非厄米系統的量子模擬新進展*

高雪兒 李代莉 劉志航 鄭超

(北方工業大學理學院,北京 100144)

量子模擬利用可控性好的量子系統模擬和研究可控性差或尚不能獲得的量子系統,是量子信息科學的主要研究內容之一.量子模擬可通過量子計算機、量子信息處理器或小型量子設備實現.非厄米系統近二十年來受到廣泛關注,一方面是因為非厄米量子理論可作為傳統厄米量子力學理論的補充和延拓,且與開放或耗散系統聯系緊密.另一方面,可構造具有新奇非厄米性質的量子或經典系統,具有提高精密測量精度等應用價值.與厄米情況相比,非厄米量子系統的時間演化不具有幺正性,對其開展量子模擬研究具有一定的挑戰.本文介紹了非厄米系統量子模擬理論與實驗新進展.理論方面主要介紹了基于酉算子線性組合算法,簡單梳理了各個工作的優勢和局限性,并簡要介紹了量子隨機行走、嵌入式和空間拓展等量子模擬理論;實驗方面簡要介紹了利用核磁共振量子系統、量子光學以及利用經典系統模擬非厄米量子系統的實驗.一方面,這些新進展結合了量子模擬與非厄米領域的研究,推動了非厄米系統本身的理論、實驗和應用發展,另一方面拓展了量子模擬和量子計算機的可應用范圍.

1 引言

量子力學的基本假設之一是哈密頓量具有厄米對稱性,保證了系統能量本征值為實數,具有可觀測的物理意義.厄米性自然地保證了孤立量子系統時間演化的幺正性,從而系統所處量子態的分布概率歸一守恒.然而,一方面自然界中很少有孤立系統,普遍存在的是與外部環境存在能量流、粒子流和信息流交換的開放系統,量子態分布不再守恒,在處理這類具體問題時,引入非厄米哈密頓量將帶來極大方便[1?15],另一方面是厄米性的要求過強,非厄米哈密頓量在一定條件下仍可保證系統能量本征值為實數[16?25].因此,發展非厄米量子理論成為必要.通常情況下,非厄米系統的能量本征值是復數,可作為傳統量子力學理論在復數域的拓展.非厄米系統與開放和耗散系統聯系緊密,它具有諸多新奇性質、現象和應用,引起了廣泛的研究興趣.典型的非厄米哈密頓量包括宇稱-時間對稱哈密頓量和贗厄米對稱哈密頓量.這些哈密頓量以各種各樣的特性引起了人們的廣泛關注,如奇異點[26?30]、新穎的光學性質[31?37]及對典型非厄米系統熵的動力學和熵的不確定關系的研究[38?40]等.

量子模擬最早由物理學家費曼[41]于1982 年提出,之后便引起了人們的持續關注.目前,量子模擬已成為實踐中科學研究的有力工具.量子模擬不僅可以研究厄米量子力學系統[42?46],也為研究和模擬非厄米系統[38,47?57]及其相關新奇量子現象提供了有效的方法.特別是對于后者,量子模擬已經成為量子級實驗研究的主要方法,量子模擬可以在可控量子系統的空間中構造、操作和觀察非厄米系統.迄今為止,這一熱點前沿領域受到了人們的廣泛關注,人們對非厄米量子系統進行了各種研究.

本文簡要介紹了近年來非厄米系統的量子模擬理論方案與實驗研究新進展.

2 非厄米量子系統的發展

在量子力學中,為了確保能級是正實數且系統是幺正的,系統的哈密頓量算符H要求是厄米對稱的,即

其中,符號“?”為轉置共軛算符,表示矩陣轉置與復共軛的組合運算.

20 世紀40 年代,Pauli[1]和Dirac[2]為解決一些物理現象的發散問題分別提出了非厄米理論.自此,非厄米量子力學開始出現.在傳統量子力學(厄米的哈密頓量)中,為保證物理量是可觀測的,要求系統的哈密頓量具有厄米對稱性,這使得系統的時間演化具有幺正性,系統可能出現的量子態的概率總和是歸一化的且不隨時間變化.然而非厄米量子系統不具有這些特點.并不是所有非厄米哈密頓量的本征值都是虛數,有一種特殊情況,即具有宇稱-時間(PT)對稱性的非厄米哈密頓量,它的本征值可是實數[16?19].這一發現引起了科學界廣泛的研究興趣.Bender 等[16?19]和Mostafazadeh[20?24]分別做了系統的研究,他們構造出了許多實本征值的非厄米哈密頓量模型,建立了完備的非厄米量子力學理論.

2.1 PT 對稱量子力學

PT 對稱量子力學領域由圣路易斯華盛頓大學的Bender 和Boettcher[16]建立于1998 年.他們的研究表明,當哈密頓量滿足一定的對稱性時,就可以確保它的本征值是實數,而不僅限于哈密頓量是厄米的,因此用非厄米的哈密頓量描述自然界的物理過程成為可能.前面提到的對稱性便是宇稱-時間對稱性,其哈密頓量H用下式表示:

可以簡記為H=HP T,其中P是宇稱算符,T是時間演化算符,二者互相對易.PT 對稱理論的主要思想是將哈密頓量的厄米性用約束較小的PT對稱性替代.具有PT 對稱性的非厄米哈密頓量本征值依然可以是實數.Bender[16]的PT 對稱量子理論是非厄米量子理論的一個重要部分,為量子力學的發展提供了廣闊的空間.迄今為止,PT 對稱的非厄米量子系統在很多領域中都得到了研究者們廣泛的關注,如量子力學基礎理論、數學物理、開放的量子系統、無序體系、具有復折射率的光學系統及拓撲絕緣體等[26,27,58?63].

2.2 贗厄米量子力學

在PT 對稱量子理論建立之后,仍然還有許多具有實本征值的非厄米系統[21,64]沒有被囊括,而且這些哈密頓量并不具有PT 對稱性.所以,PT對稱性既不是非厄米系統具有實本征值的充分條件,也不是必要條件.人們把這類具有實本征值但是并不是厄米對稱的系統稱作贗厄米系統,贗厄米性同時也是系統的哈密頓量具有實本征值的充分必要條件.贗厄米理論最初是由Pauli[1]用不定內積構建的,其哈密頓量為

其中,η通常要求是線性厄米算符.伊斯坦布爾科奇大學的Mostafazadeh[20?24]于2002 年利用雙正交基解釋了贗厄米量子力學體系,從數學的角度建立了具有一組完備雙正交基和分立能譜的η贗厄米量子力學理論.使用雙正交基矢賦予系統完備性以及正定內積,但這里的完備性和正定內積與普通量子力學中的不同,做內積運算的兩組本征函數分別對應于系統的哈密頓量及其厄米共軛算符.

2.3 PT 對稱、PT 反對稱、P 贗厄米對稱和P 贗厄米反對稱二能級量子系統

為了方便對酉算子線性組合量子模擬幾個非厄米系統進行介紹,本節簡述PT 對稱、PT 反對稱(APT)、P 贗厄米對稱(PPH)和P 贗厄米反對稱(APPH)二能級量子系統.選取宇稱算符P為時間反演算符T作用是取復共軛,由此可推得PT 對稱二能級量子系統哈密頓量為

其中,參量r,s,w和θ均是實數.二能級量子系統中,PT 對稱哈密頓量的本征值是ε±=rcosθ±系統的能級差為

?PT只能是實數或者純虛數.PT 反對稱哈密頓量遵循H=?(P T)?1HP T,它可以由PT 對稱哈密頓量乘以虛數i 得到,使得PT 反對稱量子系統與PT 對稱量子系統有著緊密的聯系.在光學系統中,PT 系統的無損耗傳播對應于APT 系統的無折射傳播,為非厄米系統中調控光和形成互補探針提供了可能[65].PT 反對稱二能級系統的哈密頓量如下:

APT 系統的本征值ε±與PT 對稱系統的本征值iε±相差一個i 因子,所以其能極差也有下列關系:

當系統的哈密頓量的本征矢在PT 對稱算符下改變時,PT 對稱系統和PT 反對稱量子系統的哈密頓量是自發對稱破缺的(broken).但是當系統的哈密頓量的本征矢在PT 對稱算符下不變時,PT 對稱系統和PT 反對稱量子系統的哈密頓量是未破缺的(unbroken).PT 對稱系統的自發對稱破缺相(非破缺相)對應于能極差?PT是純虛數(實數)的情況,而APT 系統的自發對稱破缺相(未破缺相)對應于能極差?APT是實數(純虛數)的情況.當系統的能極差為0 時,系統處于PT 對稱破缺和未破缺的交界處,稱之為相變點(EPs),此時系統的能級發生合并,在附近出現很多新奇性質.二能級量子系統中,把η算符用宇稱算符P替代時,P 贗厄米對稱二能級量子系統的哈密頓量有如下形式:

其中,u與v是實數,其余參數同上.二能級量子系統中PPH 哈密頓量的本征值是=rcosθ±系統的能級差是

?PPH只能是實數或者純虛數.鑒于PT 對稱、贗厄米對稱和PT 反對稱哈密頓量量子系統的發展,以及考慮到PT 對稱及其反對稱哈密頓量的關系,研究人員自然地延伸到對贗厄米反對稱哈密頓量的研究.同PT 對稱和APT 哈密頓量的關系類似,贗厄米反對稱哈密頓量是在贗厄米對稱哈密頓量上乘虛數i,它滿足H?=?ηHη?1.將η算符取作宇稱算符,那么相應的APPH 二能級量子系統的哈密頓量如下:

在PPH 和APPH 量子系統里面也出現了相變點,即?PPH和?APPH等于0 的情況.以相變點為邊界,可以把PPH 系統與APPH 系統分為實能極差和虛能極差兩個相位.圖1[38]和圖2[38]給出了PT 對稱、APT、PPH 和APPH 系統的三個參數的空間,描述了系統的相變點EPs、相空間以及參數空間內部的聯系.

圖1 PT 對稱和PPH 系統的參數空間(w,s,θ和 v,u,θ,設置 r=2) (a) PT 對稱系統;(b) PPH 系統[38]Fig.1.Parameter spaces of PT-symmetric and P-pseudo-Hermitian systems (w,s,θand v,u,θwith setting r=2):(a) PT-symmetric systems;(b) PPH systems[38].

圖2 APT 和APPH 系統的參數空間(w,s,θ和 v,u,θ,設置 r=2) (a) APT 系統;(b) APPH 系統[38]Fig.2.Parameter spaces of APT-symmetric and anti-Ppseudo-Hermitian systems (w,s,θand v,u,θ with setting r=2): (a) APT-symmetric systems;(b) APPH systems[38].

3 基于LCU 對非厄米系統的量子模擬理論

量子模擬的概念于20 世紀80 年代被首次提出,致力于用另一個可控系統來模擬量子系統[41,66].從那時起,量子計算就已經成為物理學中最富有成果的研究領域之一.量子計算機運用量子迭加態和量子糾纏等量子性質對信息進行處理,具有的強大的并行功能使得計算速度指數倍提高.然而,量子計算的功能需要通過量子算法來體現.Benioff[66]于1980 年提出了量子計算的概念并對其展開了研究,Feynman[41]于1982 年提出用量子計算機模擬量子體系,Deutsch[25]于1985 年完善了量子計算的概念.但直到1994 年Shor[67]提出大數分解、1996 年Grover[68]提出量子搜索算法后,量子計算才得到科學界廣泛的關注,成為持續至今的國際研究前沿[69].傳統量子算法都是通過系統幺正演化進行信息的處理,一次計算過程等同于進行了一次封閉系統的動力學演化.而近些年各種有關非幺正時間演化的方法陸續出現[14,70?78],包括酉算子的線性組合(linear combinations of unitaries,LCU)[14,72,73]、虛時演化法[74,75]、含時變分法[76]和拓展法[77,78].

3.1 基于LCU 的量子模擬方法

2006 年,清華大學的龍桂魯教授[72,73]首次提出LCU 算法.與傳統的只能進行幺正算子乘除運算的算法不同,LCU 算法可以實現幺正算子的加減乘除四則運算,從而以一定概率實現非幺正量子門操作,進一步拓展構造量子算法的思路和方法.隨后,LCU 算法得到快速發展[79?88],目前已經成為設計新量子算法最有力的工具之一,并得到廣泛應用[89].

3.2 基于LCU 構造典型非厄米量子系統

3.2.1 廣義PT 對稱二能級系統的量子模擬

由于非厄米性,PT 對稱量子系統的演化不是單一的.盡管已經有人提出了一些特殊的PT 對稱量子系統的模擬[47,49,90],并在實驗中得到實現[47,49],但常規量子計算機模擬廣義的PT 對稱非厄米量子系統仍然是一個問題.文獻[51]從理論上研究了廣義的PT 對稱二能級量子系統,既適用于PT 對稱系統(非對角元互為復共軛),也適用于PPH 對稱系統(非對角元均是實數).研究人員利用LCU的思想,首次在四維希爾伯特空間中構造PT 對稱哈密頓量系統,進而模擬其時間演化[51].此實驗利用廣義PT 對稱哈密頓量以及輔助的qubit,推動工作qubit 的演化,實現了廣義PT 量子短時間問題的快速演化(如圖3 所示[51]).這一模擬方法為在核磁共振量子系統和量子光學系統中實現廣義PT 對稱二能級系統的量子模擬提供了理論支持.此外,研究人員還展示了如何分別以qutrit 和qudit作為輔助量子比特實現廣義PT 對稱二能級系統(如圖4(a)和圖4(b)所示[51]),在某些情況下,這些系統比以qubit 作為輔助量子比特的量子計算機具有優勢.

圖3 廣義PT 對稱二能級量子系統的量子線路[51]Fig.3.Quantum circuit for a general PT-symmetric twolevel system[51].

圖4 由輔助qutrit 和輔助qudit 構造廣義PT 對稱二能級量子系統的電路圖 (a)輔助qutrit;(b)輔助qudit[51]Fig.4.Quantum circuit for a general PT-symmetric two-level system by ancillary qutrit or ancillary qudit: (a) Ancillary qutrit;(b) ancillary qudit[51].

3.2.2 廣義PT 反對稱二能級系統的量子模擬

除了PT 對稱系統外,PT 反對稱系統[91,92]也具有新奇性質和潛在應用而受到廣泛關注,如具有平衡正負折射率的APT 光子結構的光學材料[93]、具有恒定折射的APT 光學系統[94]、具有APT 性的擴散系統[95]、APT 系統中耦合-誘導的幺正和非幺正散射[96]等.因此,對于APT 量子系統的模擬尤為重要.研究人員首次提出了基于LCU 量子模擬APT 二能級系統的理論方案[55],提出的量子模擬理論方案,既適用于APT 系統(非對角元互為復共軛),也適用于APPH 系統(非對角元均是實數).研究發現,該方案需要的最小希爾伯特空間維度為六維,可由一個qutrit 和一個qubit 組成的量子計算機來完成一般任務.利用對偶量子算法[72,73,80,81],設計了一個qubit-qutrit 混合系統的量子線路,它可以實現LCU.qutrit 作為構建廣義APT 子系統的輔助比特.當qutrit 在狀態 |0〉a中被測量時,廣義PT 反對稱哈密頓算符將推動工作比特的演化(如圖5 所示[55]).此外,研究人員還設計量子比特系統來實現量子模擬過程,給出了量子比特量子計算機的流程圖和量子電路(如圖6 所示[55]),流程圖和量子電路都是為三量子位量子計算機設計的,使得利用現有技術進行實驗實現成為可能.

圖5 模擬處于任意相的PT 反對稱二能級系統的量子線路[55]Fig.5.Quantum circuit for a generalized APT-symmetric two-level system in arbitrary phase[55].

圖6 量子計算機的流程圖和量子線路圖 (a)模擬廣義APT 系統的流程圖;(b)模擬廣義APT 系統的線路圖;(c)第一次測量之后的初始化和空間準備的量子線路圖;(d)第二次測量之后的量子線路圖[55]Fig.6.Flow chart and quantum circuit for a qubit computer: (a) Flow chart of quantum simulation of the generalized APT-symmetric system;(b) quantum circuit to simulate the evolution of the generalized APT-symmetric system;(c) quantum circuit for space preparation and initialization after the first measurement;(d) quantum circuit for initialization after the second measurement[55].

3.2.3 PT 任意相位對稱系統的量子模擬

研究人員首次將PT 對稱和PT 反對稱系統推廣到PT 任意相位(PT-φ)對稱系統[97,98].對于一個非厄米哈密頓量H,研究人員找到了PT 對稱和PT 反對稱哈密頓量HPT和HAPT=iHPT,使得H可以被視為HPT和HAPT的結合,如下式所示:

其中φ是與哈密頓量對稱性相關的相位,(12)式等價于,該式具有和任意子相同的對易形式,因此稱H為PT 任意相位對稱或PT-φ對稱哈密頓量(也有文章稱其為任意子PT 對稱哈密頓量).與哈密頓量H對稱性相關的相位φ固定為 2kπ (k取整數),系統為PT 對稱情況;相位固定為 (2k+1)π 時,系統則為PT 反對稱情況(k取整數).這種表示非厄米哈密頓量的方法對任意維度的量子系統都適用.文獻[99]給出了二維情況下哈密頓量的一般形式,并討論了它的基本性質,如特征值、PT 對稱性是否自發破缺的條件等.同時,研究人員從理論上研究了用傳統厄米系統對PT 任意相位對稱二能級系統時間演化的量子模擬,基于LCU 設計了qubit-qudit 混合(如圖7 所示[99])和純量子比特(如圖8 所示[99])器件的量子線路.兩個方案都由一個工作qubit 和輔助qubit (或qudit)組成,經過一系列的量子門操作,使得工作qubit 以一定概率按照非厄米哈密頓量進行時間演化.前一個方案清晰地展示了模擬方法,而后一個方案更具有實用性和較高的成功概率.這兩個方案有望在小型量子器件,如核磁共振和量子光學系統中實驗實現.類似于PT 任意相位對稱非厄米系統,贗厄米任意相位對稱系統的量子模擬理論在文獻[100]中被提出.

圖7 Qubit-qudit 混合量子線路(由一個工作量子比特和四維輔助量子比特組成的混合系統)[99]Fig.7.Qubit-qudit hybrid quantum circuit (The hybrid system consists of a work qubit and a four-dimensional ancillary qudit)[99].

圖8 三量子比特線路(由一個工作比特和兩個輔助量子比特子系統構成)[99]Fig.8.Three-qubit quantum circuit(consists of a work qubit and a two-qubit ancillary subsystems)[99].

3.2.4 P 贗厄米反對稱二能級系統的量子模擬

文獻[101]對P 贗厄米反對稱二能級系統進行了量子模擬理論研究.研究人員使用對偶量子計算方法,有效模擬了系統從任意初始狀態到不同相位的APPH 系統演化.要在量子比特計算機中實現對任意APPH 系統下的量子模擬,三個量子比特是必不可少的.研究人員發現六維和八維(如圖9 和圖10 所示[101])方案都能夠實現模擬,但是分別具有不同的優勢.六維方案的成功概率更高,而八維方案則需要較少的量子門操作.因此,選擇哪種方案取決于實驗系統的穩定性和可控性.當APPH 系統處于某些特殊相位時,可以使用更少的量子位來模擬.如系統哈密頓量參數的非對角元相等時,只需兩個量子比特即可模擬,并且具有更高的成功概率.

圖9 (a) qubit-qutrit 混合量子計算機的線路圖;(b)三比特量子計算機的量子線路圖[101]Fig.9.(a) Quantum circuit for a qubit-qutrit hybrid computer;(b) quantum circuit designed for a quantum computer of three qubits[101].

圖10 (a) qubit-qudit 混合量子計算機的線路圖;(b)六維子空間中三量子比特量子計算機的線路圖[101]Fig.10.(a) Quantum circuit for a qubit-qudit hybrid computer;(b) quantum circuit designed for a quantum computer of three qubits using the full Hilbert space[101].

3.2.5τ-贗厄米反對稱二能級系統的量子模擬

除了上文討論的PT 對稱系統、P 贗厄米對稱系統及它們分別對應的反對稱系統之外,2002 年,Mostafazadeh[22]定義并研究了一類哈密頓量為τ-贗厄米反對稱(τ-APH)的非厄米系統.τ-APH 哈密頓量滿足

其中,τ是反線性反厄米可逆的變換.τ-APH 哈密頓量及其算子τ對于深入研究具有實數能譜的非厄米哈密頓量的充分必要條件都具有重要意義.文獻[57]研究了基于LCU[72]對τ-贗厄米反對稱二能級系統的量子模擬.詳細提出了將反線性算子τ指定為T算子或P算子后,如何在一般情況下使用三個量子比特以及特殊情況下使用兩個量子比特來模擬T-APH (如圖11 所示[57])和PT-APH(如圖12 所示[57]).在一般情形下,使用LCU 來模擬時間演化需要用到的最小希爾伯特空間是六維.特殊情形下,兩種方案都可以實現模擬,但兩個量子比特的方案成功概率更高,這取決于初始狀態、哈密頓量和所使用希爾伯特空間的維數.因此,將基于LCU 的幺正擴張項以及相位匹配條件相結合對于量子模擬前所需的維數、節省量子比特源以及提高成功概率具有重要意義.這種模擬方法可以推廣到模擬一般的τ-APH 高能級系統,未來可以在實驗上實現.

圖11 模擬T-APH 二能級系統的三量子比特線路圖[57]Fig.11.Three-qubit quantum circuit to simulate a T-anti-pseudo-Hermitian two-level system[57].

4 基于LCU 對非厄米系統的量子模擬實驗

前面介紹了基于LCU 對非厄米系統的量子模擬理論方案,現在介紹實驗方案.量子模擬實驗可以運用不同的系統,典型的系統有核磁共振量子系統、量子光學系統、超導量子系統、離子阱系統、超冷原子系統等.本節介紹在核磁共振量子系統以及量子光學系統中運用LCU 的方法對非厄米系統的量子進行模擬的實驗方案.

4.1 廣義PT 對稱系統的數字量子模擬實驗演示

數字量子模擬(DQS)是一種重要的量子模擬實驗方法,可以用作通用量子計算機[85].DQS 算法用于模擬具有電路模型的量子系統,其量子操作被分解為一般量子門的時間順序序列.研究人員基于文獻[51]提出的對廣義PT 對稱系統的量子模擬方法,展示了一種在量子計算框架中使用電路模型實現廣義PT 對稱算符的DQS 通用方法[52].研究人員在核磁共振平臺上實驗研究了PT 對稱系統的糾纏特性,展示了該方案在糾纏恢復中的應用.需要強調的是,通過對原始量子線路的適當修改,可以實現在一般的非厄米算符中的糾纏恢復,這意味著可以通過實驗中演示的協議,在沒有厄米限制的情況下實現一般的二能級系統演化.這個實驗揭示了兩體非厄米體系中,在PT 對稱非破缺相位中兩個qubit 的熵和糾纏的振蕩.

4.2 PT 對稱破缺下具有非零熵穩定狀態的非厄米系統實驗演示

4.1節的研究是關于兩體非厄米體系,系統中的二量子比特(Alice 和Bob)最初糾纏在一起,Alice 在局部PT 對稱哈密頓量下演化.這樣的二量子比特模型會導致在PT 對稱非破缺相位中熵和糾纏的振蕩,這違反了糾纏單調性[52,86].具體來說,破缺相中兩個量子位的熵和糾纏均呈指數衰減至零,并形成不隨時間變化的穩定態.這種穩定態的動力學過程被稱為正常動力學模式(NDP),它只與量子相位有關,而與非厄米性的程度無關.

然而,文獻[87]發現當系統從兩體模型擴展到三體模型時,會出現另一種演化過程,稱為異常動態模式(ADP).從理論和實驗的角度研究了具有局域PT 對稱的三量子比特系統中熵和糾纏的演化過程.在該系統中發現了ADP 和NDP 兩種動力學模式,其中熵和糾纏傾向于穩定在ADP 中與非厄米相關的非零值,這在兩體系統中是不存在的.ADP 中的兩體子系統在奇異點處呈現最大糾纏增加,且互信息可以超過初始值.此外,還在具有核自旋的四量子位量子模擬器上實現了具有非零熵和糾纏態的非厄米系統中穩定狀態的實驗演示.當PT 對稱系統從兩體擴展到三體時,會出現一些不同的物理性質,糾纏和互信息的增強具有重要的物理意義.

4.3 利用光子量子位對PT 對稱動力學進行實驗模擬

基于經典光學實驗技術實現PT 對稱模擬和應用已經成熟.然而,實驗上利用線性量子光學構造和研究PT 對稱系統仍然存在挑戰.研究人員基于LCU 非厄米量子模擬理論[14,72,73],利用線性量子光學系統,實現了對廣義PT 對稱系統的量子模擬[102].如圖13[102]所示,通過使用輔助量子位放大系統,并用后選擇過程模擬了全厄米系統子系統中UPT算子的相位.結果表明,當只考慮PT 對稱演化子空間時,可以高保真地觀察到演化過程中的狀態.由于擴展方法的有效操作,此項工作為進一步利用PT 對稱哈密頓量的奇異特性進行量子模擬和量子信息處理提供了一條途徑.

圖13 由制備、演化和檢測三個模塊組成的實驗裝置[102]Fig.13.Experimental configuration includes three modules: the preparation module,the evolution and the detection part[102].

4.4 核自旋PT 反對稱系統中信息流的實驗觀測

基于文獻[55]提出的理論,研究人員首次在核磁共振量子計算平臺上實驗模擬了廣義PT 反對稱系統的時間演化,發現PT 對稱系統中的信息回流也存在于PT 反對稱系統中,并且實驗演示了信息流振蕩[56].實驗表明在破缺相中,信息流在環境和系統之間來回振蕩并出現信息回流的現象(如圖14 所示[56]),該現象在傳統的厄米量子力學中是不存在的.研究還表明,當系統參數接近奇異點發生相變之前,振蕩周期和振幅均單調增加;而在通過臨界點后,環境中的信息將不再流回系統中,實現了PT 反對稱系統的對稱破缺相變過程.對稱破缺相位中的單調對應關系表明,此結果可以為量子系統提供一種度量非厄米性的方法.此外,研究人員還發現了一個有趣的反對應關系: 當PT 對稱系統處于破缺相時,不存在信息流振蕩或信息回流,而在PT 反對稱系統的破缺相中,存在信息回流的現象.

圖14 可區分性測量的信息流實驗結果[56]Fig.14.Experimental results of information flow measured by distinguishability[56].

5 其他量子模擬理論方案

本節簡要介紹量子模擬非厄米系統的其他理論方案,包括量子隨機行走、嵌入式量子模擬以及空間拓展等多種對非厄米系統的量子模擬方案.

5.1 量子隨機行走

1993 年,Aharonov 等[103]首次提出量子隨機行走的概念,量子隨機行走是經典隨機行走在量子世界的對照.目前有兩種形式的量子隨機行走: 離散量子行走(discrete time quantum walk,DTQW)和連續量子行走(continuous time quantum walk,CTQW).這兩種形式的主要區別是: 使用演化算符時消耗的時間不同.在DTQW 中,該系統相應的演化算符僅作用于離散時間步長;而在CTQW中,演化算符可以在任何時間所用.其中連續量子隨機行走由Farhi 和Gutmann[104]于1998 年首次提出,而離散量子隨機行走由Watrous[105]于2001年提出.

量子隨機行走在量子信息中有著廣泛的應用,如利用量子隨機行走開發的對于無序數據庫的搜尋算法.正是因為量子隨機行走優于經典隨機行走的特性,使得攜帶信息量子態的擴散速度與經典相比有二次方式的增長.過去,研究人員普遍認為彈道式擴散是量子隨機行走的特性并對其加以利用.但在2015 年薛鵬教授課題組[106]首次觀測到量子隨機行走中光信息的傳播擴散與恢復,這一項關于光在量子隨機行走中的動力學演化研究中提出的理論及實驗的驗證顛覆了人們對量子隨機行走的認識,并為量子隨機行走在量子信息中的應用提供了新的方向,為理解基于量子力學的動力學演化的基本現象提供了新的視角,同時也為研究量子擴散及對拓撲現象的量子模擬提供了新的思路.接著在2017 年,薛鵬教授課題組[91]首次在開放系統中實驗實現了PT 對稱的量子隨機行走并觀測到新型一維拓撲保護邊界態,為基于量子隨機行走平臺實現量子計算提供了新的依據.該課題組設計了開放系統量子行走模型,以行走者的概率交替損耗-不損耗的方式取代難以實現的損耗-增益,證明其同樣滿足PT 對稱性.并利用單光子在線性光學體系中實現了PT 對稱的量子行走,分別演示了PT對稱性保持、破缺以及臨界點的量子特性.首次實現了真正意義上的PT 對稱的量子系統的動力學演化過程.

5.2 嵌入式量子模擬

西班牙巴斯克大學Solano 課題組[107?109]首次引入了嵌入式量子模擬的概念.嵌入式量子模擬是指通過引入輔助量子比特,將原空間中的力學量及Schr?dinger 方程編譯至放大的希爾伯特空間中,將其對應至目前可高度操控的量子模擬平臺,經過時間演化后,再反投影回原空間,實現違反因果律的非物理操作觀測.嵌入式量子模擬器使得量子模擬的內容更加豐富,實現了原本無法在自然中觀測到的現象.目前,嵌入式量子模擬器已經被應用于模擬波函數的復共軛、反線性和反幺正操作[107]及其在囚禁離子平臺與光學平臺實驗觀測[110,111]、研究量子計算中的糾纏單調性[109]及其利用Mφlmer-Sφrensen 量子門與局部旋轉門在囚禁離子平臺實驗的驗證方案[112].近年來使用嵌入式方法對PT對稱系統的模擬得以實現[113?115].這種嵌入式模擬方法基于Naimark 放大理論,通過放大非厄米的PT 對稱哈密頓量以實現更高維度的厄米哈密頓量,并且在后選擇的輔助比特上實現固定投影算符.然而,這類嵌入式模擬PT 對稱系統方法的成功概率還可以提高.研究人員提出了一種局部算符和經典交流(LOCC)協議嵌入式模擬PT 對稱系統的動力學演化[88],只需要用到一個輔助比特.一般情況下的成功概率被提升到原來嵌入方式的一倍以上,特殊情況下成功概率甚至可以趨于100%.并且,這種LOCC 協議更加靈活,對度量算符的依賴更小,更適合用于粒子的應用.相比于利用至少需要一個輔助量子比特的LCU 模擬非厄米系統,LOCC 嵌入式量子模擬只需要一個輔助量子比特便可以實現PT 對稱系統.

5.3 空間拓展

德國魯爾大學Günther 和Samsonov[90]于2008年提出了對具有PT 對稱哈密頓量的短時量子系統進行奈馬克拓展(Naimark dilation),將其重新解釋為高維希爾伯特空間中厄米系統的一個子系統.這為在糾纏雙自旋系統中直接實驗實現Bender等[116]提出的PT 對稱超快短時問題開辟了道路.它解決了PT 對稱哈密頓量的量子力學與傳統的厄米量子力學模式之間的切換問題.核心思想在于將最速降線重新解釋為在高維希爾伯特空間中的更大厄米量子力學系統的適當對稱子系統.基于奈馬克拓展技術[117]產生的大系統將具有糾纏雙自旋(二量子比特)系統的結構,因此短時效應的實驗實現是可行的.

6 其他量子模擬實驗系統

迄今為止,核磁共振量子系統、量子光學系統、超導量子系統、離子阱系統、超冷原子等系統因各自不同的優點,成為構造通用量子處理器的熱門備選方案.本節將介紹核磁共振系統、量子光學及光子學中的量子模擬實驗.

6.1 核磁共振系統

核磁共振具有相干時間長、脈沖操控精確以及保真度高等優點,在量子信息相關研究中起著至關重要的作用[118].核磁共振系統作為一個量子模擬器,可以用于模擬基本量子力學模型、量子延遲選擇[119,120]、量子相變[121,122]、量子隧道效應[47,123]和其他不易操控的量子系統等.下面介紹使用核磁共振系統進行量子模擬的幾個具體應用.

6.1.1 PT 對稱系統快速演化的觀察

最速降線問題描述的是兩個狀態之間的最短時間演化.在量子力學中,兩個狀態之間的最速降線是由哈密頓量本征值的最大差值限定的,它可以應用于量子算法復雜性的時間最優方法.Bender等[116]已經證明PT 對稱哈密頓量比厄米量子力學具有更快的演化最短時間.在核磁共振(NMR)量子系統中,模擬PT 對稱哈密頓量的時間演化的實驗已經得到設計和實現[47].實驗結果表明,PT對稱哈密頓量系統的演化速度確實比厄米量子系統的更快,并且演化時間可以接近于零.在厄米量子力學中,當厄米二能級量子系統的本征值之差固定不變時,自旋翻轉的最快演化時間不變.而對于PT 對稱量子系統,則可以通過改變哈密頓量中的參數來改變最速降線時間.正如Bender 等[116]所預測并在工作中所證明的那樣,哈密頓量參數的改變不僅可以加速演化,還可以減慢演化[124].

6.1.2 核磁共振系統中鳥類羅盤的量子模擬實驗

量子生物學是量子科學與生物學相結合的新興領域.它研究生命系統中的量子效應,并探究量子效應在生物學中的作用.鳥類磁感應現象在20世紀60 年代首次獲得實驗支持[125],它是鳥類通過量子羅盤在地球磁場中定向的能力.在對歐洲知更鳥進行實驗后,有人提出羅盤可能依賴于自由基對中的一對電子自旋,通過塞曼相互作用與地球磁場交互.其他實驗表明,化學羅盤不受極性反轉的影響[126],但是會被頻率處于電子對的共振頻率附近的射頻場破壞[127,128],并且只有在周圍有陽光且磁場強度在±30 %范圍內的內部磁場的情況下才能正常工作[129,130].

有一類量子模擬系統的實現是基于某些化合物中自旋的核磁共振,每種化學物質通常都有固定數量的核自旋,研究人員使用核磁共振光譜儀內的自然哈密頓量并通過應用精心定制的射頻脈沖序列對其進行操作.其中,自然哈密頓量源于化學物質中的靜態磁場和自旋耦合[131].該工作研究的是系統和外部環境耦合的開放系統,因此系統的哈密頓量是非厄米的.射頻脈沖與化合物中原子核的拉莫爾頻率匹配或接近匹配.在這種情況下,原子核很容易吸收和發射入射射頻脈沖所賦予的能量,從而有助于精確控制核自旋.因此使用此類量子模擬系統可以實現鳥類羅盤的模擬.

文獻[44]描述了在核磁共振量子信息處理器中進行了鳥類磁感應的實驗演示.首先在核磁共振系統中準備一個 |00〉 態,然后應用一系列量子邏輯門來創建一個單重態.將鳥類羅盤的時間演化算符應用于單重態.最后,同樣序列的量子邏輯門將系統返回到 |00〉 態,研究人員在此量子態下讀取數據.邏輯門序列和時間演化算子都可以使用梯度上升優化算法(GRAPE)實現.實驗表明,參考和探測羅盤模型在核磁共振系統中得到了成功的模擬,并與理論符合良好,因此核磁共振量子模擬具有廣泛適用性.

6.1.3 量子模擬器上的量子時空

量子引力旨在將愛因斯坦引力與量子力學統一起來,使人們對引力的理解可以擴展到普朗克尺度 1.22×1019GeV .在普朗克尺度層面,愛因斯坦引力和時空連續體被量子時空分解并取代.目前許多研究量子時空的方法都植根于自旋網絡,它是一種重要的、非微擾的量子引力框架.自旋網絡是彭羅斯[86]受扭量理論的啟發提出的,后來被廣泛應用于圈量子引力論(LQG)[132].在LQG 中,自旋網絡在普朗克尺度上代表空間基本離散量子幾何的量子態,用作某些 3+1 維量子時空的邊界數據.量子時空可以具有開放系統結構,因此與非厄米系統關系緊密.

如圖15 所示[133],一個以自旋網絡為邊界的3+1維量子時空是一個自旋泡沫,一個由許多三維世界圖(曲面)及其交點組成的“網絡”,其中世界圖是由自旋一半著色的.就像經典空間的時間演化形成的經典時空一樣,自旋網絡的時間演化形成了量子時空[134,135].

圖15 量子時空和四面體 (a)靜態四維(4D) 量子時空;(b)五價點的動態量子時空;(c) S 3 的局域結構;(d)量子幾何四面體[133]Fig.15.Quantum spacetime and tetrahedra: (a) A static 4D quantum spacetime;(b) a dynamical quantum spacetime with a number of five valent vertices;(c) the local structure of S 3;(d) quantum geometrical tetrahedra[133].

研究人員使用量子模擬器探索自旋網絡態和自旋泡沫振幅,為研究LQG 提供了有效的實驗演示[133].通過在核磁共振系統中使用四量子位量子寄存器,創建了圖16[133]中10 個代表量子四面體的不變張量態,保真度超過95%.然后,利用這些量子四面體,模擬了Ooguri 模型中一個自旋?1/2的自旋泡沫頂點振幅.由于頂點振幅決定了自旋泡沫振幅并顯示了局域動力學,因此結果顯示了5 個膠合量子四面體的相互作用振幅或m到 (5?m) 量子四面體的躍遷.

圖16 實驗制備量子態在Bloch 球上的對應和相關經典的四面體[133]Fig.16.Experimentally prepared states on the Bloch sphere and their corresponding classical tetrahedra[133].

6.2 量子光學系統

量子力學出現開始,光學就在量子物理中擔任了非常重要的角色,與量子發展息息相關.因此,量子光學系統成為了量子計算和量子信息處理的關鍵備選方案之一.

6.2.1 Yang-Baxter 方程的直接實驗模擬

由于Yang-Baxter 方程(YBE)的重要性,其實驗驗證一直是人們追求的目標.值得注意的是Tennant 等[136,137]對其進行的實驗驗證,他們測量了海森伯半自旋鏈的光譜,實驗結果與YBE 的計算結果相符合.文獻[138]對一維導線的密度分布進行測量的結果與基于楊氏可解模型的理論計算結果符合良好.然而,這些實驗都只是對YBE 的間接驗證.根本原因在于YBE 僅為光譜或觀測剖面提供了充分條件,即觀測剖面只是YBE 的必要條件,并不能保證YBE 的有效性,也無法證明光譜參數的類洛倫茲變換.

研究人員于2013 年首次報道了使用線性量子光學對YBE 進行直接實驗模擬[139].此模擬的基本原理由Hu 等[140]于2008 年確立,他們通過使用Temperley-Lieb 代數,進行了一次顯著的約化,得到了一個維數為2 的YBE,這使得利用當前技術在量子光學中實現YBE 成為可能.在2013 年的實驗模擬中,研究人員用分束器、半波片、四分之一波片等線性量子光學元件實現了Hu-Xue-Ge 方案[140],并證明了YBE 的有效性,還直接驗證了厄米對稱的YBE 兩邊的相等性.并且,研究人員首次通過實驗證明了YBE 光譜參數的類洛倫茲變換.然而,研究人員提及的模擬并沒有涉及YBE中的量子糾纏問題,并且實現的YBE 是厄米對稱的.下面介紹非厄米的YBE 的模擬,為實現YBE 的量子糾纏提供了新的思路.文獻[49]首次基于LCU實現了非厄米YBE 的量子模擬.該模擬系統包含Yang-Baxter 子系統和一個輔助量子比特.Yang-Baxter 子系統將會隨著YBE 兩邊的部分演化,而輔助系統用于保持YBE 模擬的統一性,還是檢驗其正確性的必要條件.在傳統的量子模擬中,YBE方程等號兩邊被分別模擬,再對整個Yang-Baxter系統的兩個輸出態進行本質上的重構和比較,以檢查YBE 模擬的正確性.在這一過程中,YBE 的整體性被破壞.相反,基于LCU 的模擬下,由于輔助比特的作用使得YBE 的兩側可以作為一個整體被同時模擬,因此YBE 會保持整體性不受破壞.所以,在YBE 兩側的量子糾纏或多個YBE 系統的量子糾纏有望實現.并且,輔助量子比特可以被用于探測YBE 模擬過程當中的缺陷.這一過程不需要使YBE 子系統的量子態塌縮,所以最后YBE的狀態可以被保留.研究人員除了提出理論之外,還提出了量子光學系統和核磁共振量子系統上實現YBE 的實驗方案(如圖17[49]所示).此方案既可以模擬非厄米YBE 系統,也可以高效模擬厄米YBE 系統.

圖17 LCU 模擬YBE 的簡圖[49]Fig.17.Schematic illustration of the LCU simulation of the YBE by quantum optics system and a nuclear magnetic resonance quantum system[49].

6.2.2 量子熱機的光學模擬

熱機在人類社會發展進程和生活中發揮著重要作用,如何提高熱機效率一直是熱力學的核心科學問題.量子熱機(QTE)顧名思義就是以量子系統為工作物質對外做功的熱機.由于QTE 會向外界做功并且系統與外界相互作用的參數是可控的,因而它是一個開放系統,可由非厄米哈密頓量描述.為了提高QTE 效率,研究人員對工作物質的量子性質進行探索,取得了很多有效成果.最近,通過核磁共振(NMR)[141]和金剛石中的氮空位中心[142]操縱的核自旋系統,研究人員對QTE 的性能進行了實驗驗證.一般來說,在物理系統中實現QTE的一個主要困難是為了實現對退相干的魯棒性而所需的高度可控性.因此,在可以有效控制儲層的體系中設計QTE 顯得尤為重要.另外,退相干可由非幺正算符實現,QTE 與非厄米哈密頓量相聯系.

為了模擬可控儲層,必須考慮量子通道對量子信息的影響[143].在這種情況下,研究人員考慮相關量子通道的光學實現是至關重要的,如振幅阻尼、相位阻尼和位翻轉通道,以及其他使用單光子執行的通道[144].文獻[145]介紹了一種通過光學方法模擬量子熱機的理論和實驗方案,工作物質和熱庫的行為通過單個光子的內部自由度實現.通過使用偏振和傳播路徑,研究人員對兩個量子比特進行編碼,然后實現奧托循環的熱力學步驟.為了說明方案的可行性,研究人員通過強激光束實驗實現了這種模擬,并評估了熱力學循環每一步的熱量和功.

6.3 光子系統

由于具有最快的傳播速度,很強的穩定性及良好的抗環境干擾能力,光子系統早已成為實現量子信息處理的最理想和最熱門的物理系統之一.

6.3.1 PT 對稱量子動力學中臨界現象的觀察

PT 對稱非厄米系統在合成系統(經典光學、微波腔、量子氣體和單光子系統)中具有新奇性.在這些系統中,光譜在PT 對稱非破缺相位中完全是實的,這與PT 對稱自發破缺相位的情況相反.因此,兩個相位中的動力學是截然不同的,并且在兩個區域之間的邊界上出現了動力學臨界性.開放量子系統中的PT 對稱非幺正動力學的一個范例是系統及其環境之間信息流的可逆-不可逆臨界性[132].在這里,當系統處于PT 對稱非破缺區域時,由于在PT 對稱保護的環境中存在有限維糾纏部分,因此丟失到環境中的信息可以被完全恢復.相反,當PT 對稱系統自發破缺時,信息流是不可逆的.而在奇異點附近,物理量表現出冪律行為.大量實驗在經典的增益和損耗平衡的PT 對稱系統中觀察到了此類新奇動力學特性以及PT 過渡點或奇異點的特征[31?36].

文獻[146]描述了利用單光子干涉網絡對PT對稱非幺正量子動力學進行的實驗模擬,并通過實驗研究了PT 非破缺和破缺區域的奇異點附近信息流中的臨界現象.研究人員通過對光子實施非幺正門運算并執行量子態層析成像,重建了任意時刻PT 動力學隨時間變化的密度矩陣,這使得能夠表征PT 奇異點附近的臨界現象,并在關鍵量(如可區分性和重現時間)中證明了冪律行為.對稱性和初始條件都會對臨界現象產生影響.引入輔助自由度作為環境并探測系統和環境之間的量子糾纏,研究人員證實了觀測到的信息恢復是由環境中的有限維糾纏部分引起的.該工作是第一個描述PT對稱非幺正量子動力學中臨界現象的實驗,并為模擬合成量子系統中的PT 對稱動力學開辟了一條途徑.

6.3.2 光學微腔中模擬PT 任意相位對稱系統

3.2.3節已經介紹了PT 任意相位對稱系統,并且給出了其基于LCU 的模擬理論,本節介紹二元光學微腔中模擬PT 任意相位對稱系統.PT 任意相位對稱系統的哈密頓量滿足(12)式,當與系統哈密頓量有關的相位φ處于不同的值時,可以得到PT 或者APT 對稱的系統.文獻[97]研究了PT 任意相位對稱系統的演化,可以在二元耦合系統中實現這種對稱性.研究人員實驗上選擇兩個具有相同共振頻率的光學微型諧振器進行模擬,發現PT 任意相位對稱系統的能級簡并只能在PT對稱和PT 反對稱情況下實現.研究人員提出了實驗上可實現的系統,展示了在PT 任意相位的對稱保護性.這類系統有望被用于超敏傳感、光學手性和非互易傳輸.

6.3.3 使用光子高斯模式模擬三能級系統中的量子躍遷

量子光學系統被證明是量子力學基礎測試和量子信息協議實施的有效選擇.某些光學系統在光子橫向動量中進行信息編碼,這些信息可以使用狹縫[147]或不同的光子路徑[148]來離散,以便在狹縫模式或高斯模式下制備單光子、雙光子或四光子量子態[149,150].由于高斯形狀在順序運算中保持不變,因此高斯模式可用于廣義量子運算.此外,這種狀態很容易耦合到帶透鏡的光纖和光子電路,從而使得研究人員在不同的平臺和不同的應用中探索它們.另一個有趣的可能性是使用空間光調制器(SLM)作為光學系統的一部分來轉換光子狀態,保持相同的高斯編碼,以實現廣泛的量子操作[150,151].這種光學結構的一個重要優勢是它們能夠模擬復雜的量子系統.

研究人員提出并實現了一種使用三模光子系統在量子躍遷下實驗模擬非厄米三能級系統的方法(如圖18[152]所示),分別在三能級原子系統中模擬了三種不同的自發衰變動力學: 級聯衰變,Λ 衰變和V 衰變.研究人員利用光子級的衰減光相干源,制備了三路疊加態的光子,該光子以并行高斯模式編碼,通過對光子路徑進行精確的周期性相位調制,能夠實現大量操作并模擬三能級系統中不同的衰減動力學.這一模擬讓我們更好地理解量子躍遷如何影響三能級系統的相干性.此外,這種實現可用于理解高維系統中的量子躍遷如何因狀態退相干而影響量子協議,而退相干可由非厄米幺正算符實現,從而與非厄米系統相聯系.該方法具有通用性,它可以推廣到三級以上的多級系統.

圖18 用于準備和實現在三模平行高斯光束狀態下的算符的實驗裝置[152]Fig.18.Experimental setup used to prepare and to implement the operations on a three-path parallel Gaussian beam state[152].

6.3.4 耦合PT 對稱哈密頓量的光子量子模擬

文獻[153]提出了適用于直接實現幺正變換技術平臺的PT 對稱哈密頓量量子模擬的框架.研究人員使用設備將非幺正算子,以及與第一算子具有相反的時間演化算子的第二算子嵌入到全局幺正變換之中.該模型中的整體演化允許單粒子或多粒子激發在耦合系統之間隧穿,其概率與模擬哈密頓量的非厄米性成比例.這種構造允許在非厄米哈密頓量的情況下,對在相反時間方向上疊加的狀態進行實驗研究.研究人員使用可編程集成光子芯片以及單光子、雙光子和三光子輸入態的集合,在雙模和三模PT 對稱哈密頓量中實驗模擬了多粒子動力學.此實驗再現了PT 對稱未破缺區域和跨越奇異點到PT 對稱破缺區域的動力學,包括時間正向子系統和時間反向子系統之間的相互相干效應和干涉效應.這一工作展現了使用可編程量子模擬器研究量子力學中的基本問題的可能性.

7 經典系統中的非厄米系統模擬實驗

除了量子系統,經典系統也可模擬非厄米系統.經典物理實驗系統更成熟穩定,相比于量子系統更易于操控,更容易完成實驗實現,同時也可以很好地演示非厄米系統特性.下面分別簡介利用LRC 回路、激光器和經典電路模擬PT 對稱非厄米系統.

7.1 LRC 回路中模擬PT 對稱的量子系統

具有PT 對稱性的LRC 回路實驗上最早是由Schindler 等[154]于2011 年提出的,它由一對振蕩耦合器構成,其中一個具有放大功能,另一個則具有等效的衰減量.正是由于這對振蕩耦合器(又稱作二聚體)中的增益損失機制,使得這一回路可以在保持PT 對稱性的同時打破厄米性.這種“有源”二聚體可以使用簡單的電子學實現,由于其在經典系統中模擬PT 對稱的量子系統,所以它從實本征譜到復本征譜的“相變”可以被直接觀察.在具有新奇性的相變點附近,其一般的模式合并,組件相對相位差的確定值由電感耦合確定.這一實驗的實現引導了后續一系列使用經典系統對量子系統的模擬的實驗.2012 年,Lin 等[155]在實驗上通過在傳輸導線的感應耦合中應用LRC電路,研究了PT 對稱的散射,并且提供了PT 對稱散射的奇異性質的實驗依據.LRC 電路作為一種易于實現的系統,可以研究許多其他理論思想.其簡單性和對動態變量的可訪問性使我們能夠深入且更透徹地理解PT 對稱散射.2018 年Choi 等[92]通過實驗演示了一種模擬通用APT 系統的電路.他們使用電阻耦合放大LRC 諧振器電路研究了穩態和動態特性,實現了精確的參數控制和時間分辨測量.在該實驗中,他們觀察到了相變點、發生PT 對稱破缺的逆過程以及能極差守恒的時間演化等結果,通過實驗證實了APT 量子系統的獨特性質,為其他領域的發展提供了新的光波操作技術和創新的設備操作原理.

7.2 激光器中的PT 對稱

由于半導體激光器系統中,不僅存在折射率的高低分布,而且存在增益和損耗分布,因而它可作為一個非厄米的光學系統[156].2007 年E1-Ganainy等[157]提出了適用于PT 對稱光學元件的耦合模理論(CMT),其中每個單獨元件和整個系統都遵循PT 對稱性.基于PT 對稱光學的CMT,產生且發展了許多相關光學實驗.其中的一類代表是具有側向和縱向PT 對稱性結構的激光器.具有側向和縱向PT 對稱性結構的激光器可以調控自身的模式特性.2012 年Miri 等[158]提出利用PT 對稱結構的側向模式制備單側模激光器,實現單向模場大面積激光的放大.這種PT 對稱結構可以通過耦合兩個多模場的波導來實現,其中一個模場顯示的是增益,另一個是等量的損耗.研究人員利用PT 對稱破缺躍遷實現單側模激光器,這種躍遷在保持高階模場中性的情況下,允許基本模場獲得增益.這種單側模激光器得以實現的本質原因是波導基模間的耦合系數小于高階模間的耦合系數,基模會更先進入PT 對稱破缺相,進而實現單側模的激光輸出.Hodaei 等[159]在2014 年利用光泵浦的側向雙環耦合的PT 對稱環形激光器實現了單模激光的輸出,實現了縱模的篩選.2018 年Yao 等[37]通過固定一個波導的電流,調節另一個波導的電流大小以實現一個波導固定增益和另一個波導變化的損耗,進而實現模式選擇性PT 對稱破缺和單模操作.

Feng 等[160]在2014 年提出了利用純增益損耗調制的單微環縱向PT 對稱結構的激光器,可以利用PT 對稱相變來實現對固有的單模激光的選擇.Gu 等[161]在所制備的縱向PT 對稱條形激光器中,發現了模式間隔更大的光譜.這是由于該激光器具有非對稱的泵浦區域與非泵浦區域,進入PT 對稱破缺相導致模式間隔增大.除了利用PT 對稱性的模場分離調控激光器,還可以利用處于PT 對稱相變點處的光的不可見性實現軌道角動量微腔激光器[162,163].由于光在縱向PT 對稱的復折射率光柵處的反射率為0,因而可以使得微環上只保留一個方向上的光束輸出.利用單向破壞性干涉展現出的獨特非對稱結構也能設計不依賴入射方向的波傳播以及單向激光發射[164,165].

7.3 經典電路模擬非厄米系統

相比傳統的量子平臺,經典電路系統因不受限的網絡形式和高度的調控自由度,原則上可以模擬任意維度、任意格點間躍遷、任意邊界條件下的量子緊束縛模型,已經成為模擬量子物態的有力平臺.研究人員利用經典電路通過仿真電路模擬器(SPICE)成功模擬了一個重要的非厄米量子模型[166],即非互易Aubry-André模型(AA 模型)的穩態性質,包括周期邊界條件下體現系統非厄米拓撲性質的復能譜和能譜纏繞數,以及開邊界下非厄米趨膚效應與準無序局域化的競爭.研究人員詳細介紹了如何建立經典電路的拉普拉辛形式與量子緊束縛模型哈密頓矩陣在不同邊界條件下的映射,并具體給出了實現不同邊界條件下非互易AA 模型的電路設計方案.由于方案的普適性,這一工作所討論的設計原則和理論可以直接應用于其他非厄米量子模型的電路模擬.

8 總結與展望

量子模擬一直以來作為量子信息研究的重要驅動力和主要研究方向,其理論與實驗研究均發展迅速.非厄米系統作為傳統量子力學理論拓展,因其與開放和耗散系統聯系緊密,同時具有潛在應用價值,近二十年來發展迅速,成為研究熱點.本文關注二者的結合,簡要綜述了非厄米系統量子模擬的新進展,著重介紹了基于LCU 對非厄米系統的量子模擬理論和實驗研究,包括PT 對稱與反對稱系統、PT 任意相位對稱系統、P 贗厄米對稱與P 贗厄米反對稱、贗厄米任意相位對稱系統、τ-反贗厄米對稱系統等的量子模擬研究.同時,簡要介紹了其他量子模擬非厄米系統的研究方法,包括隨機行走、嵌入式和空間拓展等.實驗方面,介紹了基于核磁共振、量子光學與光子學等平臺的幾個典型的非厄米量子模擬研究實例,以及利用經典物理系統開展對非厄米系統模擬的實驗研究.

目前對非厄米系的量子模擬研究,理論方面集中于PT 對稱與反對稱,對于其他非厄米系統尤其是贗厄米系統的理論研究逐步增多.實驗方面主要集中于PT 對稱與反對稱系統,對于包括贗厄米系統在內的其他非厄米系統的量子模擬實驗研究較少,是今后開展非厄米實驗研究的發展方向.然而,非厄米系統不僅局限于具有PT 對稱性或贗厄米性的哈密頓量,還有更多具有不同形式非厄米哈密頓量有待發現、研究和應用.另一方面,多數非厄米量子模擬研究集中于二能級系統,以展示非厄米系統新奇特性為主.隨著研究深入,高維一般情況的非厄米哈密頓量的數學形式和高效的量子模擬有待進一步研究.