基于集成光芯片的量子模擬研究進展*

陳陽 張天煬 郭光燦 任希鋒

(中國科學技術大學,中國科學院量子信息重點實驗室,合肥 230026)

量子模擬是利用可控的量子系統來模擬其他未知或難以控制的量子體系,通過這種方法來處理一些在經典計算機上無法進行仿真的復雜量子體系,用于如基礎物理探索、分子動力學研究、藥物研發等相關領域.集成光學系統是實現量子模擬的一個優秀的實驗平臺,能實現如無序系統、拓撲絕緣體、非線性和非厄米體系等凝聚態物理結構的模擬,或用于實現量子隨機行走、玻色取樣等以演示量子優越性.本文介紹多種量子模擬物理模型的理論基礎,結合如硅、玻璃、鈮酸鋰等波導體系的優勢,綜述近年來利用集成光芯片實現量子模擬的研究進展,包括了在集成光芯片上基于模擬型和數字型這兩類量子模擬實現凝聚態物理模型仿真、量子隨機行走、玻色取樣等,探討集成光芯片上的不同的量子模擬技術的實用化前景和發展趨勢.

1 引言

自1981 年費曼提出量子計算機的概念以來[1],雖然實現通用式量子計算機仍然是一個長期的目標,但實現一些復雜量子體系的量子模擬任務成為研究復雜物理問題如低溫物理、多體物理的關鍵方法.在經典計算機上模擬量子體系時,由于描述量子態參數所需的存儲空間隨著系統尺寸指數增長,因此,利用可控的量子系統,例如超導系統、原子或離子體系、核以及電子自旋系統、光學體系等[2?5]實現量子模擬,可以有效解決在其他體系中難以模擬的任務.光學體系天然可以用于編碼量子比特,具有較好的可操控性,如可以利用路徑、偏振、軌道角動量等多種自由度來編碼信息,且一般不需要低溫環境.此外由于具有較好的消相干能力,光學系統是優異的承載量子信息的載體.在傳統光通信技術中,光在自由空間傳播過程中相位等信息容易受到外界環境干擾,集成光學系統可以利用光波導將光場束縛在微納尺度,從而實現穩定的信息傳輸,因此在眾多的光學體系中展現出獨特的優勢.近些年來,集成光學系統也因其小型化、穩定性高、規模可擴展等優勢,在量子通信、量子計算等方向展現出實用化的應用前景[6?9].

得益于不同材料系統一些特有的優勢,如相位可調節能力、三維加工能力、高非線性系數等,集成光學系統近十多年被廣泛應用于實現如量子隨機行走[10?14]、玻色取樣[15?20]、拓撲絕緣體結構、非厄米以及非線性物理系統量子模擬[21?26].基于集成光學系統的量子模擬也被用于研究分子基態能量、分子動力學[27?29],可以潛在用于藥物分子設計等關鍵技術.根據量子模擬設備不同的特性可以對其進行分類[2],如根據模擬設備實現量子系統細節的程度可區分為兩類,一類是全局系統的量子模擬,用于研究如量子相變過程等;另一類通過對每一個量子比特的精確控制和測量來準確理解要模擬的量子體系的微觀性質.另外,根據量子模擬設備實現量子操作的類型主要分為數字型(digital)和模擬型(analog)量子模擬.其中前者基于量子線路,一般包含了初態的制備、離散的量子邏輯門操作(可分解為單比特、兩比特量子門)以及最終的態測量過程,如集成光學系統中的多端口干涉儀結構.后者由具有相似哈密頓量并且在一定程度上可控制的系統來實現量子模擬,如光波導陣列、光子晶體、耦合腔陣列等.

本文基于集成光學系統介紹其在量子模擬研究領域的進展以及發展前景: 從基本的物理模型出發,基于集成光學系統構建的晶格結構來介紹無序安德森局域化、拓撲絕緣體中的物理、非厄米以及非線性誘導的新物理現象;基于多端口干涉儀結構介紹量子隨機行走、玻色取樣、量子化學模擬等過程.通過對這些典型的、前沿的物理模型的梳理和介紹,并且討論這些物理模型在集成光學系統上物理實現的實驗進展,以期啟發更多關于新奇物理模型的研究,助力于新物理現象未來的實際應用探索.

2 集成光學系統

構成集成光學系統的材料體系種類繁多,如硅基、鈮酸鋰、飛秒激光直寫透明介質、III-V 組材料(InP 和GaAs)、稀土材料等實驗平臺[6,30?32].關于不同材料的優缺點和用途,讀者可以查閱相應的文獻,本文簡要介紹目前幾種應用于量子模擬的主流的集成光學材料體系: 1)硅基集成光芯片,如硅、摻雜二氧化硅、氮化硅波導等.一方面,通常所采用的互補金屬氧化物半導體(CMOS)半導體加工技術經歷了五十多年的發展,具有成熟的工藝;另一方面,由于該體系有較高的折射率對比度,因而具備較好的光場束縛能力,可以實現更加小型化、集成化的系統.基于硅的高三階非線性系數,可以利用四波混頻效應在硅基波導中產生量子光源[9,33?40],另外還可以集成超導納米線實現光子探測.在量子模擬方面,基于熱調相位的馬赫-曾德爾干涉儀構建可重構的離散型量子網絡可用于研究量子隨機行走過程、量子化學模擬等,但存在相位調節的穩定性和調制速度慢的問題.2)鈮酸鋰基集成光芯片,在制備波導時通常采用質子交換或者鈦擴散技術以實現芯層折射率的增大.該系統具有超低的損耗,較高的二階非線性系數和電光系數,因此可以利用自發參量下轉換過程制備量子光源[41?43].電調相位調制速度快的優勢使其成為制備主動非線性器件(如光開關、頻率轉換器件)的優秀材料體系.此外,光子探測和電子學器件也可集成到這一系統中.目前該系統主要應用在實現量子通信功能,近來被用于研究非線性系統中的拓撲物理.作為一種新興的可動態調控的材料,期望基于鈮酸鋰基的集成光芯片體系未來能夠應用于實現更多物理模型量子模擬,并且結合量子光學發揮更多的實際用途.3)飛秒激光直寫光芯片,通過物鏡將短脈沖、高峰值功率的飛秒激光聚焦到透明材料(如玻璃、聚合物)中,觸發非線性吸收過程從而改變聚焦位置處材料折射率.該系統利用高精度位移臺控制樣品的移動以決定波導走向,具備可三維加工、可快速制備的優勢,因此利用飛秒激光直寫技術制備的光波導陣列成為近些年實現一些難以控制的電子系統中的凝聚態物理模型量子模擬的優秀實驗平臺[31].該系統目前存在調制難度高,尺寸大的問題.

如圖1 所示,在集成光學系統中,實現凝聚態物理模型量子模擬主要用到了光波導陣列、耦合環腔陣列、光子晶體等結構,這一類量子模擬可以歸結為模擬型量子模擬;而基于級聯的分束器或者馬赫-曾德爾干涉儀的多端口干涉儀結構常被用于研究離散型量子隨機行走、玻色取樣、量子化學模擬等,屬于離散型量子模擬.接下來介紹不同系統用于實現量子模擬的基本原理,將在第3 和第4 節中介紹這些結構在集成光量子模擬方面的研究進展.

圖1 幾種常見的用于量子模擬的集成光學系統 (a) 耦合光波導陣列[44];(b) 光子晶體;(c) 耦合環腔陣列[45];(d) 多端口干涉儀[17]Fig.1.Several integrated optical platforms for quantum simulation: (a) Coupled optical waveguide array[44];(b) photonic crystal;(c) array of coupled ring resonators[45];(d) multiport interferometer[17].

2.1 光波導陣列

在傍軸近似條件下,任意T時刻在光波導陣列垂直于傳播方向的橫截面r⊥位置上的光場波函數Ψ(r⊥,T)(單波導有效折射率為neff,真空光波長為λ0)滿足薛定諤形式的傳播方程[25,46?48]:

其中有效光學質量為mopt=?β/v(光在波導中的群速度v=c/neff,傳播常數β=neffk0,? 為約化普朗克常數,波矢大小k0=2π/λ0),波導陣列r⊥處的折射率分布n(r⊥)等效為有效光學勢場Vopt=(?k0c)×為了直觀地與電子系統中的薛定諤方程對比,(1)式中光沿傳播方向的演化轉換成了光場隨時間的演化關系.由于傳播方程與量子力學中薛定諤方程的相似性,光在波導陣列中的傳播類似于電子在固體系統(如周期晶格結構、無序系統、準晶結構)中的傳播過程.光波導陣列系統中(通常考慮單模波導),每個波導位置處折射率分布對應于固體系統中的在位束縛勢(on-site potential),每個波導的模式之間的重疊引起的光在波導之間的耦合對應著固體系統中電子隧穿(tunneling).通過控制波導陣列結構中折射率的空間分布,可以調制光在系統中的傳播行為.1965 年,研究者基于耦合的光纖結構理論研究一維波導鏈中光的衍射行為[49],并隨后于1972 年在等間距砷化鎵波導陣列中實驗觀察到了光的彈道式擴散過程[50].目前描述耦合光波導陣列的能帶分布以及光的傳播普遍采用緊束縛近似模型處理,即從亥姆霍茲方程出發,把光在每個波導位置處的折射率分布作為零級近似,其他位置波導的折射率分布作為微擾項進行處理.緊束縛近似下,耦合光波導陣列的哈密頓量可以表示為[13]

其中,βi是第i根波導的傳播常數,Ci,j為光從第i根波導耦合到第j根波導的耦合系數,(ai) 為光在第i根波導的產生(湮滅)算符,滿足玻色子對易關系.根據海森伯演化方程可以得到光在沿z軸傳播的波導陣列中的傳播方程:

(2)式和(3)式是利用光波導陣列實現凝聚態物理模型量子模擬的基礎,通過控制波導的折射率分布或者波導之間的間距,可以模擬周期系統連續型量子隨機行走、無序系統安德森局域化等現象.

2.2 光子晶體

不同于光波導中光場通常束縛在高折射率介質中,基于光子晶體的波導其光場可以在低折射率介質中傳播,并且可以在結構中實現劇烈角度的彎折.光子晶體是由高低折射率交替變化的介質材料組成的周期性介電結構,其周期長度與光波長的數量級相近.光子晶體具有類似于固體物理的晶格結構,按照周期排布方式可以分為一維、二維和三維光子晶體.光子晶體中光的傳播依賴于周期結構中的布拉格反射過程,當入射光的波長接近光子晶體的晶格周期時,這種周期結構界面處的多重反射光會發生干涉從而形成光子能帶.特別地,在折射率差較大的光子晶體結構中將出現光子帶隙(對于具有特定偏振在一定頻率范圍內的特定方向入射的光全部反射).

如圖1(b)所示,以二維光子晶體為例(電介質中的空氣孔或者空氣中的電介質),介質介電常數ε(r)在(x,y)平面內周期排布,其磁場滿足布洛赫定理,因此可以表示為Hn,k(r)=eik·r·un,k(r),其中n,k分別是能帶數和波矢,un,k(r) 和晶格具有相同的周期性.電介質中頻率為ω的磁場滿足如下傳播方程[51]:

其中c表示真空光速,且有?·H(r)=0,結合布洛赫定理求解本征值方程(4)可以得到周期性光子晶體結構中橫電模(TE)和橫磁模(TM)的能帶結構.在光子晶體結構中通過引入線缺陷可以破壞晶格結構的對稱性從而在缺陷位置形成缺陷態,通過設計晶格結構可以使缺陷態處在光子帶隙中,這種方法被用于制備光子晶體波導[51?53].近些年來,研究者開始利用緊束縛近似模型求解光子能帶[54?57],從而在光子晶體結構中實現拓撲絕緣體結構的模擬,進而實現在微納結構中光的方向性操縱和魯棒性傳輸.

2.3 光學腔陣列

耦合腔陣列是由多個通過倏逝場耦合的具有高品質因數(Q值)回音壁模式的光學微腔或者缺陷腔構成[58].考慮弱耦合的情況(耦合光學腔陣列中單個腔的模式可以用獨立的腔模近似),類似于光波導陣列和光子晶體的處理方式,耦合光學腔陣列系統可以利用緊束縛近似模型來求解光子能帶及本征電磁場分布.光學微腔可以支持多個簡并的模式,如圖2 所示的順時針和逆時針光學模式(贗自旋),相鄰兩個環腔之間通過連接的波導實現光的耦合.基于圖2(a)所示的結構,Hafezi 等[59]于2011 年提出可以實現量子自旋霍爾系統的模擬,基本原理是設計環腔和連接波導的長度保證光分別在兩個結構中發生相長和相消干涉,從而將光束縛在環腔中.同時要求連接左右兩個環腔的上下分支波導的長度不同,使得順時針/逆時針光學模式從左邊耦合到右邊和與之相反方向上的耦合存在相位差異,并且與贗自旋有關.描述圖2(a)所示的二維方格子耦合環腔陣列的哈密頓量為

其中κ是相鄰兩個環腔之間的耦合系數,是光子在位置為(x,y)處的贗自旋σ=±1 (順時針/逆時針光學模式)的產生(湮滅)算符.對于兩個正交的贗自旋模式,光子沿著由相鄰的4 個環腔構成的閉合路徑運動時將獲得一個與贗自旋有關的相位,這種行為類似于帶電粒子在外加磁場下沿閉合路徑運動積累的Aharonov-Bohm 相位.由這樣的單元組成的周期耦合環腔陣列可以實現光子的有效磁場,進一步被用于模擬量子自旋霍爾效應,在每個贗自旋表象下對應著整數霍爾效應系統.Hafezi 研究組[45]的這一構想隨后被他們于2013年在硅光子芯片上實現,他們通過輸入波導耦合進頻率與拓撲邊界模式共振的激光,觀察到了拓撲邊界態的傳播,隨后他們又利用該系統研究了邊界態的魯棒性的傳輸和拓撲數的測量.2013 年,Chong研究組[60,61]在上述模型的基礎上調制描述兩個環腔之間耦合的散射矩陣(圖2(b)),系統表現出了周期驅動(Floquet)拓撲絕緣體的能帶結構,該模型不需要精細調節連接波導引起的相位;2020 年Afzal 等[62]首次在微納光學系統(硅基八邊形腔陣列系統)實現了這種反常Floquet 拓撲絕緣體[62].2018 年,Leykam 等[63]設計圖2(c)所示結構[63],通過中心連接環波導實現格點環腔之間的近鄰和次近鄰耦合(類似于Haldane 模型[64]),隨后他們利用硅環腔結構實現了這種反常量子霍爾系統模擬(零磁通量),并觀察到了魯棒性的拓撲邊界態的傳輸[65].

圖2 用于模擬拓撲絕緣體結構的耦合環腔陣列 (a) 量子自旋霍爾效應系統[59];(b) 周期驅動Floquet 拓撲絕緣體結構[60];(c) 反常量子霍爾效應系統[63].(a)—(c)上列為周期陣列結構,下列為周期結構中基本單元的物理圖像Fig.2.Arrays of coupled ring resonators for simulations of topological insulators: (a) Quantum spin Hall effect[59];(b) Floquet topological insulators[60];(c) anomalous quantum Hall effect[63].The upper panel in (a)–(c): periodic coupled resonator arrays;lower panel: basic units in the periodic structures.

2.4 多端口干涉儀

多端口干涉儀主要由分束器和相移器組成,可以實現多端口的任意幺正變換.1994 年,Reck 等[66]最早提出圖3(a)所示的三角形結構,隨后2016 年Clements 等[67]提出矩形結構的多端口干涉儀結構,使得原先實現N端口任意幺正變換的結構深度縮短到N步.這兩種結構能夠實現N端口任意幺正變換的原理都是基于對幺正矩陣的分解,通過將某一特定幺正矩陣多次分解得到對角矩陣,分解過程可以拆分成多個變換矩陣Tp,q相乘(變換矩陣僅作用在p,q兩個端口).對角矩陣實驗上通過處在特定端口的相移器實現,變換矩陣Tp,q由可調分束比的分束器和相移器實現.這兩種構型的多端口干涉儀可用于實現離散型量子隨機行走、玻色取樣以及量子化學模擬等研究.

圖3 多端口干涉儀用于量子模擬 (a) 三角形結構(左)[66]和矩形結構(右)[67]的多端口干涉儀用于實現任意的幺正變換;(b)雙光子在離散型量子隨機行走芯片中的安德森局域化現象[14];(c) 硅基多端口干涉儀[68],由可調馬赫-曾德爾干涉儀組成Fig.3.Multiport interferometer for quantum simulation: (a) Realizing arbitrary unitary operator using triangular (left)[66] and rectangular (right)[67] mesh of beam splitters;(b) two-photon Anderson localization in discrete-time quantum random walk circuits[14];(c) multiport interferometer in a silicon-on-insulator platform[68],which is consist of tunable Mach-Zehnder interferometers.

3 模擬型量子模擬

3.1 無序系統

無序系統普遍出現在固體物理體系中關于輸運過程、電導等的研究[69?72],1958 年,Phillip Anderson[73]提出晶格結構中的無序導致電子局域化(安德森局域化),隨后Mott[74]提出遷移率邊的概念,即遷移率邊以上的高能量電子表現出擴展性質,低能量電子表現出局域化性質.安德森局域化現象依賴于介質的維度,對于一維無序系統所有的態都是局域的.隨著對無序系統的深入了解,研究發現無序系統中局域態的局域化長度以及波的傳播受到其結構的種類影響[69].無序種類由無序譜表征,兩個極端情況分別為有序系統和非關聯無序系統,目前對于無序系統分類所使用的有序度量(order metric)的研究仍是一個開放的問題.盡管對于無序分類的度量及其影響無序系統中波傳播行為的理論計算是個很復雜的問題,近些年來利用集成光學系統研究無序系統中的物理問題取得了一系列的進展,這得益于該系統的可操縱能力,可以對無序結構進行靈活設計.

早在1989 年就已經有理論預言光在無序系統中橫向的局域化現象[75],直到2007 年以色列理工學院Segev 研究組[76]才首次在二維光子晶體結構中觀察到這一現象(如圖4(a)).他們利用光感應技術在10 mm 長鈮酸鍶鋇光折變晶體(SBN:60)中誘導周期性的三角晶格式折射率分布,進一步在每個格點上加入隨機擾動使得折射率以一定的無序度改變,另外結構中要保證無序是不隨時間變化的,即沿傳播方向折射率分布不變[76].2008 年Lahini等[44]在一維等間距的耦合光波導陣列(鋁砷化鎵波導)中也實驗觀察到了安德森局域化現象,描述該系統的哈密頓量可以用(2)式表示,實驗中他們控制耦合波導之間間距不變,而每個波導的寬度在一定范圍內隨機變化(對角無序).他們理論預測并且實驗觀察到了局域態的傳播,對于有限系統同時也存在擴展的本征態,而這些擴展態在無限系統下將是局域的,只是局域化長度會更大.早期這兩項研究工作也都討論了非線性效應對于安德森局域化的影響,他們發現非線性效應會增強局域化過程,這與更早之前非線性自聚焦效應導致的光孤子的結論相像[77].隨后研究者也在波導間距隨機變化(非對角無序)的飛秒激光直寫玻璃光波導陣列中觀察到了安德森局域化現象[78].光在不同無序度下的擴散過程也被廣泛研究并被實驗上觀察到,如光在周期系統中的擴散是彈道式輸運過程[13],在無序系統中表現出局域化特征[44,71,76],在一定無序度的結構中表現出擴散式過程[79](擴散速度介于前二者之間).安德森局域化要求勢場是不隨時間變化的,而對于無序含時的系統,Segev 研究組[80]發現波的輸運表現出超傳輸(hyper-transport)現象,即擴散速度快于周期系統中的彈道式輸運過程,并且動量空間譜寬也隨時間擴展.近來,人們在無序鈮酸鋰光子晶體和硅光子晶體結構中也觀察到了安德森局域化現象[81,82].

圖4 (a) 二維無序光子晶格中的安德森局域化現象[76];(b) 一維準周期飛秒激光直寫光波導陣列[85];(c) 飛秒激光直寫螺旋式波導陣列結構實現Floquet 拓撲絕緣體[25];(d) 彎曲波導陣列實現等效磁場,模擬Aharonov-Bohm 效應[89];在耦合環腔陣列結構中產生(e) 拓撲絕緣體激光[90]、(f) 拓撲保護多光子量子光源[91];(g) 基于谷光子晶體結構設計等比分束器并實現雙光子量子干涉[57];(h) 無序拓撲安德森絕緣體結構[92];(i) 基于一維SSH 模型在硅基結構中產生關聯光子對[93];(j) “含時”哈密頓量系統用于研究拓撲泵浦[87];(k) 奇偶-時間對稱與對稱破缺交界面處局域的拓撲邊界態[94];(l) 非厄米SSH 模型中非線性對奇偶-時間對稱相變過程的影響[22]Fig.4.(a) Anderson localization in a two-dimensional photonic lattice[76];(b) simulation of one-dimensional quasicrystals in femtosecond-laser-written (FLW) optical waveguides[85];(c) realization of photonic Floquet topological insulators in a FLW helical waveguide array[25];(d) realization of an effective magnetic field and simulation of Aharonov-Bohm effect using curved waveguide arrays[89];generation of (e) topological insulator laser[90] and (f) multiphoton quantum source[91] in coupled resonator arrays;(g) design of a 1∶1 topological beam splitter in valley photonic crystals and realize the two-photon quantum interference[57];(h) photonic topological Anderson insulator[92];(i) generation of biphoton state in a SSH photonic lattice[93];(j) topological pumping in a system described by a time-varying Hamiltonian[87];(k) topological edge state in a photonic lattice at the interface between the structures with and without parity-time symmetry[94];(l) nonlinear tuning of PT symmetry and non-Hermitian topological states[22].

耦合光波導陣列系統靈活的可調控能力也被用來研究準周期晶格結構(介于周期系統與無序系統之間)中的物理.準周期系統缺少長程平移對稱性,表現出準周期性(長程有序),其中兩個典型的例子分別為Harper 模型和Fibonacci 模型.Harper模型是外加磁場的二維方格模型在一維模型上的投影,可以用來研究Hofstadter 蝴蝶能譜、拓撲邊界態等[83].Harper 模型和Fibonacci 模型理論上具有相同的拓撲分類[84],隨后實驗上通過對局域邊界態有無的觀察證實了這一觀點[85](如圖4(b)所示).通過調制波導折射率和耦合系數的分布,研究者實驗上分別實現了對角[86]和非對角[87]準周期一維光波導陣列,并在相應系統中觀察到了局域-去局域化轉變過程.另外,Segev 研究組[88]利用原先樣品的制備技術在準周期系統中引入無序度,并且觀察到了與周期系統不同的無序增強準周期系統輸運過程的現象.

3.2 拓撲光子學

拓撲絕緣體是一類在材料體內絕緣,特定邊界上表現出導體性質的結構.這一類結構具有一些優良的性質,如電子的魯棒性傳輸,沒有背向散射等[23,95].2016 年諾貝爾物理學獎頒給了David Thouless,Michael Kosterlitz 和Duncan Haldane 三位物理學家以獎勵他們在拓撲相變方面的研究.拓撲絕緣體的研究起源于對于量子霍爾效應的拓展探索,即電子在二維周期晶格勢場下外加電磁場的行為.Thouless 等[96]發現電子電導跟描述系統能帶的常數有關(TKNN 數),系統的拓撲相由該拓撲數描述.在具有不同拓撲性質的域(domain)的邊界上有局域的邊界態,邊界態的個數與兩個域的拓撲數有關,即體邊對應關系.拓撲相變不具備傳統相變中的自發對稱破缺過程,而是伴隨著拓撲數的突然變化.2008 年,Haldane 和Raghu[97]從基本的麥克斯韋方程出發,理論提出在破壞時間反演對稱性的光子晶體結構中也具備像電子系統中的拓撲邊界態現象.隨后2009 年Wang 等[98]在磁光子晶體中進行了實驗驗證,但相應材料體系的磁光系數較低,往往需要超強的磁場,這在實驗上是比較難實現的.近些年來隨著集成光學系統加工工藝的成熟,很多新奇的拓撲物理現象得以被實驗實現.

拓撲相變過程要求系統的能帶被打開,對于二維周期系統,需要通過破壞其時間反演對稱性或者空間反轉對稱性來實現.前面提到的在周期晶格結構中外加磁場可以破壞時間反演對稱性,而光學系統的磁效應比較弱難以實現拓撲能帶,取而代之的是通過設計哈密頓量實現有效磁場,如周期性調制格點間躍遷概率、采用螺旋式波導陣列等.2013 年Rechtsman 等[25]提出利用螺旋形波導結構破壞時間反演對稱性(z-reversal symmetry),他們利用飛秒激光直寫技術制備如圖4(c)所示的六角晶格光波導陣列,通過坐標變換將勢場分布轉換為不含時的分布,系統的哈密頓量可以表示為

等效規范勢A(z)=k0R?[sin(?z),?cos(?z),0],Ω,R分別為螺旋波導的轉彎頻率和半徑.緊束縛近似下,波函數的演化滿足其中c是波導間耦合系數.由于哈密頓量耦合項是“含時”的,其本征態需要用Floquet 模式ψn=exp(iβz)?n(?n是關于z的周期函數)求解.對于螺旋形六角晶格結構,他們求解發現系統能帶在狄拉克簡并點打開,并且在帶隙中存在方向性傳輸的拓撲邊界態.由于拓撲邊界態僅支持順時針方向的模式,因此該系統中邊界態的傳播沒有背向散射,并且對于邊界上的缺陷或者無序的存在不敏感,他們進一步在實驗上證實了這些結論.2014 年Longhi[99]提出通過線性調制光晶格中波導的傳播常數來實現有效磁場,從而用于構建Aharonov-Bohm 籠子(AB cage,有效磁通量為 π).這一理論設計于2018年被Mukherjee 等[89]在飛秒激光直寫光波導陣列中觀察到.實驗上他們采用圖4(d)所示的彎曲式波導陣列結構,等效地使得傳播常數線性變化.在加工每一根波導時沿著傳播方向周期變化直寫速度,使得傳播常數“含時”變化,另外需要控制波導間距不變使得耦合系數近似恒為常數,系統的等效哈密頓量為

其中有效耦合系數Jeff是復數,分別表示粒子在第s個晶胞A,B,C三種格點上的產生(湮滅)算符.哈密頓量中的有效磁通量與周期調制傳播常數的控制參數有關.實驗上他們展示了磁通量為 π 時,分別在體內和邊界上激發時光強的呼吸運動現象,邊界態的呼吸頻率要遠低于體態的呼吸頻率.值得一提的是,2018 年Keil 等提出通過在兩個耦合波導中引入傳播常數失諧的輔助波導也可以實現等效的 π 相位的耦合[100],他們進而以此構建了AB 籠子并且觀察到了體態和邊界態的呼吸運動現象[101].

在2.3 節中介紹的基于耦合環腔陣列的拓撲結構具有時間反演對稱性,但是在考慮了贗自旋后,哈密頓量中則引入了等效磁場,對于兩種贗自旋其邊界模式的手性相反.在這些系統中,只要結構的缺陷或者無序大小不會引起兩種贗自旋模式混合,單向的邊界模式就能受到拓撲保護.這些模型近來也被應用于拓撲激光、量子信息的研究:2018 年Bandres 等[90]在磷砷化鎵銦(InGaAsP)環腔陣列中實現拓撲絕緣體激光,他們發現在拓撲平庸環腔陣列中出射多模激光,而在拓撲結構中出射單模激光(如圖4(e)所示),并且在拓撲結構中產生的激光可以沿著邊界傳播,不受結構缺陷的影響,他們采用的環腔陣列結構基于圖2(a)所示的量子自旋霍爾系統.同年Mittal 等[102]基于硅四波混頻效應在類似的結構中(硅環腔陣列)實現了關聯光子對的產生,并且發現當泵浦光、信號光和閑頻光與邊界模式的頻率一致時,光子對的產生概率增強.隨后2021 年Mittal 等[103]基于反常量子霍爾模型以及雙泵浦技術在硅環腔陣列中產生頻率可調光子對,產生的光子對具有能量-時間糾纏特性,并用于量子干涉實驗.2022 年Dai 等[91]基于Floquet 拓撲絕緣體結構在硅環腔陣列中產生多光子糾纏態(如圖4(f)所示),并且測量了在有無缺陷的結構中產生的糾纏態的保真度,從而證明了產生的Einstein-Podolsky-Rosen 態受到了拓撲保護.

除了前面提到的具有時間反演對稱性的耦合環腔陣列系統,研究發現在光子晶體中通過破壞系統的空間反轉對稱性也可以產生拓撲絕緣體結構.2007 年,牛謙研究組[104]設計石墨烯六角晶格結構使得兩個亞晶格格點能量不同,從而破壞空間反轉對稱性.他們發現該系統支持一對具有固有磁矩的贗自旋模式,并且與能帶中能谷的位置有關(狄拉克簡并點).他們進一步提出在外加電場下,不同能谷位置的載流子將沿著相反的方向傳輸,即能谷霍爾效應.基于這一模型,2013 年Khanikaev 等[105]在六角光子晶格結構中觀察到了邊界態傳輸,對于兩個相反的贗自旋態激發條件下光子的傳播方向相反.他們實驗上也證實了當結構中的缺陷或無序大小不引起兩個能谷的邊界態模式混合時,邊界態的傳播受到拓撲保護.隨后這種能谷霍爾拓撲絕緣體結構也被拓展到近紅外波段,如飛秒激光直寫光波導陣列[106]、硅光子晶體結構[107,108].近來谷光子晶體中的拓撲保護邊界態也被用到量子信息領域:2018 年Barik 等[109]在中心具有外延生長的InAs量子點的GaAs 谷光子晶體結構中觀察到了量子單光子源不同圓偏振模式的方向性發射.2021 年任希鋒研究組與董建文研究組在[57]硅能谷光子晶體結構中基于谷霍爾效應設計等比分束器結構(如圖4(g)所示),并在該結構中實現了量子干涉過程.谷光子晶體中的這類邊界模式也被用于實現拓撲激光[110],由于此設計基于光子晶體結構,因此結構尺寸比耦合環腔陣列系統更加集成化.

值得一提的是,2018 年Stutzer 等[92]利用扭曲的六角晶格結構的波導陣列實現了光拓撲安德森絕緣體模型.實驗上他們通過控制光入射到一維等間距波導陣列的角度來控制耦合進二維六角晶格波導陣列中的能量大小,從而實現處于帶隙中心的模式的激發(如圖4(h)所示).他們在破壞空間反演對稱性的基礎上改變子晶格中兩個格點的能量(折射率)來破壞空間反轉對稱性,使得系統能帶從拓撲相轉變到平庸相,實驗表現為觀察不到邊界態模式的激發.他們進一步又對每個格點的能量分布引入無序度(通過改變加工波導所使用的飛秒激光的掃描速度來改變折射率),系統能帶又轉變為拓撲能帶,實驗上觀察到了手形邊界態的方向性傳播.

對于一維系統,產生拓撲相要求系統具有某種對稱性,其中一個典型的例子是基于聚乙炔結構的Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型.SSH 模型具有手性對稱性,系統的哈密頓量可以表示為[111]

除了上述拓撲模型,耦合光波導陣列系統可用于構造“含時”哈密頓量來實現拓撲泵浦.在這一類系統中,通過絕熱改變系統的某個參數能夠實現拓撲邊界態的絕熱演化,即從其中一個邊界態絕熱演化到另一個邊界態,而不需要邊界態之間的耦合.2012 年Kraus 等[87]在鋁砷化鎵(AlGaAs)和飛秒激光直寫玻璃光波導中分別研究了準晶結構中的拓撲邊界態及其拓撲泵浦現象.用于研究拓撲泵浦的結構如圖4(j)所示,系統的哈密頓量可表示為

其中波導之間的耦合系數按照準周期分布,而控制絕熱泵浦的參數?沿著波導傳播方向(z軸)緩慢變化.他們研究發現二維整數量子霍爾系統的哈密頓量在考慮其中一個方向的周期性后,與之對應的動量k與絕熱泵浦參數有關(k=?a,a為晶格常數),因此通過掃描參數?可以實現拓撲邊界態在動量空間的絕熱演化.實驗上他們觀察到了光從陣列格點的一端穿過格點絕熱演化到另一端的現象.近幾年“含時”變化的波導陣列結構也被用來研究合成維度拓撲絕緣體[120]、四維量子霍爾效應[121]、Thouless 泵浦[122,123]等物理現象.

3.3 非線性和非厄米系統

光在非線性介質中的傳播存在群速度色散以及自相位調制效應,可以產生超短脈沖或者光孤子.非線性光波導陣列中的光孤子現象在1988 年被首次提出[124],1998 年在鋁砷化鎵光波導陣列中實驗觀察到[77],隨后2003 年在二維光折變SBN光子晶格中也觀察到了非線性光孤子現象[125].描述這一類系統的哈密頓量為[124]

其中En表示第n個格點處的電場強度,c表示粒子在相鄰波導間的躍遷概率.非線性項描述了第n個波導中的自相位調制,最后一項表示了相鄰波導的非線性重疊作用.通常自相位調制起主導作用,最后一項被省略.早些年有大量的關于光波導陣列中光孤子的理論和實驗研究工作[77,125,126].非線性導致光局域化增強的現象很容易讓人聯想到拓撲絕緣體中局域的邊界態,近些年開始研究非線性效應對于拓撲結構的拓撲相和拓撲邊界態的影響[127]: 2018 年Dobrykh 等[128]在微波環腔陣列中研究SSH 模型拓撲邊界態的非線性調諧,他們發現隨著泵浦功率的增大,電磁場更加局域在邊界處,并且觀察到了非線性藍移現象;2020 年Szameit研究組[26]利用飛秒激光直寫光波導系統實驗觀察到光Floquet 拓撲絕緣體中的孤子現象[21],隨后他們又發現非線性效應可以改變系統能帶拓撲性質,從而使得原本拓撲平庸的結構在非線性作用下轉變為拓撲絕緣體.

上述討論的物理模型中描述系統的哈密頓量是厄米的,即滿足能量守恒定律.而在真實的物理體系中,系統與外界環境之間往往存在耦合,有效非厄米哈密頓量近似是目前處理這一問題普遍采用的方法[129].非厄米系統中一個有趣的現象是當系統滿足奇偶-時間對稱性(PT 對稱)時,系統表現出與厄米系統一樣的實數能譜.通過調制哈密頓量非厄米項的大小,系統可以從PT 對稱未破缺相轉變到PT 對稱破缺相.系統處在PT 對稱破缺相時,能譜不再是實數分布,本征函數不再組成正交基.非厄米系統表現出許多新奇的物理現象,如趨膚效應、光漏斗效應等[130,131].集成光學系統在一定程度上可以實現光增益或損耗,近些年來被用于實現非厄米系統的量子模擬: 2010 年Rüter 等[132]基于摻鐵鈮酸鋰材料研究光在具有PT 對稱的非厄米耦合波導結構中的傳播,他們利用材料中的光折變非線性效應在其中一根波導中引入光學增益,實驗上觀察到了非互易的光的傳輸,即改變輸入端口后輸出端光強分布發生變化.2017 年Szameit研究組[94]利用圖4(k)所示的扭曲的飛秒激光直寫光波導陣列結構實現了非厄米SSH 模型的模擬,他們研究了該系統中PT 對稱未破缺-破缺相轉變過程與SSH 模型二聚作用大小(dimerization)的關系,最終實驗上觀察到了兩個不同PT 對稱拓撲相的交界面上存在局域的邊界態.2021 年陳志剛研究組[22]利用圖4(l)所示的分段式波導陣列結構實現非線性非厄米SSH 模型的模擬,他們理論研究了非線性項以及非厄米項對于系統能譜和本征態的影響,并提出通過判斷波導陣列中光流向有損或有增益的波導的方式來判斷非線性作用是否破壞了系統的PT 對稱性.實驗上他們使用弱相干光在偏置光折變晶體(SBN:61)中寫入這種帶有損耗的分段式結構(折射率改變可以維持1 h 以上),通過控制在界面缺陷波導處輸入的偏置場的方向來實現自聚焦和自散焦非線性效應,在實驗上觀察到了PT 對稱系統轉變為PT 對稱破缺的系統.另外非厄米系統的模擬也在光子晶體和環腔結構中得以實現[133].

4 數字型量子模擬

2.4節介紹了矩形多端口干涉儀,它的簡化版本(MZ 干涉儀替換為等比分束器加相移器)被用于模擬可實現通用量子計算的離散量子隨機行走模型,干涉儀網絡中的分束器相當于同時實現了經典隨機行走的拋硬幣操作(coin operator)和平移操作(shift operator).2012 年Osellame 研究組[12]利用飛秒激光直寫系統制備離散型量子隨機行走芯片,他們通過輸入雙光子偏振糾纏態表示水平/豎直偏振),測量輸出端口雙光子的分布實驗展示了玻色子(費米子)的聚束(反聚束)特征.2013 年他們又利用該系統制備了無序分布的離散型量子隨機行走線路[14],通過改變波導的相對長度使得光子在兩個行走方向的其中一臂引入隨機相位,從而在無序離散型量子隨機行走芯片中觀察到了安德森局域化現象,并觀察到了偏振糾纏光子對的局域化現象(如圖3(b)所示).2017 年Pitsios 等[134]利用激光直寫技術制備級聯芯片模擬自旋鏈淬火后的糾纏增長過程,其中第1 個芯片通過雙光子離散型量子隨機行走過程模擬5 個格點的自旋鏈上的演化過程,第2 個芯片上的熱光相移器用于測量輸出模式的糾纏度.

玻色取樣問題研究的是n個不可區分的單光子輸入到m(m>n)模式干涉儀中輸出端光子數的分布,這一問題的求解對于經典計算機而言是#P-hard 問題.對于一些特定的取樣問題,基于這一模型近些年來在超導系統和光學系統中展示出了量子優越性[135?137].在集成光學系統中,2013 年同年有3 篇研究工作分別在飛秒激光直寫光波導以及SOI 波導系統中實驗實現了玻色取樣(光子數為3,最多6 個光學模式)[15?17],2019 年Paesani等[138]在同一個硅芯片上實現了標準玻色取樣、散射玻色取樣,以及高斯玻色取樣(8 光子,12 個光學模式),關于玻色取樣的具體的介紹可以查閱文獻[139].

另外基于多端口干涉儀的集成光學芯片也被用來量子化學模擬,如在硅基光芯片上利用量子相位估計以及變分本征值求解法求解分子基態能量[138,140].對于具有n個量子比特的量子態,描述系統演化的哈密頓量的維度為 2n×2n,在量子化學中系統的哈密頓量H可以表示成關于系統尺寸具有多項式個數的泡利矩陣疊加的形式.因此,對于給定量子態 |ψ〉,算符H的期望值可以拆分成多個泡利算符期望值的線性疊加[141],泡利算符及其張量積的期望值可以通過對每個量子比特的局部測量得到.對于矩陣H的本征值求解問題,其最小本征值對應的本征態將使得Rayleigh-Ritz 商數最小,因而可以歸結為變分問題.基于這種思想,量子變分本征值求解法可以用于分子基態能量的求解: 首先制備初始量子態,利用量子期望值測量估計待測哈密頓量的期望值,進一步計算Rayleigh-Ritz 商數,根據得到的商的大小反饋回初始態制備過程,循環往復使得Rayleigh-Ritz 商數最小.在2014 年Peruzzo 等[140]考慮He-H+分子的哈密頓量可以表示成:

其中R表示核間距,表示子系統i中的泡利算符(i=x,y,z),展開系數h是實數.實驗中他們在硅基芯片上通過熱調相移器和干涉儀的結構完成初始量子態的制備以及期望值的測量.將輸出端符合計數的測量結果發送至經典處理單元,進一步反饋到初態制備的量子線路中,最終經過多次迭代可以得到不同核間距下He-H+分子的基態能量.2017年Paesani 等[138]利用貝葉斯估計在硅基芯片上模擬氫分子基態能量,他們的設計思想是基于貝葉斯量子相位估計算法[142]: 對于給定的哈密頓量H,其本征矢量 |ψ〉所對應的相位為?.首先假定要估計的相位?滿足高斯分布P(?) (先驗條件概率),基于貝葉斯定理根據量子態經過幺正變換以及泡利Z算符后的測量結果來計算相位?的后驗概率分布,然后將先驗概率分布替換為后驗概率分布,通過多次迭代提高相位估計的置信度.實驗上他們在硅基芯片上利用干涉儀以及熱調相移器完成初始態制備以及控制幺正操作,氫氣分子哈密頓量的本征態則利用Jordan-Wigner 變換轉化到量子比特基矢,進一步他們在硅基芯片上模擬了不同原子間距下的氫分子鍵能[138].2018 年Sparrow 等[27]利用可編程的三角形結構的干涉儀結構模擬了分子振動模式的動力學演化,他們首先將分子中集體的振動模式分解成多個局域的振動模式的疊加,這些局域的振動模式對應于芯片中不同的路徑,振動模式的演化則利用可實現任意幺正變換的干涉儀結構實現,實驗上改變不同的輸入態模擬了分子中不同振動模式之間的振蕩、能量轉移以及振動弛豫等過程.

5 總結和展望

本文總結了集成光學芯片上實現不同種類的量子模擬的研究進展,首先介紹了幾種常用光學體系用于實現量子模擬的基本物理原理,然后基于不同的實驗平臺介紹了集成光學芯片的幾種用途: 實現無序系統、拓撲絕緣體結構、非線性和非厄米系統的量子模擬,實現離散型量子隨機行走、玻色取樣模型,以及模擬量子化學中的分子能譜等.其中飛秒激光直寫光波導系統可以對波導折射率以及空間構型做靈活的調制,在相應的結構上觀察到了無序系統安德森局域化現象,利用“含時”波導陣列結構可以實現周期驅動Floquet 拓撲絕緣體結構、合成規范場、拓撲泵浦等結構的量子模擬;耦合環腔陣列系統由格點環腔和連接波導組成,通過調節連接波導中引入的相位或調節環腔之間耦合的透過率可以用于模擬量子自旋霍爾效應、反常量子霍爾效應以及Floquet 拓撲絕緣體,進一步結合硅基系統中的四波混頻效應可以用于產生具有拓撲保護的量子光源;光子晶體結構具有更加集成化的尺寸,通過破壞體系的空間反轉對稱性可以實現谷霍爾效應,從而在平面內對光實現大角度的無散射彎折;在線性物理模型中加入非線性效應可以引起結構能帶的變化,如使周期系統從拓撲平庸相轉變到拓撲相、使非厄米系統從PT 對稱相轉變到PT 對稱破缺相,這些新物理現象的實現需要用到如鈮酸鋰、鋁砷化鎵、磷砷化鎵銦、鈮酸鍶鋇光折變晶體等非線性光學材料;另外,基于硅基的多端口干涉儀結構具有很強的可重構能力、成熟的加工工藝,并且能夠產生片上量子光源,實現任意的幺正變換,被用于實現離散型量子隨機行走過程,玻色取樣以及分子能譜的研究.

限于篇幅,其他一些在集成光學芯片上有趣的實驗進展沒有涉及,如利用線性調制波導陣列中單根波導的傳播常數來模擬周期系統中的電子在外加力作用下的布洛赫振蕩或者Zener 隧穿效應[143?145],通過調節波導間距來研究量子系統中的耗散問題[146]、分形結構中的量子輸運過程[147]、六角圖上的快速到達問題[148]等,另外還有實現如高階拓撲絕緣體[149]、非阿貝爾幾何相[150,151]量子模擬等.

集成光學系統不同的材料平臺能夠發揮不同的優勢,從而用于實現某些特定任務的量子模擬.關于不同研究領域的交叉往往能催生出新物理原理或者新技術的突破,如關于非厄米、非線性以及拓撲絕緣體結構的研究催生了拓撲激光這種未來可能有實用化前景的技術.新奇的拓撲結構應用到量子信息領域有可能可以解決制備量子光源中頻率穩定性的問題,而基于集成光學芯片系統結合機器學習算法有可能進一步推動新物理結構量子模擬和更加實際化用途的實現.另外,需要指出的是利用集成光芯片實現量子模擬也會面臨一些挑戰,如需要盡可能的提升系統的可擴展性、可操縱能力.為了實現量子優越性展示或其他特定的實際應用,多比特、大規模、復雜系統量子模擬將成為未來的發展趨勢.在實驗技術層面上,大規模的集成光學系統將面臨著損耗、測量技術、實驗成本等方面的問題,通過嘗試新材料或者開發新技術,結合多種材料體系的優勢或許可以解決一些關鍵難題.復雜系統的量子模擬同樣要求理論方面的同步推進,反過來實驗上對于未知物理現象的觀察同時也能進一步完善描述復雜物理系統的理論.