雙表面周期性彈性聲子晶體板中的谷拓撲態(tài)*

李蔭銘 孔鵬 畢仁貴 何兆劍 鄧科

(吉首大學物理系,吉首 416000)

隨著拓撲理論的概念被引入到人工結構的研究中,由于其具有傳輸保護、能量無損耗、缺陷免疫等新奇的物理性質,引起了廣泛的關注.本文基于彈性材料設計了一種雙表面周期性結構聲子晶體,其上、下表面由周期性排列的三角棱柱散射體組成,在只關注面外模式的Lamb 波的情況下,構建了彈性聲子晶體的谷拓撲態(tài).只需簡單旋轉散射體,體系就會出現能帶的反轉,研究發(fā)現通過調節(jié)散射體的高度,可以實現谷拓撲邊緣態(tài)頻率的調控,由不同的谷霍爾材料組成的邊緣界面處可以實現較寬頻率的激發(fā),進一步證實了邊緣態(tài)頻率可調控的思想可以在彈性材料中實現,并利用兩種不同相組成的聲子晶體板研究了拓撲輸運情況,表現出優(yōu)異的輸運性能.這為谷拓撲保護彈性波激發(fā)中實現新的自由度.

1 引言

近年來研究較多的拓撲絕緣體主要分為三類:陳絕緣體、自旋霍爾絕緣體和谷霍爾絕緣體[1?3].其中谷霍爾絕緣體是實現條件最簡單的一種,因為其即不需要打破時間反演對稱性,也不依賴電子自旋[4?6].一般來說,谷霍爾絕緣體可以通過打破鏡面對稱等空間對稱性[7?9],使原本簡并的狄拉克點打開來實現.谷態(tài)概念的出現,開啟了谷拓撲材料新的研究領域.在電子體系里引入谷態(tài)概念,可能為未來的谷電子材料和器件提供廣闊的應用前景[10,11].最近,谷態(tài)概念被拓展到經典波的人工周期性結構中,例如光子晶體中的電磁波、聲子晶體中的聲波和彈性波,在經典波中與谷相關的拓撲傳輸現象,如谷霍爾效應、谷邊界傳輸已被證實[12?14].谷的拓撲性質來源于倒空間的局域非平庸的貝利曲率[15?17],用谷陳數來表示,經典波的谷霍爾相具有非平庸的谷陳數,由兩種陳數互為相反數的谷霍爾材料的邊界處存在連接體帶隙的谷投影邊緣態(tài).由于受到谷拓撲性質的保護沒有谷間散射的影響,邊緣態(tài)具有較好的抗彎曲、缺陷散射的傳播能力[18?20].近年來將谷霍爾絕緣體思想引入彈性周期性結構中,在谷聲學體系中實現谷保護的能量輸運受到了越來越多的關注,關于在彈性系統中實現谷拓撲輸運已經實現,但是關于在寬頻尤其是多頻段實現彈性波的輸運調控還處于研究初期.所以在彈性谷材料中設計頻率可調控的彈性波輸運是非常有意義的.

本文通過在薄板的上、下表面同時貼附三棱柱散射體,構造雙表面周期性結構彈性聲子晶體,這樣設計的結構只需簡單地旋轉散射體,就能控制體系的對稱性,從而實現狄拉克點的打開與關閉.通過對其上、下能谷的手征回轉特性進行分析,證實了散射體的旋轉會產生拓撲相變;通過計算動量空間K(K′) 點的谷陳數,得出由兩種不同的谷霍爾相組成的界面處對應的谷陳數為±1,在邊界處產生拓撲邊緣態(tài).本文研究發(fā)現通過對散射體高度進行調節(jié),狄拉克點的頻率也會相應的發(fā)生變化,此時采用不同的谷霍爾相組成的界面,它們的邊緣態(tài)也會發(fā)生變化,只需要增大或者減小貼附的散射體高度,就可以實現對邊緣態(tài)工作頻率在一定范圍內的任意調節(jié).本文利用邊緣態(tài)實現了直邊界、“Z”形轉彎邊界及含有缺陷態(tài)邊界的谷拓撲輸運,與現有在彈性體系中利用邊緣態(tài)作能量輸運的研究相比,本文設計的彈性谷拓撲系統中邊緣態(tài)的調制自由度更多,并且在谷拓撲輸運中相較現有彈性體系對缺陷造成的谷間散射更不敏感.

2 研究內容

2.1 聲學模型介紹

在彈性薄板系統中可以通過在薄板上附加散射體,就可以實現對薄板中Lamb 波的調控[21].根據這一原理,本文設計一種薄聲子晶體板,如圖1(a)所示,其上、下表面是三角棱柱散射體周期性排列而成,三角棱柱散射體位于六邊形單胞正中心位置,使得整個系統具有C3v對稱性.單胞的晶格常數a=0.5 mm,其薄板厚度d=0.1 mm,三角棱柱的截面是正三角形,邊長l=0.35 mm,散射體高度為h,三角棱柱與x軸正方向夾角為θ,如圖1(b)所示.整個結構所選用的材料參數如下: 楊氏模量E=41 GPa,泊松比v=0.28 ,密度ρ=7.4×103kg/m3.

圖1 (a)聲子晶體單胞結構;(b)單胞俯視圖Fig.1.(a) Unit cell of the phononic crystal;(b) top view of the unit cell.

2.2 聲子晶體的能帶結構與谷拓撲相變

聲波在均勻的彈性薄板材料中傳播時有3 種極化方式,兩種橫向極化和一種縱向極化.根據位移振動方向與薄板中心面之間的關系分為3 種模式,垂直于中心面振動的反對稱模式(A 模式)和平行中心面的對稱模式(S 模式)、以及剪切模式(SH 模式).后續(xù)工作通過有限元求解器COMSOL Mutiphysics 進行數值模擬,在計算聲子晶體的單胞能帶時,使用固體力學彈性波模塊,在單胞6 個邊界上設置Floquet 周期性邊界條件,掃描布里淵區(qū)高對稱線Γ-K-M-Γ,選取散射體高度h=0.28 mm,得到能帶圖如圖2(a)所示.這里對薄板系統中彈性波的模式進行挑選,綠色虛線表示S 模式,藍色虛線表示SH 模式,黑色實線表示的是散射體不發(fā)生旋轉時的A 模式,又稱面外模式.其位移場分布位于能帶圖下.可以看出在散射體不發(fā)生旋轉時,在布里淵區(qū)K點處頻率為0.31 MHz,出現由反對稱模式形成的線性交叉狄拉克點.當旋轉散射體角度θ=20?狄拉克點被打開形成上、下兩能谷,其面外模式在能帶圖中用紅色實線表示.在旋轉散射體過程中,發(fā)現不管散射體旋轉角度為多少,SH 模式和S 模式幾乎沒有變化.因此本文主要考慮A 模式.

利用三角棱柱散射體在薄板上構造了六角晶格聲子晶體,系統對稱性可以通過散射體的旋轉角度進行控制,當旋轉角度θ=nπ/3 時(n為整數),該系統受C3v對稱性保護,在倒格空間中布里淵區(qū)角點處該點群包含二維不可約表示,因此在K和K′產生線性簡并的狄拉克錐.當改變θ的大小,系統的鏡面對稱性被打破,原本簡并的狄拉克點打開帶隙形成谷,同一角點處,上、下能谷對應的本征位移場具有相反的手征回旋性如圖2(b)所示.

當散射體轉角θ >0?時,K點附近上、下能谷對應的手征回旋性方向分別是順時針和逆時針,如圖2(c)所示,同樣由圖2(b)可以得出上、下能谷的手征性方向在θ=0?發(fā)生反轉.根據k·p微擾理論,狄拉克點附近的哈密頓量可以表示為=vD(δkxσx+δkyσy)+?gσz,其 中vD是θ=0?時 狄拉克點附近的有效速度; δkx和 δky表示波矢在動量空間中K點附近的偏移量;σx,σy,σz是泡利矩陣.旋轉散射體狄拉克點打開帶隙,K1和K2兩能谷之間的頻率帶隙可以表示為 2?g=f+?f?,其中f+代表K2谷頻率,f–則代表K1谷頻率.根據哈密頓量可以推導出貝利曲率?(δkx,δky)=(1/2)×通過對貝利曲率在布里淵區(qū)的一半進行積分,就可計算出在動量空間中關于K點處的谷陳數為sgn(?g/2).當θ >0?時CK= 1/2 ,當θ <0?時,CK=?1/2,K′谷陳數同樣可以通過時間反轉對稱推導出來,K′谷也有相同的谷陳數但是符號相反,因此貝里曲率對整個布里淵區(qū)積分所得到的陳數為零,但是K和K′谷附近卻有非零的貝利曲率.兩種散射體角度旋向不同代表兩種不同的谷霍爾相聲子晶體,在具有相同帶結構的兩種谷霍爾相組成的界面處對應的谷陳數就是±1 .本文定義θ <0?為A 相谷霍爾聲子晶體,θ >0?為B 相谷霍爾聲子晶體.

圖2 (a) 散射體高度 h=0.28 mm時聲子晶體的能帶結構;(b) K1,K2 能谷頻率隨散射體角度的變化,紅色箭頭和綠色箭頭分別表示散射體順時針和逆時針手征性回轉;(c) θ=20? 時 K1,K2 谷每一幀圖形經過三分之一周期的位移場,黑色虛線是中軸線,紅色箭頭表示每一幀散射體位移的最大位置Fig.2.(a) Band structure of the phonon crystal with the height of scatter h=0.28 mm;(b) variation of valley frequencies ofK1 and K2 with the change of scatterer angle,red arrows and green arrows indicate clockwise and counterclockwise scatterer hand sign slewing respectively;(c) the displacement fields of K1and K2at θ=20? for each frame of the graph after one-third of the period,the black dashed line is the central axis,and the red arrow indicates the maximum position of the scatterer displacement for each frame.

2.3 谷拓撲邊緣態(tài)

根據體-邊對應原則,兩種具有相同能帶結構的谷霍爾相聲子晶體的界面處,有連接上、下體帶的邊緣態(tài).從圖2(b)可以看出,要得到能帶相同的兩種不同相聲子晶體,這就要求這兩種聲子晶體的散射體旋轉角度的絕對值相等.圖3(a)給出當散射體高度h=0.28 mm 時,上界面是散射體旋轉角度θ=20?的B 相谷霍爾聲子晶體、下界面是散射體旋轉角度θ=?20?的A 相谷霍爾聲子晶體組成的條形界面.施加Bloch 連續(xù)周期性邊界條件在條形幾何的左右兩個邊界上,計算超胞沿著Γ-K方向的投影能帶結構如圖3(b)所示,在能帶結構中淺灰色區(qū)域表示體態(tài)區(qū)域,在禁帶范圍內出現一條頻率為0.25—0.4 MHz 的額外模態(tài)用紅色實線表示,該模態(tài)對應于B-A 相結構的邊緣態(tài)模式,其中能帶圖中淺紅色區(qū)域為邊緣態(tài)區(qū)域.從圖3(c)給出的邊緣態(tài)的位移場可以看出,只有在靠近界面處的質點具有很大的面外位移振幅,這種位移振幅是由一個橫波模式所導致的,遠離界面處幾乎看不到有面外振動位移,能量在條形超胞結構中局域在兩相的邊界處.在圖3(b)投影能帶結構中,在波矢較小的區(qū)域內還存在一些其他的模式,這是由于面內振動的對稱模式和剪切模式的投影,因為本文主要研究彈性波系統中的面外極化方式,所以這兩種模式在后述討論的彈性谷拓撲輸運沒有影響.

基于流體基體中谷邊緣態(tài)可調的思想[22],本文研究發(fā)現通過增大或減小貼附在薄板兩側散射體高度h時,在K點處狄拉克點的頻率會發(fā)生改變,接下來探究散射體高度的變化對邊緣態(tài)頻率的影響.

當散射體高度h從0.20 mm 增大到0.50 mm時,對應的狄拉克點頻率從0.45—0.15 MHz 發(fā)生連續(xù)變化如圖4(a)黑色點線,這時旋轉散射體角度θ=20?,發(fā)現了不同高度的散射體對應的上、下能谷的頻率也隨之發(fā)生了連續(xù)變化.其中K1谷和K2谷分別對應圖4(a)中紅色點線和藍色點線.由于不同的散射體高度所對應的狄拉克點的頻率均有連續(xù)性的改變,因此當破壞鏡面對稱時,狄拉克點打開形成上、下兩能谷,能谷之間禁帶的頻率也會隨之變化,根據邊緣態(tài)是連接上、下體帶的原則,于是可以得出通過改變散射體高度,最終帶來的是邊緣態(tài)的頻率發(fā)生改變.這里構造散射體高度分別為h=0.36,0.32,0.28,0.24,0.20 mm,采用上述方法計算其不同散射體高度下的投影能帶結構如圖4(b)所示,其邊緣態(tài)頻率分別用紫色、藍色、紅色、綠色、淺藍的實線來表示,其中相同顏色虛線框則是對應該散射體高度下邊緣態(tài)的區(qū)域.這里通過數值模擬對邊緣態(tài)進行計算,發(fā)現了散射體高度h從0.20 mm 變化到0.36 mm 時,連接體帶的邊緣態(tài)頻率可以實現從0.22—0.53 MHz 調控.圖4(c)是散射體改變示意圖.

2.4 谷拓撲輸運

不同谷拓撲相組成的界面處存在有受拓撲保護的邊緣態(tài),研究表明谷拓撲邊緣態(tài)有著對轉角、無序、缺陷等不敏感的特征.本文設計由B 和A 兩種不同的谷霍爾相聲子晶體組成的 21×34 超胞如圖5(a)所示,散射體高度為h=0.28 mm,上、下界面分別由散射體旋轉角度θ=20?的B 相聲子晶體和散射體旋轉角度θ=?20?的A 相聲子晶體組成,紅色虛線為兩相界面.用垂直于薄板z方向上的點源(圖中紅色五角星位置)激勵出面外振動位移模式,通過數值模擬可得到,當激勵頻率為0.29—0.36 MHz 時兩相界面處的面外振動位移模式都可以激發(fā)出來.圖5(b)給出了當頻率為0.33 MHz 時面外振動的本征位移場,可以看出邊緣態(tài)很好地局域在兩相界面附近,由于在禁帶范圍內不存在體態(tài)傳播模式,邊緣態(tài)在垂直于界面兩側快速衰減.同樣,為了驗證通過改變散射體高度可實現對邊緣態(tài)頻率的調控,這里也計算了不同散射體高度的谷拓撲輸運.采用和上述相同的方法構造了散射體高度h=0.20,0.24,0.32,0.36 mm,由兩種谷霍爾相聲子晶體組成的直界面矩形超胞,采用圖4(b)中各散射體高度對應的邊緣態(tài)頻率作為面外位移激勵,結果都能很好地驗證在相應頻率下的面外位移能夠很好地局域在界面處,而其體模態(tài)都不會被激發(fā)出來.圖5(c)為當散射體高度h=0.20,0.24,0.32,0.36 mm 時,對應的邊緣態(tài)頻率為0.47,0.43,0.27,0.22 MHz 的面外位移場,可以看出在邊緣態(tài)頻率范圍內即使遠離點源邊緣運輸幾乎不受影響.

為驗證邊緣態(tài)的抗散射特性,在面對轉角和缺陷時還具有高效傳輸性質,這里用散射體高度h=0.28 mm,包含θ=20?和θ=?20?兩種旋轉角度的聲子晶體,構造了 60?和 120?兩種轉角的“Z”字形界面超胞,如圖6(a)所示,紅色虛線表示兩相的界面,為了有效抑制谷間散射,選用Zizag 界面作為晶體的出射界面,在兩相界面的左側施加面外位移作為點源激勵(圖中紅色五角星).使用其帶隙的中心頻率0.33 MHz 去激勵,位移場如圖6(b)所示,可以發(fā)現在“Z”字形界面中激發(fā)出來的彎曲波均能沿著界面的路徑傳播,即使經過了兩個轉角,但是并沒有產生明顯的反射,這種谷拓撲保護界面波導比傳統的缺陷波導在面對轉角具有更優(yōu)異的傳輸效率.接下來在界面處引入缺陷,進一步探究邊緣態(tài)應對各種缺陷的抗散射能力,同樣采用上述包含兩種轉角的“Z”字形超胞的設計,但是這里在兩相的界面處挖去部分散射體,由此作為缺陷的設計如圖6(c)所示.數值模擬了在頻率為0.33 MHz時邊緣態(tài)的傳輸,可以看出在缺陷位置(插圖部分)也沒有強烈的反射,邊緣態(tài)在傳輸的過程中幾乎沒有受到由空腔帶來的影響.最后討論了由無序造成的缺陷對邊界傳輸的影響如圖6(d),在其界面上通過替換不同的聲子晶體,通過模擬也發(fā)現無序帶來的缺陷對邊緣態(tài)輸運也不造成影響.以上探究發(fā)現谷拓撲邊緣態(tài)能夠很好地抑制由空腔或者無序造成的散射,在邊緣態(tài)輸運的過程中即使遇到缺陷也不會產生背向散射,只能繼續(xù)向前傳播.

圖6 (a) B-A 相聲子晶體組成的“Z”字形界面超胞,紅色虛線為兩相界面,紅色五角星為點源;(b)頻率為0.33 MHz 的點源激勵的邊緣態(tài)位移場;(c),(d)引入空腔和無序后邊緣態(tài)的位移場分布,插圖部分為界面結構放大圖Fig.6.(a) The Z shaped interface supercell was composed by B-A crystal,the red dotted line is the two-phase interface,and the red pentacle is the point source;(b) edge state displacement field of point source excitation with frequency of 0.33 MHz;(c),(d) the distribution of edge state displacement field after the introduction of cavity and disordered respectively;the part in the illustration is an enlarged view of interface structure.

3 結論

本文設計了一種具有C3v對稱性的雙表面周期性結構彈性聲子晶體,通過旋轉散射體實現了能帶的反轉及谷態(tài)的出現.研究發(fā)現散射體高度的改變可以實現對邊緣態(tài)頻率在一定范圍內的任意調控.與文獻[13]的單表面結構相比,本文的結構出現了完全帶隙,并且?guī)洞蜷_得更大,更加有利于對于邊界態(tài)的調控,并且拓撲邊界態(tài)具有更優(yōu)的缺陷免疫.該結構可以在多邊緣態(tài)頻率范圍內實現直邊界波導、“Z”字形邊界的谷拓撲輸運及缺陷免疫,為能量傳輸效率更高的無損探測、聲波傳感器等拓撲器件具有指導意義.