基于超導量子系統的量子糾錯研究進展*

陳子杰 潘嘯軒 華子越 王韋婷 馬雨瑋 李明 鄒旭波 孫麓巖? 鄒長鈴?

1) (中國科學技術大學,中國科學院量子信息重點實驗室,合肥 230026)

2) (清華大學,交叉信息研究院,量子信息中心,北京 100084)

基于量子力學基本原理的信息處理技術,在計算、傳感等領域具有遠超經典技術的巨大潛力.隨著實驗技術的進步,量子調控技術得到突飛猛進的發展.在所有的量子信息處理平臺中,基于固體材料的超導系統,具有精確的量子調控能力、優異的量子相干性以及適合大規模集成化等優點.因此,超導量子系統成為當前最有潛力的量子信息處理平臺之一.目前的超導芯片能集成約一百個量子比特,已經可以展示量子系統的優勢,但進一步的發展受到系統噪聲的制約.為了突破這一瓶頸,借鑒經典信息中的糾錯技術發展而來的量子糾錯技術受到廣泛的關注.本文介紹了超導量子系統中量子糾錯的研究進展,主要包括超導量子系統的基本原理、常用的量子糾錯編碼方案、糾錯相關的控制技術以及近期超導量子糾錯的應用.最后,總結了超導量子糾錯領域面臨的七個關鍵問題.

1 引言

自1994 年彼得·肖爾(Peter Shor)[1]提出大數因子分解算法以來,量子信息處理領域就受到了廣泛關注.后續的研究證明,量子技術在計算、傳感、模擬等領域相較于經典技術具有巨大的優越性,科研人員將其視作下一代信息革命的重要戰略方向.良好的疊加性和相干性是量子技術展示其優越性的前提,但現實的物理系統會不可避免地與環境發生耦合,從而引入各種噪聲,使得量子系統的性能急劇下降,這成為限制當前量子技術發展的最大瓶頸.針對這一問題,彼得·肖爾[2]借鑒經典糾錯碼的思想提出了量子糾錯的概念,其核心思想是通過使用多個物理比特編碼邏輯比特的方式增加信息編碼空間的冗余度,使受到噪聲影響的量子態可以得到區分,且能通過實時反饋進行糾錯,從而恢復原始量子態以及其中存儲的量子信息.

目前各種物理平臺都在進行量子信息相關的研究,其中包括了離子阱、冷原子、NV 色心(Nitrogen-Vacancy center)、超導、光學等平臺.在這些物理平臺中,超導量子系統具有以下的優勢: 首先,超導系統是固態量子系統.基于目前先進微納加工技術,超導芯片具有較好的穩定性和可拓展性,且其工作頻率、能級間距以及耦合強度等參數都可以自由設計,相對于其他平臺更具有靈活性.其次,超導比特具有較好的相干性能.超導量子比特的門操作時間一般只需10—100 ns,與之對應,常用的基于純鋁材質的transmon 量子比特的相干時間可達10—100 μs 量級,而三維超導諧振腔的壽命更是突破1 ms[3,4],甚至可以達到秒量級[5].最后,超導系統具有較高的連通性.固態超導量子比特可以與微波光子飛行比特相互耦合實現米量級的超導比特之間的信息傳輸[6].除此之外,微波光子也可以進一步與聲子、可見光光子等進行耦合,實現多個不同物理體系之間的信息傳輸[7].

目前超導量子芯片集成的量子比特數量正在迅速提升.在公開學術論文報道中,國外單位谷歌(Google)、國際商用機器公司(IBM)已經率先實現了72 量子比特[8]和27 量子比特[9]的超導芯片.國內相關研究也處于領先地位,中國科學技術大學[10]、浙江大學[11]、中國科學院物理研究所[12]、北京量子院[13]等研究單位都具有50 量子比特左右的超導芯片的自主制備與表征能力.

基于當前的超導量子芯片的規模,相關科研單位已經進行了帶噪聲的中等規模量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)問題相關的探索,展示出了量子優勢[14,15],并在這一過程中進一步發展了量子近似優化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)、變分量子本征求解器(variational quantum eigensolver)等新型算法[16,17].另一方面,為了進一步提升超導芯片的整體性能以及最終實現普適量子計算機,量子糾錯方面的研究也得到前所未有的重視.本文以超導量子系統為依托,重點介紹了量子糾錯的研究進展.第2 節介紹了超導系統的基本原理,即超導量子系統核心的物理器件以及進行量子調控的方式.第3 節講述了超導系統中常用的糾錯碼,包括表面碼(surface code)在內的二能級編碼以及基于諧振子的玻色編碼,并簡述了容錯量子計算的相關概念.第4 節簡述了近年來針對量子糾錯開發的關鍵控制技術.第5 節討論了近期量子糾錯在度量學、量子通信以及錯誤緩解等領域的應用和潛力.最后,總結了超導量子糾錯領域所面臨的7 個關鍵問題.

2 超導量子系統的基本原理

目前超導量子芯片最核心的器件是約瑟夫森結(Josephson junction),其帶來的非線性使得超導諧振電路具有非簡諧的能級分布,可以單獨控制能級之間的躍遷.這為量子比特的編碼、調控以及不同量子比特之間的相互作用提供了基礎.

約瑟夫森結由兩層超導體中間夾一薄絕緣層構成,一般由超導鋁及絕緣氧化鋁堆疊組成.在超導轉變溫度下,超導電路中電子兩兩組合為庫伯對形成超導電流,其在約瑟夫森結內的流動是無損耗的.此時電路等價于一個電容并聯一個非線性電感的量子LC 電路,從而實現了非等間距能級分布.超導量子比特可以編碼在其中最低的兩個能級上,通過合理的設計可以使這兩個能級與第二激發能級的兩組能級差別巨大,從而實現編碼空間與其他子空間之間的隔離.目前,大部分超導量子電路的諧振頻率都設計在GHz 量級.為了實現超導態和約瑟夫森效應,并抑制GHz 頻段的熱激發,一般還需要通過稀釋制冷機將超導芯片冷卻到低至10 mK 的超低溫.

通過設計約瑟夫森結與外加并聯電容以及電感可以得到不同構型的量子比特,如電荷量子比特、相位量子比特以及磁通量子比特等[18,19].目前,由電荷量子比特改進而來的transmon 比特在國際上被廣泛使用,其由約瑟夫森結兩端并聯一個大旁路電容組成,如圖1(a)[15]所示.此構型使得約瑟夫森結的能級對環境電荷漲落不敏感,從而具有較長的相干時間.目前,國內外科研單位,如中國科學技術大學[10]、北京量子院[13]、清華大學[20,21]、中科院物理所[12]、浙江大學[11]、南京大學[22]、深圳量子院[23]、谷歌公司[8]、國際商用機器公司[9]、蘇黎世聯邦理工學院[24]、代爾夫特理工大學[25]等均是基于transmon 比特進行研究.

圖1 (a)二維transmon 量子比特結構示意圖(圖片來自文獻[15]).左右兩邊黃色電路分別表示一個transmon 量子比特,其中交叉表示約瑟夫森結,其兩端并聯大旁路電容,而中間的黑色電路表示輔助模式,用于兩個量子比特之間的可調耦合.(b)三維超導諧振腔與transmon 量子比特耦合結構示意圖(圖片來自文獻[45]).橙色和綠色區域為高純鋁制備的三維超導諧振腔,兩腔通過鋁塊側面開孔與輔助超導量子比特進行耦合.(c)基于二維transmon 量子比特的架構(圖片修改自文獻[30]).圖中黃色線路為讀取用微波傳輸線,末端接隔離器和約瑟夫森參量放大器,用于讀取信號的單向傳輸和放大;綠色區域為讀取諧振腔;淺藍色區域為可調頻transmon 量子比特,量子比特之間通過一個共同的輔助模式B 耦合;紅色線路為transmon 量子比特的微波驅動線,藍色線路為transmon 量子比特的磁通驅動線.(d)三維諧振腔架構拓展示意圖[53].紅色和綠色方塊為transmon 量子比特,淺淥色部分為高Q 超導諧振腔(用于存儲量子信息),灰色部分為低Q 超導諧振腔(用于transmon 量子比特的讀取).諧振腔與transmon 量子比特通過電容直接耦合Fig.1.(a) Structure of coupled two dimensional (2D) transmon qubits (Reprinted with permission from Ref.[15]).The left and right circuits (yellow) represent two transmon qubits,where each cross represents a Josephson junction and its two ends are coupled with a large capacitor.The middle black circuit represents the auxiliary mode for adjustable coupling between the two qubits.(b) Structure of 3D superconducting cavities coupled with transmon qubits (Reprinted with permission from Ref.[45]).The orange and green parts are the three dimensional (3D) superconducting cavities made of high-purity aluminum,and the two cavities are coupled to the auxiliary superconducting qubits through trenches on the sides of the aluminum block.(c) Architecture based on 2D transmon qubits (Reprinted with permission from Ref.[30]).The yellow lines in the figure are the microwave transmission lines for readout,and are connected with an isolator and a Josephson parametric amplifier,which are used for one-way transmission and amplification of the readout signal.The green parts are the readout resonators.The light blue parts are the tunable transmon qubits,which are coupled by a common auxiliary mode B.The red and the blue lines are the microwave drive and the flux drive lines for the transmon qubits respectively.(d) Architecture based on 3D superconducting resonators[53].The red and green squares are transmon qubits,the light green parts are the high-Q superconducting resonators (for storing quantum information),and the gray parts are the low-Q superconducting resonators (for readout of transmon qubits).The resonator is directly coupled to the transmon qubit through a capacitor.

借助成熟的微波電子學設備可以實現對超導系統的精準調控.通過對超導線路施加不同頻率和相位的微波脈沖可以實現對單個transmon 比特的任意單比特門操作.相對而言,兩比特門的實現較為復雜,需要兩個比特之間有相互耦合,而且由于固定的耦合強度會導致比特狀態持續相互影響,引入不可糾正的串擾錯誤,因此大規模應用時必須保證可以實時調節耦合強度.從線路連接的角度上,其中一種方式是通過兩個超導比特之間的電容或電感實現直接耦合,并引入超導量子干涉儀(superconducting quantum interference device,SQUID)

實現比特的頻率可調或作為可調電感,即通過調節超導量子干涉儀的磁通來調節兩個比特之間的失諧或者耦合系數,進而實現兩比特耦合的調節.這種方式調節應用范圍廣、速度快,但容易受到環境磁通噪聲的影響[18,19].另一種方式是通過輔助模式間接耦合,其中輔助模式本身頻率可調且具有一定非線性,故可以通過調節輔助模式頻率來實現兩比特耦合的調諧[26–29].值得注意的是,一個輔助模式可以連接多個比特,進而實現多個比特的同時耦合[30].

目前,超導系統的單比特門誤差已經低至0.092%[31],而在單一芯片上特定兩transmon 量子比特間的雙比特門最高保真度都可以超過 99% .從物理實現的角度,雙比特門可以籠統地分成兩類,其中有代表性的一類是在兩個比特之間存在直接或間接耦合的情況下,利用快速類方波電壓信號調節比特能級,這種方法實現的CZ 門保真度可以達到 99.7%—99.9%[28,32,33],另一類則是不調節比特能級,直接利用高頻微波驅動,如通過交叉共振(cross resonance)效應實現的兩比特CNOT 門,其保真度可以達到 99.4%—99.7%[9,34].

目前超導量子比特的讀取一般采用色散讀取(dispersive readout)方式[35,36].將transmon 量子比特與一個讀取諧振腔進行色散耦合,當比特處在不同狀態時,讀取腔的頻率發生偏移,此時探測讀取腔的頻移即可判斷比特狀態,實現對量子比特量子態的投影測量.由于對讀取腔的探測不與比特發生直接能量交換,量子比特的狀態可以在測量完成后得到保持,這種讀取方式比較容易實現量子非破壞性測量(quantum non-demolition measurement,QND).為了提高讀取速度,需要讀取腔與測量電路的耦合比較強,此時transmon 量子比特的壽命會受到讀取腔珀塞爾(Purcell)效應的限制[37],因此還需要增加珀塞爾濾波器來保護比特,使比特的能量不容易通過讀取腔泄漏到測量電路中[38,39].為提高讀取保真度,一般還需要使用約瑟夫森參量放大器(Josephson parametric amplifier,JPA)[40]對讀取信號進行放大.此類放大器利用約瑟夫森結的非線性效應,可實現20 dB 的放大效果和接近量子極限的信噪比[41,42].在合適的信號放大鏈路的輔助下,目前可以實現單發測量(single shot)保真度大于 99% ,讀取時間小于 100 ns[43],僅相當于數個單比特門的時間,因此易于實現基于測量的反饋糾錯、比特重置等操作.

如前文所述,量子比特可以直接編碼在transmon 等非線性結構的能級上,此外,還可以在此基礎上將transmon 量子比特與高品質因子的線性超導腔進行色散耦合,利用超導腔來編碼和存儲量子信息,而transmon 量子比特作為輔助比特對超導腔進行控制.由于超導諧振腔的結構簡單,可以很好地束縛腔內電磁場,且外圍線路較少從而減少電磁環境噪聲的干擾,因而超導腔一般具有很高的相干時間.采用純度高的鋁材(純度5N5,99.9995%),經過適當的機械加工和化學刻蝕工藝制成的超導腔的Q值可以達 109[44].圖1(b)[45]是transmon 比特與兩個三維超導腔耦合的結構示意圖,其中Q值較高的腔相干時間較長,用于量子態的存儲,而Q值較低的腔用于系統狀態的測量.目前耶魯大學以及清華大學超導課題組均采用這一架構,此外,亞馬遜公司(Amazon Web Services)也計劃使用這一架構進行相關糾錯研究[46],蘇黎世聯邦理工學院也計劃將這一架構拓展至聲子[47].

超導量子系統的主要非相干噪聲來自于外界電磁場的漲落、比特與外界真空場以及與基底材料中雜質之間的耦合.這些噪聲會導致比特的熱激發、自發輻射以及退相位.相關的物理過程表示成主方程形式即為

提升超導量子比特的相干時間和量子操作保真度是未來實現量子糾錯并達到容錯量子計算的前提.為了實現這一目標,在硬件上一方面可以通過改良超導比特的材質和制造工藝,如普林斯頓大學[48]和北京量子院[49]使用金屬鉭替代鋁制備超導電路,使得transmon 量子比特最長相干時間提升至500 μs[49];另一方面可以嘗試改變比特的電路架構,制備不同類型的比特,從比特哈密頓量設計層面降低噪聲源對比特性質的影響,如約瑟夫森結并聯一個較大電感的fluxonium 架構等[50].此外,對于多量子比特系統,還需要考慮比特之間微波信號串擾和殘余耦合等帶來的關聯噪聲,可以通過優化微波線路和操控方式[51]、增加可調耦合器[52]等方式抑制關聯噪聲.

3 量子糾錯編碼方案

由于與環境的耦合,實際物理體系中存在著各種噪聲,環境噪聲會導致系統的退相干并破壞量子態中的信息,且計算過程中控制偏差會不斷地積累.這些因素使得量子計算的精度隨著線路深度的增加而急劇下降,這是當前量子信息領域的挑戰.

為了對抗噪聲,彼得·肖爾[2]在1995 年對經典計算機系統中的糾錯碼思想進行了推廣,提出了最簡單的量子糾錯碼—三量子比特的重復碼(repetition code)用來糾正比特的位翻轉錯誤.隨后發現的閾值定理告訴我們,當門操作的噪聲低于某個閾值的時候,人們總是能夠在可接受的資源需求下通過多級糾錯碼級聯的方式擴大編碼距離,增加更多的信息冗余,實現任意精度的量子計算,即所謂的容錯量子計算[54,55].相對于經典糾錯碼,量子糾錯碼的構建更加復雜.這是因為量子系統會受到量子定律的限制,例如量子不可克隆定律會限制非正交的未知量子態的精確復制,因此量子糾錯碼無法通過簡單的復制來增加冗余.幸運的是,1997 年尼爾(Knill)和拉夫勒蒙(Laflamme)[56]證明了著名的K-L 糾錯條件,其可進一步概括成以下形式[57]: 對于量子編碼C及其投影算符P,在噪聲信道作用下以C為編碼的量子態可以被恢復的充要條件是

其中α為厄密矩陣,Ei為信道對應的克勞斯(Kraus)算符.如圖2 所示,從希爾伯特(Hilbert)空間來看,編碼操作將待保護比特上的量子態(圖中黃色箭頭)映射至編碼空間中(圖中藍色圓圈),而滿足上述K-L 條件的噪聲將邏輯編碼空間投影到不同的正交子空間中,并且這些子空間內部不發生形變,后續的錯誤診斷通過對投影算符的測量,得知量子態所在的子空間(如圖中綠色圓圈),從而推斷出量子態所遭受的噪聲并進行反饋糾錯操作,編碼空間中的量子態就得以恢復.這一點可以從以下過程看出: 由于α為厄密矩陣,故存在一個幺正矩陣U可以對α進行對角化,即α=U?dU,其中d為對角矩陣.定義,由于克勞斯算符和表示具有酉自由度,即由幺正演化聯系的{Ei}和{Fk}都表示同一噪聲信道,通過這樣定義的{Fk},K-L 條件可以表示為

圖2 糾錯流程圖.藍色的圓圈表示編碼空間,綠色的圓圈表示錯誤空間,黃色的箭頭表示要保護的量子態Fig.2.Diagram of quantum error correction.The blue circles represent the code space,the green circles represent the error space,and the yellow arrows represent the quantum states to be protected.

在實際物理系統中的噪聲形式是多種多樣的,但是當噪聲很弱且獨立地作用于不同物理比特的時候,只要能糾正編碼中任意單比特上的相位翻轉噪聲、位翻轉噪聲以及兩者同時發生的情況,即就可以糾正任意單個比特上的任意獨立噪聲.

自量子糾錯概念提出以來,已經有相當多的基于不同思想構造出來的量子糾錯碼.其中1996 年由戈特斯曼(Gottesman)[58]總結的穩定子碼是非常重要的一類量子碼,其涵蓋了表面碼、顏色碼等多種類型的編碼.如果一種糾錯碼的邏輯態空間是一組互相對易的算符{Os}的+1 本征空間,則稱這種編碼為穩定子碼,而Os是這種編碼的穩定子.一般而言,選擇泡利群的子群S來作為編碼的穩定子會較為方便,這是因為泡利群的群元素只有對易和反對易兩種對易關系,而且位翻轉噪聲和相位翻轉噪聲都在此群中.若S被其生成元{g1,···,gn?k}所描述,可以證明n個物理比特在S群的穩定下可以編碼 2k維的子空間,即k個邏輯比特.對錯誤的診斷過程只需要對所有的生成元進行測量即可:當發生錯誤且錯誤滿足K-L 條件的時候,生成元算符的測量結果會發生改變,從而能檢測出對應的錯誤類型并隨后可以加以糾正.

具體到超導系統,量子信息編碼主要可以分成兩種類型.一種是二能級類型,適用于transmon量子比特的架構,只使用其最低能量的兩個量子態作為物理比特的編碼空間,因此需要通過增加比特數量來增大希爾伯特空間冗余度來實現糾錯.另一種是玻色模式類型,適用于超導輔助比特與諧振腔耦合的架構,利用腔的多個能級進行編碼.由于單個腔就支持無窮大的希爾伯特空間,故其具有多種編碼方式,既可以截斷希爾伯特空間至有限的維度進行編碼,如二項式編碼(binomial code)[59],也可以使用整個希爾伯特空間進行連續變量類型的編碼,如貓態編碼(cat code)[60,61]和GKP 編碼(Gottesman-Kitaev-Preskill code)[62].注意,各種編碼之間的區分并不是非常嚴格,而且是可以相互級聯的,如可以使用玻色編碼作為底層二能級系統,然后再級聯二能級編碼可以增加編碼的糾錯能力[63–66].

3.1 二能級類型糾錯碼

二能級類型編碼的思想是以二能級的量子比特為基礎,通過增加物理比特數目來增強糾錯碼的糾錯能力.按照實現方式的差異,底層物理比特又可以分成兩種類型,一種是無源量子比特,通過構造超導系統的結構,使得系統的兩個基態能級與其他能級之間的躍遷能量較大,則可以利用這兩個能級實現相對隔離的二維空間來進行量子比特編碼.超導transmon 量子比特最簡單的編碼方式就是使用能量最低的兩個能級進行編碼.由于約瑟夫森結的非簡諧性,在驅動過程中系統躍遷至第三及以上能級的概率可以忽略不計,從而使系統基本處于編碼空間內.另一種是有源量子比特,通過外加連續的驅動或者構造某種形式的耗散來調節系統與環境的耦合形式并構造新的基態能級,從而實現更好相干性能的二維空間[67],例如后文所述的耗散型貓態編碼(dissipative cat code).

為了描述以二能級量子比特為基礎的編碼的糾錯能力,一般用 [[n,k,d]] 表示n個物理比特編碼k個邏輯比特且碼距為d的編碼方案,其可以對抗任意個物理比特上的噪聲.此外,上述的參數可以進一步推廣至以任意d個能級為基礎的編碼,即qudit.

基于二能級物理比特的糾錯碼包括多種類型的編碼,其中超導系統相關實驗中比較常見的是重復碼(repetition code)及表面碼(surface code)等.

3.1.1 重復碼

重復碼是最早提出的量子糾錯碼,其能對抗物理比特上的位翻轉噪聲,即 .重復碼的編碼方式也最為簡單,n個比特(n須為奇數)重復碼的邏輯態為|0L〉=|0〉?n,|1L〉=|1〉?n,碼 距d=n.從穩定子的角度來看,其對應的穩定子只涉及到鄰近的兩個比特,即(i=1,2,···,n ?1),因此重復碼的錯誤診斷以及糾錯操作均可容易地在實驗中實現[25,68–73].但是由于其無法糾正單比特上的相位翻轉()噪聲,故實際效果受限.前文所述的這種重復碼一般也稱為位翻轉編碼.此外,借鑒其思想可以將邏輯比特編碼為|0L〉=|+〉?n,|1L〉=|?〉?n,則能糾正物理比特上的相位翻轉噪聲,即這種重復碼一般稱為相位翻轉編碼.

3.1.2 表面碼

量子糾錯編碼不僅需要同時抵抗單個物理比特上的位翻轉和相位翻轉噪聲也要考慮到實際物理系統的限制.一般而言,要盡可能地使用物理比特的局域操作實現邏輯比特的操作,盡量避免使用物理比特間多體的和長程的相互作用,盡可能在二維平面上排列比特以及具有較高的容錯閾值.表面碼是能較好地滿足上述限制的編碼之一,因而得到廣泛的關注.

表面碼的概念源于基塔耶夫(Kitave)[74]在1997 年提出的環面碼(toric code).環面碼中物理比特之間的相互作用形式等價于將每個物理比特放置于環面之上,且只與其近鄰的比特相互作用.隨后環面碼被推廣至平面[75],即為表面碼[76].表面碼利用拓撲物質不受局域操作影響的思想,將量子信息編碼在整個區域中,即使局部的少數幾個物理比特發生錯誤也不會影響整體的信息.圖3(a)所示的是碼距d=8 的表面碼,其主要由兩種比特構建而成.一種是數據量子比特,用于儲存系統的邏輯量子態,在圖中用每條網格線邊上的白點表示,共有d2+(d ?1)2個.另一種是輔助量子比特,用于對其近鄰的數據量子比特不斷地進行錯誤診斷,即對穩定子算符進行測量.穩定子算符也可以分成兩種,第一種是以圖中的黃色菱形為例的A類型穩定子算符,其由菱形的四個頂點對應的數據量子比特的算符組成,即A=.這種穩定子算符一共有d(d ?1) 個,每個都可以對應一個放置于網格線交點處的黃色菱形(左右邊界上的A型穩定子由三個物理比特的算符組成).第二種是以圖中的藍色圓形為例的B類型穩定子算符,其由圓形周圍四個數據量子比特的算符組成,即B=這種穩定子算符一共也有d(d ?1)個,同理,每個也都可以對應一個放置于網格中的藍色圓形(上下邊界中的B型穩定子由三個物理比特的算符組成).

對于碼距為d的表面碼,邏輯的實現至少需要對其中任意一行d個數據比特都做局域操作,如圖3(a)中的紅色陰影線,而邏輯操作至少需要任意一列d個數據比特都做局域操作,如圖3(a)中藍色陰影線.由于相差若干個穩定子不會改變邏輯算符的作用,所以可以在藍色陰影線的基礎上不斷作用B類型穩定子算符,從而得到其他等價的邏輯,如綠色陰影線.這些邏輯算符都連接了表面碼的上下邊界,同理所有的邏輯都連接了左右邊界.由于等價邏輯操作的存在,只有當一行或者一列中一半及以上的數據比特發生比特位翻轉或者相位翻轉才會導致邏輯錯誤,因此表面碼對于局域噪聲有著很強的抵抗能力.勞森多夫(Raussendorf)及其合作者[77–79]證明,在只使用單比特門以及近鄰兩比特門的前提下,表面碼的容錯閾值可以達到 0.75% .

圖3 (a)d=8的表面碼及其邏輯算符 與 的 示意圖.圖中網格的每條邊上都有一個白點表示一個數據量子比特.黃色菱形以及藍色圓形分別表示其中一個A 和B 類型的穩定子.藍色和紅色陰影線分別表示邏輯編碼的和 算符.綠色陰影線表示藍色陰影線對應的算符乘上一個穩定算符,其也是邏輯 算符.(b)和(c)分別是A,B 類型穩定子算符測量的量子線路圖.此圖由文獻[76]改編Fig.3.(a) Schematic of d=8 surface code and the corresponding logical operators and .The white dots on each edge of the grid represent data qubits.The yellow diamonds and the blue circles represent A and B types of stabilizers,respectively.The blue and red shaded lines represent the logical and operators,respectively.The green shaded line represents the operator corresponding to the blue shaded line multiplied by a stablizer operator,which is also the logical operator.(b) and (c) are quantum circuits that measure the stabilizer operators of type A and B,respectively.This figure is adapted from Ref.[76].

錯誤診斷是表面碼糾錯的基礎.從物理架構來看,可以在每個黃色菱形以及藍色圓形中心放置一個輔助比特,這樣只需要通過輔助比特與數據比特之間的鄰近相互作用就可以進行錯誤診斷,對應的量子線路如圖3(b)和圖3(c)所示.具體來說,當由生成元集合{gi}所穩定的狀態經歷幺正演化U之后,新的狀態會被所穩定.由可知,如圖4(a)所示,當a比特上(圖中紅色交叉所示)發生比特位翻轉噪聲時,以此比特為頂點的兩個B類型的穩定子(圖4(a)中的兩個藍色圓圈)的測量結果均出現翻轉,而A類型穩定子的結果不翻轉,從而可以實現對單個比特位翻轉噪聲的錯誤診斷.一般來說,測量結果出現翻轉的穩定子對應的位置稱為缺陷.如圖4(b)中連續的多個比特位翻轉噪聲導致一條錯誤鏈,鏈的兩端各有一個缺陷.如圖4(c),對于左右邊界上的比特發生位翻轉只會在網格中引起一個缺陷,另一個缺陷可以視作處于左右邊界外.上下邊界發生相位翻轉噪聲同理.

多種噪聲也可能會對應同一個錯誤癥狀,如圖4(b)的綠色和藍色陰影線上的比特位翻轉都會導致同樣的錯誤癥狀(對于圖4(c)中的黃色線和淺綠色線同理),但是只要實際的噪聲E與糾錯操作E′之間只相差若干個穩定子算符,那么都可以糾正錯誤.由此可見,只要E′E在網格中形成一條完整的“閉合曲線”且曲線不同時連接表面碼的左右邊界,就可以糾正錯誤.具體來說,圖4(c)中黃色線和淺綠色線在左邊界與網格上缺陷形成了閉合曲線,所以也可以糾正錯誤,但是圖4(d)部分所示的E′E同時連接了左右邊界,因而導致了邏輯錯誤.在實際過程中錯誤診斷對應的情況遠比圖示復雜,需要借助算法對錯誤癥狀進行自動識別,如最小權重算法[80]和最大似然算法[81].在實際糾錯過程中,錯誤的糾正可不執行相應的門操作,只需要加以標記,采用所謂的泡利框架(Pauli frame)[82]的方式,先記錄發生的噪聲,在后續的門操作中再做糾正處理,此時系統的量子態是新的穩定子?A的本征態.

圖4 表面碼的錯誤癥狀及糾錯操作示意圖.圖中紅色交叉表示對應物理比特發生了位翻轉噪聲,藍色圓形表示測量結果異常的B 類型穩定子的位置,即缺陷的位置,陰影線均表示對線上的物理比特執行的 操作.四個區域分別對應以下情況: (a)網格中單個比特發生噪聲產生了兩個相鄰的缺陷;(b)網格中的連續的幾個比特發生噪聲產生了位于錯誤鏈兩端的缺陷,而藍色和綠色陰影線對應的操作均能糾正邏輯錯誤;(c)含有網格左邊界的比特的錯誤鏈導致單個缺陷的產生,淺綠色和黃色的陰影線對應的操作均能糾正邏輯錯誤;(d)含有網格左邊界的比特的錯誤鏈導致單個缺陷的產生,紅色陰影線對應的操作能糾正邏輯錯誤,但是紫色陰影線的操作會導致無法被錯誤診斷識別的邏輯錯誤Fig.4.Schematic of error syndromes and error correction operations of surface codes.The red cross in the figure indicates a bit-flip error occuring in the corresponding physical qubit,while the blue circle indicates the position of the B type stabilizer with abnormal measurement results,i.e.,the position of the defect,and the shaded lines indicate an operation performed on each of the physical qubit on the line.The four areas correspond to the following situations:(a) A single bit-flip error in the grid results in two adjacent defects.(b) Several consecutive bit-flip errors in the grid result in two defects located at the two ends of the error chain.Both the blue and green shaded lines can correct these errors.(c) The error chain containing a qubit on the left boundary of the grid results in a single defect,and the operations corresponding to either the light green or the yellow shaded line can orrect these errors.(d) The error chain containing a qubit on the left boundary of the grid results in a single defect.The operation corresponding to the red shaded line can correct these errors,but the operation corresponding to the purple shaded line causes a logic error that cannot be identified by the error syndrome.

表面碼的邏輯編碼空間由哈密頓量H=的兩個簡并基態能級構成,這一物理體系具有許多拓撲性質,成功地建立了糾錯碼研究與拓撲物態研究的關聯[83].具體來說,表面碼的邏輯態可以用穩定子算符表示為|0L〉∝,其對應的初態制備的方式有兩種: 第一種方式需要先制備 |0〉?n,注意到此量子態是所有穩定子Bp以及邏輯算符的 +1 本征態;然后需要對所有的穩定子As進行測量.經過測量后系統隨機塌縮在一個所有As算符都具有確定本征值的子空間中.從錯誤癥狀的角度來看,某個A型穩定子得到 ?1 的測量結果相當于編碼中若干物理比特“發生”相位翻轉噪聲(由于對易關系,此時的量子態仍是穩定子Bp的 +1 本征態,即不會“發生”比特位翻轉噪聲),此時執行相應的“糾錯”操作即可制備邏輯態 |0L〉 .此外,也可以如前文所述暫時不進行這一步糾錯操作.對于邏輯態 |1L〉 以及|±L〉的制備也是類似的,只需要制備 |1〉?n,|±〉?n再作用類似的操作即可.

另一種方式是直接使用相應量子線路實現.具體的步驟如圖5[84]所示,先制備 |0〉?n,然后對每個As算符所圍的正方形的頂點比特中作用H門操作,最后以邊上其他的比特為受控比特按照圖中的順序分別作用CNOT 門即可.具體的原理可以參考文獻[85].

圖5 (a)谷歌公司實驗[84]中制備表面碼初態所用超導芯片的架構以及對應穩定子測量結果.圖中白色的十字為數據比特,紫色和藍色的圖形分別代表 Bp類型和 As 類型的穩定子測量,圖中的數值是初態對應的穩定子測量結果的平均值.(b)表面碼初態制備對應的門操作線路Fig.5.(a) Architecture of the superconducting circuit used to prepare the initial state of the surface code in Google’s experiment[84]and the corresponding stabilizer measurement results.The white crosses are data qubits,the purple and blue regions represent stabilizer measurement results of type Bpand As,respectively.The values in the figure are the average values of the stabilizer measurement results corresponding to the initial state.(b) Operation circuit to prepare the initial state of the surface code.

根據前文所述,想要利用表面碼實現量子糾錯至少需要滿足以下條件: 一是要有足夠的物理比特編碼一個邏輯比特;二是不僅要能快速且高度并行地執行錯誤診斷,而且還要減少這一過程中輔助比特對數據比特的干擾;三是要求能根據錯誤癥狀快速進行錯誤尋址以及能通過反饋在后續門操作中糾正錯誤.因此,表面碼的實現對物理比特數量、單個物理比特的性能和門操作的保真度都有著很高的要求,需要材料、極低溫和電子學等各個領域的技術進步.

除了重復碼和表面碼之外,出于提高編碼效率或者實現容錯架構等考慮,人們一方面對表面碼進行了優化,如通過對表面碼網格的旋轉和修剪[86],使得在碼距d不變的情況下只需要d2個數據比特就可以編碼一個邏輯比特;另一方面提出了許多其他類型的編碼,如XZZX 編碼[87]、顏色碼(color code)[88,89]等.

表1 列出了近年來各個實驗組對表面碼、重復碼以及其他類型編碼的研究,包括谷歌公司、中國科學技術大學、蘇黎世聯邦理工學院、代爾夫特理工大學等.這些研究單位實現了不同碼距的表面碼的初態制備、錯誤診斷以及錯誤糾正等操作.如中國科學技術大學的研究小組在超導芯片中實現了17 比特的 [[9,1,3]] 表面碼的初態制備,并進行了11 輪次的錯誤診斷,在后選擇的基礎上將邏輯編碼|0L〉的壽命(T1)大幅度提升至 137.8 μs,與之相比,其芯片上最好的物理比特壽命只有 36.6 μs .而谷歌公司在近期的實驗中分別制備且表征了d=5 以及d=3的表面碼,并證明了前者在25 輪次的糾錯中具有更低的邏輯錯誤率,這首次展示了糾錯效果隨著編碼規模增加而得到提高.這些實驗都表明了量子糾錯的巨大潛力.然而,受限于物理比特的數量、壽命、超導線路的串擾以及門操作過程中的噪聲等因素,目前這些編碼仍未能有效提高邏輯態壽命,即未達到盈虧平衡點,只能利用錯誤診斷的信息在后選擇的基礎上進行量子糾錯的原理性展示和相關應用的探索.但是,隨著控制技術、硬件基礎以及糾錯編碼理論的完善,量子糾錯的未來可期.

表1 超導系統中二能級編碼的糾錯實驗進展.帶*號的是物理比特中最優的數據,/表示文獻中沒有直接給出相關數據.其中,文獻[72,90,91]的實驗均在國際商用機器公司的IBMQ 平臺上進行Table 1.Experimental progress on quantum error correction with two-level codes in superconducting systems.Datas with* refer to the optimal datas among the physical qubits./ indicate that the relevant datas are not directly given in the documents.The experiments in the Refs.[72,90,91] were implemented on IBMQ.

3.2 玻色類型糾錯碼

目前超導系統中另一種常用的架構就是將超導輔助比特與超導諧振腔進行色散耦合.在此架構中,諧振腔一般被用于編碼邏輯比特,而超導輔助比特則用于為諧振腔的量子操控提供必要的非線性.由于諧振腔模式本身就是一個具有無窮多個能級的玻色模式,因而本身就具有巨大的冗余空間,為量子態的編碼提供了多種方案.一方面,可以只利用其中有限個能級進行編碼;另一方面,也可以利用其無窮個能級進行連續變量類型的編碼.前者典型的例子是二項式編碼(binomial code),而后者典型的例子是貓態編碼(cat code)以及GKP 編碼(Gottesman-Kitaev-Preskill code).值得一提的是,玻色編碼除了適用于超導系統外還適用于離子阱以及光學等物理平臺.

3.2.1 二項式編碼

二項式編碼最早在 2016 年由耶魯大學格文(Girvin)課題組[59]提出,其邏輯態由有限個福克(Fock)能級加權疊加而成,因權重系數為二項式系數而得名.相較于其他玻色編碼,二項式編碼在相同的糾錯能力下具有更小的平均光子數,此外,其還具有嚴格正交的邏輯態以及幺正的糾錯操作等特點.二項式編碼可以在多項式展開下完美地糾正熱激發、自發輻射以及退相位噪聲,即可以完美糾正噪聲集合:

實驗進展方面,在高品質的三維諧振腔的平臺中,借助transmon 量子比特提供的非線性以及微波線路提供的相干驅動,最低階的二項式編碼以及基于梯度上升波形優化方法設計的任意單比特操作已被驗證[98],兩個二項式編碼量子比特之間的Cphase 門[45]、eSWAP 門[99]、傳送CNOT 門[100]等均被實現,而基于二項式編碼的錯誤透明(error transparent)邏輯門也被驗證[101].

3.2.2 貓態編碼

2013 年,萊格塔斯(Leghtas)等[60]最早提出四分量貓態編碼的構想,用于對抗單光子自發輻射噪聲.其編碼形式為

這種編碼可以推廣至抵抗更高階的自發輻射噪聲,其編碼為[102]

從上式可以看出,|0/1L〉 都是不同相位的相干態的線性疊加的形式.此編碼可以抵抗至多n/2?1個光子自發輻射噪聲.與二項式編碼類似,這種貓態編碼也具有特殊的宇稱,但是其分布在無窮個福克能級上.當自發輻射的光子數小于n/2?1時,邏輯態中的相干態成分前面會多出一個相位,且福克空間的宇稱會發生改變,但不會影響到編碼的信息.因此可以通過宇稱測量進行錯誤診斷,并通過反饋執行糾錯操作來抵抗自發輻射噪聲.然而,光子的自發輻射會不斷地使相干態的平均光子數衰減至真空態,所以貓態編碼需要不斷地輸入能量,即需要實現穩定操作使得系統狀態被限制在編碼空間中.

除了使用梯度上升波形優化等方式直接設計幺正演化進行制備外,貓態編碼的初態制備還有兩種方式.一種是絕熱制備[104],可以將初態制備在{|0〉,|1〉}的福克能級,然后緩慢地增強多光子驅動強度,系統的狀態將絕熱地演化到對應的邏輯態上,此過程中驅動強度的變化需要足夠平滑以滿足絕熱條件.另一種是無躍遷(transitionless)制備[103],通過引入輔助哈密頓量使得系統每一時刻的狀態 |ψ(t)〉 都是的本征態,從而可以快速實現初態制備,減少噪聲的影響.

方便起見,對于最低階n=2 的編碼我們一般使用計算基矢因為其編碼空間只有兩維,沒有足夠的信息冗余來進行糾錯.對于這種編碼,單光子的自發輻射噪聲僅僅引起編碼空間的比特相位翻轉錯誤,其錯誤率會隨著著 |α|2的增大呈線性增長,但退相位噪聲導致的位翻轉錯誤則得到指數的抑制.這種特殊的噪聲偏置特性使得貓態編碼能夠與重復碼這種類型的簡單的二能級編碼進行級聯,實現容錯量子計算.

從相空間的角度看,二項式編碼(圖6)和貓態編碼(圖7)的維格納函數都具有旋轉對稱性,都屬于旋轉對稱玻色編碼(rotation-symmetric bosonic code)的特殊例子[105].量子態相空間中的旋轉對稱性導致了其在福克態空間有一定的宇稱,因而貓態編碼和二項式編碼都可以糾正自發輻射噪聲和熱激發噪聲.在平均能量很大時,兩種編碼的對偶態|+/?L〉在相空間中較好地區分開,所以可以簡單地進行零差(homodyne)測量或者是外差(heterodyne)測量就可以實現邏輯XL基矢的測量.旋轉對稱玻色編碼在糾錯方面具有巨大的潛力,但目前其容錯相關的特性仍需要進一步研究,包括容錯通用門操作的實現、容錯閾值以及相關資源消耗等.

實驗進展方面,n=4 的貓態編碼是第一個也是目前唯一一個在實驗上正式使用糾錯技術超越盈虧平衡點(break-even point)的編碼[106],即使用編碼得到的相干時間要優于單純使用 |0/1〉 的福克態疊加的情況.此外,針對這一編碼,基于數值優化的通用邏輯門操作也得以驗證[107],而在福克空間維度截斷的情況下,通過耗散控制的方式實現了對邏輯態的自動糾錯[108].對于n=2 的貓態比特也有相關實驗實現了其初態制備及穩定、噪音偏置性質觀察(耗散-貓態[109,110]),及其相應的單比特量子門操作(克爾-貓態[111]).

3.2.3 GKP 編碼

2001 年,戈特斯曼(Gottesman)等[62]提出了GKP 編碼,將量子信息編碼到簡諧振子上,用于對抗位置和動量的小位移噪聲.而隨后的研究[112]表明此編碼對包括自發輻射、熱激發和退相位在內的多種噪聲均有抵抗作用.從相空間的角度來看,位移噪聲的作用是沿著某個方向將量子態平移一段距離,而GKP 編碼的核心思想是使用在相空間中具有平移對稱性的量子態,其屬于平移對稱玻色編碼(translation-symmetric bosonic code)的一種,其具體的編碼如下:

從穩定子的角度來看,這一具有平移對稱性的編碼所對應的穩定子為

但是,由于理想的GKP 編碼的平均光子數是無窮大的,因此在物理實現方面需要對理想GKP 編碼加以近似.一種常見的近似方法是給邏輯態加以高斯包絡,即

當?→0 的時候則逐漸變成理想GKP 態.

GKP 編碼擁有良好的糾錯容錯特性,因為其對應的所有克利福德(Clifford)門操作所需要的相互作用都可以用產生湮滅算符的二次項組合得到.這意味著,在執行克利福德門操作的時候任意一個GKP 編碼的玻色模式中的噪聲最多只會傳遞到另一個模式中,這便滿足容錯量子操作的要求.此外,GKP 編碼對多種噪聲都有較強的抵抗作用.如前文所示,GKP 編碼在相空間中是正方形的格點,可以對其進行推廣得到所謂六邊形GKP 編碼.數值計算表明,在給定任意初始編碼的情況下針對光子湮滅噪聲以及高斯熱噪聲進行優化最后都收斂于六邊形GKP 編碼[113].目前GKP 編碼仍有一些問題需要進一步探討,包括近似GKP 編碼的?如何能進一步減小,以及如何增加對系統中的退相位噪聲和高階非線性效應的抵抗能力等.

GKP 編碼雖然早在2001 年就被提出,但直到近年來才先后在離子阱平臺[111,114,115]及超導平臺[116]上實現相關的編碼以及糾錯操作.因為位移算符所對應的本征值是 eiθ,其中θ可以在區間 [0,2π),在初態制備中我們需要保證制備得到的是穩定子算符+1 的本征態(即θ=0),故需要引入復雜的反饋控制方法.超導系統正是利用相位測量以及反饋的方式[117]成功地實現了正方形和六邊形 GKP 編碼的初態制備[116].后續可望有相關實驗能夠實現對應的自動穩定信道[118].

3.3 級聯糾錯碼和容錯量子計算

量子糾錯碼減少了環境噪聲對量子態的干擾,可以用于增加量子線路的深度和精度.在此基礎上,想進一步提升糾錯性能需要從以下兩個方面入手: 1)擴大編碼距離,使得糾錯碼能夠抵抗更多的噪聲,其中比較有效的方式是進行級聯編碼;2)合理地設計量子線路中的操作,抑制計算過程中噪聲的擴散.

3.3.1 級聯編碼

對于常見的二能級編碼如表面碼、顏色碼、重復碼等,他們本身就非常容易進行拓展,即可以用同樣的構造方式引入更多的物理比特增強糾錯能力,而前文所述的三種玻色編碼也都可以通過增加平均能量來增強對噪聲的抵抗能力.除了對編碼進行直接拓展外,還可以通過級聯編碼的方式來進行拓展,即先將一種編碼方式得到的邏輯比特作為底層比特,然后再進行另一種方式的編碼.通過將多種編碼級聯在一起的方式可以發揮各種編碼的優勢,取得更好的糾錯效果.

一個最簡單的例子就是肖爾編碼(Shor code),該編碼將可以糾正相位翻轉的三比特重復碼作為底層邏輯碼,上層級聯可以糾正位翻轉噪聲的三比特重復碼作為最終編碼.結合兩種編碼的糾錯能力,肖爾編碼可以糾正單個物理比特上的任意噪聲.另一個例子是玻色編碼與二能級型編碼的級聯.玻色編碼對資源的需求較少,單個模式就可以糾正一些低階錯誤,實現較高保真度的邏輯門操作,但是其編碼受高階非線性效應的限制而不能無限擴展.二能級型的編碼受到物理比特的門保真度的限制,當物理比特操作的保真度較低時,糾錯需要的資源會急劇增加.因此,以玻色編碼作為底層編碼與二能級編碼級聯就可以較好地解決上述問題,底層玻色編碼的操作保真度比較高,上層二能級編碼的資源消耗就可以減少.目前可能的級聯編碼方案有環面/表面-GKP 編碼(toric/surface-GKP code)[63,64]、重復-貓態編碼(repetition-cat code)[65]、XZZX-貓態編碼(XZZX-cat code)[46,66]等.

級聯編碼還可以利用底層編碼的特點來簡化頂層編碼的操作.如在重復-貓態編碼中[65],最低階n=2的貓態編碼作為底層編碼,其可以實現保持噪聲偏置特性的X門、CNOT 門和托弗里(Toffoli)門(指數級抑制的位翻轉錯誤和線性增加的相位翻轉錯誤).在使用上述門操作的基礎上進行頂層編碼時,編碼和邏輯門操作過程中額外的位翻轉錯誤可以被底層貓態編碼所抑制,而相位翻轉錯誤則可以被頂層的重復碼糾正.按照這種方式就可實現任意容錯邏輯門操作,而不需要花費大量資源進行妙態(magic state)制備、提純和注入等復雜操作[65].

3.3.2 容錯量子計算在實際的量子糾錯過程中,包括錯誤診斷以及糾錯操作在內的所有過程都會受到噪聲的影響,不合理的門操作會把噪聲擴散至其他的物理比特,從而導致邏輯錯誤.但是,如果當一個過程中的某個操作發生噪聲的情況下,過程最后輸出的每一個邏輯比特中至多只有一個物理比特發生錯誤,這樣的過程被稱為是容錯的[57].簡單來說,容錯的量子過程抑制了錯誤的擴散,使得某個操作過程中發生的噪聲不會在后續的門操作的作用下擴散至多個物理比特上,成為不可糾正的錯誤.而且,當噪聲非常弱的時候,這些錯誤在隨后的糾錯操作中大概率會得到糾正.可以證明當噪聲的強度小于一定的閾值(即容錯閾值)的時候,一個具有p(n) 個邏輯門的量子線路可以被一個包含O(poly(logp(n)/ε)p(n))的量子線路以至多ε的整體失敗概率實現,這就是著名的閾值定理.

實現容錯邏輯門操作需要巧妙的設計來抑制錯誤的擴散,目前最有效的方式是使用橫向(transversal)門.如圖9(a)所示,這類型的邏輯門操作可以通過物理比特上的單量子比特操作實現,或者對于涉及到多個邏輯量子比特的門操作,可以通過邏輯比特中對應物理比特的操作實現.使用這種方式實現門操作天然地具有容錯特性.但是,隨后伊斯汀和尼爾(Eastin-Knill)證明[119],對于所有非平凡的量子糾錯碼而言,橫向門不能構成通用門操作集合.幸運的是,對于所有自對偶的CSS 編碼(Calderbank-Shor-Steane code)而言,所有屬于克利福德(Clifford)群的邏輯門操作都可以通過這個方式實現,其中就包括了CNOT門和H門.克利福德群是泡利群的正規化子,即Pn},其中C為克利福德門,Pn為泡利門.

在實現容錯克利福德門的基礎上還需要能容錯地實現至少一個非克利福德門才能實現容錯的通用邏輯門操作集合,比方說T門.通過在戈特斯曼(Gottesman)和莊(Chuang)[120]的方案基礎上改進而來的單比特隱形傳態(one-bit teleportation)的方式可以容錯地實現T門[121],即如圖9(b)所示: 可以引入一個與系統編碼相同的輔助比特,并將其制備在初態 |Θ〉=T H|0L〉 上,然后只需要橫向地作用CNOT 門以及對系統態進行測量,最后根據測量結果反饋給輔助比特決定是否橫向地實現SX門就可以在輔助比特上實現量子態T |ψL〉 .整個方案最大的困難點在于高保真度的初態 |Θ〉的制備,而且這一初態制備過程與系統演化無關,所以可以使用后選擇、蒸餾等方式.布拉維(Bravyi)和基塔耶夫等[122]就最先提出了妙態蒸餾(magic state distillation)的方式得到高保真度的初態.隨后,這一方案得到了更加深入研究和優化[123,124].一般來說妙態制備的方式需要較多的資源,比如對于初始態錯誤率為 5×10?5的表面碼通過妙態蒸餾的方式實現邏輯錯誤率約 10?15的T門就需要將近 104個物理比特[125].因此,如何進一步減少妙態制備的資源消耗是當前基于隱形傳態的容錯方案的研究重點之一[126].

圖9 (a)橫向邏輯門操作示意圖;(b)單比特態傳輸的方式實現邏輯 門.圖中斜線表示此邏輯比特包括多個物理比特,而圖中紅色陰影區域的線路等價于將輔助比特初態制備成 |Θ〉,紅色區域外的門操作全是橫向邏輯門Fig.9.(a) Schematic of the transversal logical operation;(b) logical gate implemented through one-bit teleportation.The slash in the figure indicates that the logical qubit is encoded with several physical qubits,and the red shaded area is equivalent to initializing the auxiliary qubit as |Θ〉 .All logical gates outside the red shaded area are transversal.

4 糾錯相關的量子控制技術

近年來,為了在超導系統中實現各種糾錯編碼,糾錯相關的控制技術也得到了深入的研究與驗證,其中包括自動糾錯(autonomous QEC)、容錯控制、任意幺正演化以及任意量子信道模擬等.

首先是自動糾錯技術.一般而言,基于測量的糾錯(measurement-based QEC)方式需要先進行錯誤診斷,即通過輔助比特實現對系統狀態的測量,并根據診斷結果,再對系統執行相應的糾錯操作.以超導腔為例,錯誤診斷的實現需要外圍 FPGA電路(field programmable gate array circuit)輸入脈沖序列控制transmon 比特與超導腔的相互作用,然后對transmon 狀態進行測量并將測量結果反饋至 FPGA 電路進行邏輯判斷,之后才會對超導腔輸入控制脈沖實現糾錯操作.從錯誤診斷到糾錯操作期間,系統會經歷短時間的延遲,因而增加了糾錯操作的錯誤率.而自動糾錯過程在引入一個輔助比特的情況下只需要一步糾錯操作即可完成,即

其中 |ψL〉,|ψE〉 分別是無噪聲以及發生噪聲之后的邏輯量子態,|g〉,|e〉分別是輔助比特的基態和激發態,而是對應的幺正糾錯操作,等價于將系統的錯誤轉移到輔助比特上,只要在后續操作中將輔助比特復位,糾錯就可以重復進行.使用這樣的自動糾錯技術有以下兩個優點: 1)可以將系統的錯誤診斷以及糾錯操作進行結合,避免系統經歷較長時間的延遲;2)降低了反饋操作對硬件要求.實驗方面,基于二項式編碼的自動糾錯技術已被驗證[101].

其次是容錯控制技術.容錯控制技術的核心思想是通過系統哈密頓量的設計從物理層面實現對噪聲的容忍.例如,最近在超導平臺上展示的容錯測量[127]就是通過構造超導諧振腔與三能級輔助比特(|g〉,|e〉,|f〉能級)之間的相互作用Hint=χa?a(|e〉〈e|+|f〉〈f|)實現的.從該式可以看出,|e〉,|f〉能級與超導腔之間的耦合強度一致,故在門操作或者在測量過程中輔助比特從|f〉到|e〉的噪聲只會給腔帶來至多一個全局相位的影響,而從|e〉到|g〉的衰減屬于高階效應,可以忽略,因此可以實現對輔助比特中噪聲的容忍.而錯誤透明門則是通過交流斯塔克(AC Stark shift)效應構造使得邏輯和錯誤編碼空間有相同的相位門演化的哈密頓量,這樣在發生錯誤并且錯誤被糾正之后,相位門不受影響[101].由于這些邏輯門操作的適用條件比較苛刻,目前所能實現的容錯邏輯門操作仍限于一些相位門操作,是否能推廣至通用邏輯門集合仍是一個開放問題.

然后是任意幺正演化的實現.從索洛韋-基塔耶夫(Solovay-Kitaev)定理可知,任意的幺正演化都可以被有限的門操作集合以任意的精度近似實現,如{H,S,CNOT,T}.目前,在超導量子系統中也有兩種方式可以較好地實現任意幺正演化,一種是通過位移操作加上SNAP (selective numberdependent arbitrary phase)門[128–130],另一種是梯度上升波形優化方法[96,97].這兩種方式避免了對門操作進行大量分解,減少了電路的深度,并且允許通過最優控制的方式在考慮噪聲的情況下進行優化,從而增加門操作保真度.SNAP 門是=而任意的幺正演化可以被SNAP門和位移操作的交替序列很好地近似,即U ≈.其中參數αn,θn可以通過數值優化得到.但 SNAP 門方法的門操作時間較長,一定程度上限制了其保真度,而梯度上升波形優化方法可以克服這一限制,使得門操作時間盡可能少.其本質原理是通過梯度下降算法直接數值優化哈密頓量中的可控參數un(t),使得優化得到的門操作與目標門操作之間的保真度接近1.

5 近期超導系統量子糾錯的應用

當前,超導量子系統已經可以集成相當數量的物理比特并進行簡單的邏輯編碼,但是糾錯效果仍受限于比特數量、比特間的串擾以及控制精度.現階段量子糾錯實驗的主要目標仍是實現并超越盈虧平衡點,為實現容錯量子計算這一長遠目標奠定基礎.除此之外,我們也應積極探索量子糾錯技術的應用潛力,包括但不限于在量子度量學以及量子通信等方面的應用.

量子度量學是量子信息最重要的應用場景之一.在散粒噪聲作用下,物理系統的探測精度只能達到散粒噪聲極限,即,其中N是探測系統中平均粒子數,T是探測的時間.但是,利用量子糾錯技術可以保持量子態的相干特性從而提升探測的精度,并可以達到海森伯(Heisenberg)極限[135],即精度 ∝1/(NT) .超導系統在實現高精度量子精密測量方面有著獨特的優勢: 一方面,超導系統有著較強的量子調控能力,可以對用于探測的量子態進行高保真度的制備、控制以及測量,從而提升探測的精度.另一方面,超導系統自身就可以有效探測微波、磁場等物理信號.更重要的是超導系統還能與其他物理系統進行較為高效的耦合,包括光子、聲子、軸子(Axion)[136]等,進而可用于多種物理信號的探測.但是,超導系統的探測精度對噪聲十分敏感,例如微波光子的自發輻射以及退相位等噪聲,因此如何克服系統噪聲、提高測量精度是當前階段最主要的挑戰.主要有以下兩種解決方式: 1)針對所測量的相互作用形式以及系統噪聲類型選用特定編碼的初態,借助高維希爾伯特空間中對信號較敏感但是對噪聲相對不敏感的子空間來提高測量精度.2)使用糾錯技術,借助高維度希爾伯特空間的冗余,使得傳感過程中的噪聲得到及時糾正[137–139].此外,量子糾錯方法還可以進一步拓展至多參數估計的量子度量學問題[140].

量子網絡、分布式量子計算等技術均依賴于量子信息在網絡中各個節點之間的傳輸,即需要實現量子通信.但是,遠距離的量子通信極易受到噪聲的干擾,導致信號隨著距離的增加發生指數的衰減,尤其是對于微波光子,其在常溫下受熱激發噪聲干擾嚴重,因而在電纜中傳輸損耗極大.因此,需要使用量子中繼(quantum repeater)來克服傳輸損耗,即發送端和接收端只需要分別與中繼端建立糾纏,再利用中繼端的局域操作就可以建立糾纏.這一方案可以避免遠距離的直接量子態傳輸,但是需要大量的資源來進行糾纏態提純(purification),此外還需要頻繁的經典信息傳輸.針對這一問題,相關研究提出了兩種改進方案: 1)使用微波光波轉換.通信波段光子是遠距離傳輸量子信息最好的載體,其傳輸損耗低、抗干擾能力強,故借助量子頻率轉換能充分利用兩種光子的優點[7].目前已經有相關實驗對此進行驗證[141].2)使用量子糾錯技術.當進行量子態傳輸的時候,使用帶有編碼的邏輯比特(如貓態編碼[102])進行傳輸,接收端接收到之后,只需要進行錯誤診斷以及糾錯操作就可以得到高保真度的目標態.這一方案避免了大量的糾纏態提純以及頻繁的經典通信,因而具有較高的傳輸速率,這也被稱為第三代量子中繼[102,142].

糾錯相關的技術可以作為量子錯誤緩解(quantum error mitigation,QEM)技術用于提高近期量子算法的效率.當前,我們正處于帶噪聲的中等規模的量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)時代[143],還不能實現高質量的糾錯和容錯操作,但是很有可能在某些實際問題中展示量子技術的優越性,尤其是在處理經典量子混合算法上,例如變分量子特征求解器(variational quantum eigensolver,VQE)[17]和量子近似優化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)[16].相較于普適量子計算,這些算法只需要使用深度較淺的量子線路并借助經典的計算機來分析量子線路的輸出結果與輸入參數的關系,從而對線路進行反饋操作以及優化.目前這些算法受到噪聲的限制,在計算的精度和效率上仍有很大的提升空間.針對這一情況,眾多的錯誤緩解技術被提出[144],包括外推法(extrapolation)、準概率分布法(quasi-probability method)、量子子空間展開法(quantum subspace expansion)等.這些技術不需要使用完整的量子糾錯技術,但是如果所求解的系統本身具有一定的對稱性則可以使用糾錯中的錯誤診斷技術來降低噪聲的干擾,這就是對稱性檢驗(symmetry verification)技術[145].例如系統本身具有粒子數守恒、自旋守恒等對稱性,而噪聲會破壞這一對稱性,從糾錯的角度來看,這意味著系統狀態只分布于希爾伯特空間中的某個子空間,而噪聲將其投影至其它正交子空間中,此時只要進行錯誤診斷再進行后選擇處理異常結果即可.目前已經有實驗使用相關技術[146].隨著糾錯技術的發展,我們相信在不遠的將來在使用小規模糾錯碼的情況下還可以進一步提升相關算法的效率.

6 討論與展望

隨著近年來相關操控技術的迅速發展,超導量子計算平臺的關鍵性能得到巨大的提升并成為目前最有希望實現高效量子計算的平臺之一.本文以超導平臺為背景介紹了量子糾錯方面的研究進展,包括基于二能級架構以及基于玻色模式架構的糾錯碼,還有糾錯相關的控制技術.在離子阱、光學以及中性原子等物理平臺上,量子糾錯技術也取得了令人矚目的進展,雖然本文聚焦于超導系統的糾錯進展,但是相關內容也適用或者可以推廣至這些物理平臺.

如前文所述,不管是二能級架構還是玻色模式架構的糾錯技術的最大挑戰都在于如何進一步增加參與編碼的物理比特數目以及提高糾錯操作的保真度.短期來看,超導系統需要提高對噪聲的壓制能力,增加控制精度,從而通過糾錯達到盈虧平衡點,并實現量子優勢(quantum advantage),即在量子計算、量子模擬、量子度量學、量子通信等應用中通過糾錯提升量子系統性能并超越經典系統.中長期目標則是實現容錯量子控制,即通過擴大系統規模將邏輯錯誤壓制到任意小.為此,我們認為需要從理論以及實驗方面解決以下的問題:

第一,如何優化利用高維度量子資源實現單個邏輯比特的量子糾錯碼？

維度是量子糾錯中最重要的資源之一.糾錯的本質就是利用維度擴展帶來的冗余對抗噪聲的影響.這包括以下三點: 參與編碼的物理比特數目、物理比特本身的維度、相互作用的形式.目前而言,針對二能級類型的糾錯碼已經進行了較為深入的研究,尤其是低維度的拓撲碼,包括表面碼、顏色碼等.這些糾錯碼有著較高的閾值,但同時所需要的物理比特數也是巨大的.為此,可以考慮通過增加相互作用的形式(如允許有限的且保真度較低的長程相互作用)來減小資源消耗,如三維、四維的顏色碼或其他形式的非拓撲編碼都需要進一步的研究.此外,還可能通過將比特編碼成qudit 的形式降低資源消耗,但也需要進一步研究.而對玻色編碼而言,對于單個模式的底層編碼的研究已經較為成熟,但是多個玻色模式如何進行拓展才能利用好玻色模式的潛力需要進一步的研究.目前已經有相關的探索,如文獻[46,63?65,66],但是更好的方案以及具體的資源對比需要更深入的研究.

第二,如何實現分布式量子糾錯架構？

在實際超導系統中,受限于有限的冷卻體積以及超導線路之間的串擾,很難通過無限地增加短程相互作用的比特數目實現容錯量子計算.另一方面,量子度量學、通信等應用需要在不同的量子節點之間進行糾纏分發以及量子態傳輸.因此,非常有必要深入研究分布式的量子糾錯架構: 即需要考慮將整個量子系統分成若干個節點,節點內部超導比特之間的相互作用較強,可以實現高保真度的邏輯門操作,節點之間利用飛行比特進行保真度較低遠程相互作用,并通過量子糾錯、糾纏蒸餾等方式建立節點之間的高保真度量子糾纏.這就需要考慮如何構建節點內部的編碼以及對應的糾錯方案[147].

第三,如何實現混合量子編碼轉換？

實現不同物理平臺之間的量子信息的傳遞和轉化,即實現混合量子編碼的轉換可以有效地利用不同平臺的特性,揚長避短: 一方面,對于量子度量學方面的應用,用于探測的物理系統不一定會具備較強的信息處理能力,因而需要轉換到超導等量子調控能力較強的系統以便進行后續的糾錯測量等處理.另一方面,出于構建量子網絡以及實現分布式量子計算的考慮,相距較遠的超導量子芯片之間必須借助飛行比特進行信息交換,而微波光子容易與超導芯片進行耦合,但其極易受到環境電磁噪聲干擾,在常溫下受到損耗和熱噪聲的限制無法進行遠距離傳輸.因此,需要將微波光子編碼的量子態轉換到其他物理載體上,如通信波段光子,其對于噪聲的容忍能力較強,支持遠距離傳輸.除了微波-光波轉換外,還可以進一步考慮微波-聲波轉換.這不僅需要考慮并設計不同物理系統之間相互作用的形式,還需要從編碼層面綜合考慮各系統適用的并且容易進行轉換的量子糾錯碼.

第四,如何實現對特定噪聲免疫的量子控制？

量子系統的控制包括對量子態的操控以及測量.控制性能的提升需要從兩方面入手,一個是從原理上免疫特定噪聲,另一個是從優化層面減少噪聲影響.對于二能級類型編碼以及玻色模式編碼都已經有相關研究可以從原理上免疫一些噪聲,比方說通過設計系統相互作用實現的路徑無關的SNAP門可以抵抗輔助比特的噪聲以及實現容錯測量[127].相關研究需要深入考慮能否適用于更大規模的系統、能否推廣至更為普適的門操作集合、能否進一步免疫主系統的高階噪聲.從優化層面考慮減少噪聲的影響依賴于噪聲模型的精細化,包括需要考慮連續形式的噪聲,如果引入相關的輔助系統,還需要考慮輔助系統本身的不完美性.考慮到現日益增長的物理比特數目,一個實用的算法還必需盡可能減少優化的復雜度.

第五,在考慮資源消耗的情況下是否有更切合實際的糾錯性能評價指標？

實現量子糾錯需要投入數量巨大的物理比特用于編碼一個邏輯比特,就短期而言我們更多地關注于邏輯比特是否突破盈虧平衡點以及能否進行拓展以證實量子糾錯的效果.但中長期而言,可供選擇的糾錯方案逐漸增加,我們需要評價各種糾錯方案的優劣,因而需要更切合實際的指標來衡量投入的資源與邏輯比特所能實現的信息處理能力.這其中的資源包括空間、時間上的資源,如所投入的物理比特數量以及實現邏輯門操作所需要的時間等.

第六,近期如何實現帶糾錯的量子優勢？

目前的量子系統正處于帶噪聲的中等規模的量子(NISQ)時代[143],在這期間,量子系統可以集成五十到數百個帶噪聲的量子比特,接近或者超過經典計算機所能模擬的極限,就算在不考慮糾錯的情況下,也可能在量子退火(quantum annealing)、量子深度學習(quantum deep learning)等方面實現量子優勢.而在未來一段時間內糾錯的規模與質量仍將逐步上升,雖然距離實現容錯量子計算仍有一段距離,但是可以預見在這個階段糾錯操作將逐漸抑制噪聲,使得在糾錯的情況下量子系統在一些應用上具有進一步超越經典系統的性能.

第七,如何在實驗中探索并演示容錯量子門？

當前達到盈虧平衡的量子糾錯碼還鮮有實驗報道,而實驗上如何設計容錯量子操作從而提高基于量子糾錯碼的量子操作的保真度是當前量子糾錯研究的一個重要的方向,也是實現容錯量子計算的必經之路.最近幾年這方面的理論和實驗研究也得到了更多的關注,人們對容錯這一概念的理解也逐步突破傳統橫向量子門的局限.通常,容錯這個詞的出現伴隨著閾值,也就是當系統的錯誤率低于某一閾值時就可以通過擴展系統的維度來降低錯誤率.然而,立足于實驗,證實容錯閾值在短期內十分具有挑戰性.我們應當進一步拓展容錯的概念,并在較小規模的系統中探索容錯實驗的一些基本特征并挖掘之前理論所忽視的實際問題[148].例如,近年來發展起來的旗幟比特(flag qubit)[149]等方法可以在物理比特數目較少但比特之間連通性較好的前提下容錯地實現通用邏輯門操作,以及前面提到的基于噪聲免疫實現路徑無關[150]或者錯誤透明[101]的量子邏輯門.

最后,我們預期量子糾錯在理論方面能夠與量子信息之外的其他領域結合,進一步延拓量子糾錯方法的理論內涵[151].例如,最近發現的量子糾錯與凝聚態多體系統、高能物理中全息對偶原理的聯系使理論物理學家們非常興奮[152,153].一方面,可以借助超導量子系統中的糾錯碼來研究凝聚態中的拓撲物態,包括自旋液體態[84]和分形子(Fracton)[154].另一方面,也可以借助其他領域中的一些有趣的模型來構建新的量子糾錯碼或者加深對它們的理解,例如HaPPY 碼[153]和基于含時橫場伊辛(Ising)模型的實用量子糾錯[155].