ε2+ε2=ε。

對于x′∈-A，A而x″∈（-∞，-A）的情形同理可證。

綜上所述，只要x′-x″<δ，就有fx′-fx″<ε，證明完畢。

例4設limn→∞xn=l，求證：limn→∞x1+x2+…+xnn=l。

分析記σn=x1+x2+…+xnn （n=1，2，…），則

σn-l=x1-l+x2-l+…+xn-ln

≤x1-l+x2-l+…+xn-ln。

現在來分析一下不等式右端分子的變化情況。很明顯，雖然項數在不斷增多，但靠右邊的一些項會隨著n的增大而變小，可以任意小；而前面的哪些項則是固定不變的，根本不能變小。因此我們可以考慮將它們分段處理。

對ε>0，因為limn→∞xn=l，N∈z+，當n>N時，xn-l<ε。因此，對于這樣取定的N，不論n怎樣大（也就是不論項數怎樣多），從第N+1項開始，以后每一項都小于ε，而這些項加起來小于n-Nε，所以n-Nεn=1-Nnε<ε，所以可以不用去管他，另一方面，既然N已經取定，從第一項到第N項加起來就是一個固定的數，它被n除過之后就會隨著n的增大也變小。

證明ε>0，因為limn→∞xn=l，N∈z+，當n>N時，xn-l<ε，對于取定的N，記M=maxx1-l，x2-l，…xN-l，再取N1N，使NMN1<ε，于是，當n>N1時，有

σn-l≤x1-l+x2-l+…+xn-ln

=x1-l+…+xN-ln+xN+1-l+…+xn-ln

所以limn→∞x1+x2+…+xnn=l，證明完畢。

3結束語

截斷處理是數學分析長得一種比較基本的處理方法，通過它可以把很多有限范圍內成立的性質和結論擴展的無線范圍，因此我們在處理與無線范圍有關的問題時，應當有截斷的意識。

參考文獻

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基金項目：中國消防救援學院科研項目（XFKYB202211）；中國消防救援學院教改項目（YJYB2022009）。

作者簡介：王洪慶（1977-），男，理學碩士，中國消防救援學院基礎部副教授，研究方向為可靠性理論、數學教學；王亞男（1986-），女，經濟學博士，中國消防救援學院基礎部講師，研究方向為應用統計；蘇莉（1984-），女，中理學碩士，國消防救援學院基礎部講師，研究方向為代數幾何。