一個具有超級多穩定性的憶阻混沌系統的分析與FPGA 實現*

張貴重 全旭 劉嵩

(湖北民族大學智能科學與工程學院,恩施 445000)

為了進一步提高混沌系統的復雜性,用磁控憶阻器代替基于Sprott-B 的四維混沌系統中的耦合參數,構建了一個五維憶阻混沌系統.通過分岔圖、李雅普諾夫指數譜、相軌圖、龐加萊映射等常規手段分析了系統的動力學行為.分析表明新系統具有豐富的動力學行為: 不僅存在依賴于系統參數變化的周期極限環和混沌吸引子,還存在依賴于憶阻初始條件變化的無限多共存吸引子的超級多穩定現象.最后,基于現場可編程門陣列(FPGA)技術實現了憶阻混沌系統的數字電路,在示波器上捕捉到的相圖與數值仿真一致,驗證了憶阻系統的正確性與可實現性.

1 引言

憶阻器是用來描述磁通與電荷之間關系的非線性二端子元件[1],具備尺寸小、速度快、低功耗等優點,在保密通信[2?4]、人工神經網絡[5?7]、電子工程[8,9]、混沌電路[10?12]等領域具有廣泛的工程應用.由于憶阻器具有天然的非線性和可塑性的特點,將其引入至混沌系統或代替電路中的非線性元件后,能夠構建出具有多穩定性或超級多穩定性的憶阻混沌系統或電路,可以觀察到多吸引子或無限多吸引子的共存現象.因此,憶阻器和基于憶阻器構造更復雜的憶阻混沌系統和電路有著極其重要的研究價值.

近年來,多穩定性和超級多穩定性成為混沌相關領域中的重要研究方向.多穩定性是指當系統參數不變時,改變系統的初始條件,系統呈現出點吸引子、周期、準周期、混沌、超混沌等不同的穩定狀態[13,14].特別地,當系統存在無窮多吸引子共存的現象稱為超級多穩定性.目前,利用憶阻器產生多穩定性現象主要有兩個途徑: 一是將憶阻器代替已有電路中的元件或直接利用憶阻器設計新的憶阻電路;二是將憶阻器代替原系統的耦合參數或將其作為反饋項引入至原系統.

最近幾年,大量文獻基于以上兩種方法構造多穩定性或超級多穩定性混沌系統.Xu 等[15]在一種非理想的有源壓控憶阻蔡氏電路中進行實驗,發現了不同初始狀態下的多個吸引子,并在歸一化參數后通過調節參數區域,發現系統呈現多穩定性.Bao 等[16]將有源帶通濾波器與一個并聯憶阻-電容濾波器線性耦合構建了一個新的憶阻電路,發現該電路的平衡點在空間呈線狀分布,即存在線平衡點和依賴憶阻初始條件的超級多穩定性.隨后,Bao等[17]又將兩個不同的憶阻器代替蔡氏電路中的線性和非線性電阻,新的憶阻電路具有面平衡點,并導致超級多穩定性現象.閔富紅等[18]設計了一個含有兩個雙曲余弦憶阻的混沌電路,實驗發現該電路具有多隱藏吸引子的共存現象.可見,將一個或多個憶阻代替電路中線性或非線性元件已成為構造多穩定性電路的重要手段.秦銘宏等[19]將磁控憶阻器引入至一個三維混沌系統,構造了一個形式簡單且具有無窮多吸引子共存的憶阻系統.Lai等[20]將原四維系統中的一個狀態變量改為正弦函數形式,新系統存在無平衡點的無限多共存隱藏吸引子的超級多穩定現象.可見,三角函數[21]、絕對值函數[22]、乘積項[23]等也可產生多吸引子的共存現象.Huang 等[24]將憶阻器引入至一個三維混沌系統,所構建的憶阻混沌系統不僅具有異構多穩定性,同時還存在齊次多穩定性.綜上,利用憶阻器構建具有豐富動力學行為的混沌系統有著極其重要的研究意義.

盡管五維或更高維的混沌系統已有文獻報道,但基于憶阻器構建高維混沌系統的研究尚少,尤其是可以同時表現出多參數演化的動力學行為和依賴于初始條件變化的偏移增強現象,以及大初值調節范圍內的無窮多共存吸引子,即超級多穩定性現象.因此,本文構建了一個五維憶阻混沌系統.通過數值仿真方法,研究了系統的動力學行為.當系統參數變化時,系統可以產生大量不同拓撲結構的混沌吸引子和不同周期數的周期極限環;當固定系統參數時,系統表現出極強的初始值敏感性,能夠產生無窮多混沌與周期吸引子的共存現象.最后基于現場可編程門陣列(FPGA)實現了系統的數字電路,得到的結果與數值仿真一致,為實際工程應用領域奠定了基礎.

2 五維憶阻混沌系統模型

采用文獻[25]提出的磁控憶阻器,其數學模型為

式中,W(φ)為憶導函數;m和n均為正常數;i和v表示流經憶阻器的端電流和兩端的端電壓;φ表示憶阻的內部磁通.

2019 年,文獻[26]基于Sprott-B 系統構建了一個四維混沌系統,模型為

式中,x,y,z,w為狀態變量;a,b,c為系統參數.

在系統(2)的基礎上,將憶阻W(φ) 替換第4 個方程中狀態變量w的耦合系數,選擇狀態變量w作為控制電壓,構建出了一個新的五維憶阻混沌系統,其數學模型為

式中,x,y,z,w,u為系統(3)的狀態變量;a,b為系統的控制參數;k為正值參數,表示憶阻強度.選擇系統參數a=7,b=10,k=40,m=1,n=0.01,初始條件 (10,10,0,0,0) 時,通過數值仿真得到吸引子的相圖如圖1 所示.

圖1 混沌吸引子相圖 (a) x-y 平面;(b) x-z 平面;(c) y-z 平面;(d) x-w 平面;(e) z-w 平面;(f) x-u 平面Fig.1.Phase portraits of chaotic attractor: (a) x-y plane;(b) x-z plane;(c) y-z plane;(d) x-w plane;(e) z-w plane;(f) x-u plane.

相應的5 個李雅普諾夫指數分別為LE1=0.3794,LE2=0,LE3=?0.0564,LE4=?7.3470,LE5=?40.8700.由Wolf 算法[27]計算的李雅普諾夫指數維數DL為

系統(3)在x=y截面上z-w平面內的龐加萊映射如圖2(a)所示,系統的狀態變量x,y,z,w,u的時域波形圖如圖2(b)所示.由于李雅普諾夫指數維數DL為分數維、龐加萊映射呈分形的幾何特征以及時域波形圖為非周期性的,所以系統(3)是混沌的并且蘊含著豐富的動力學行為.

圖2 混沌系統的龐加萊映射和時域波形 (a) 在 x=y 截面上的龐加萊映射;(b)時域波形Fig.2.Poincaré map and the time domain waveform of the chaotic system: (a) Poincaré map on x=y plane;(b) the time domain waveform.

3 基本動力學特性

3.1 對稱性

新構建的系統(3)是關于z軸對稱的,即在(x,y,z,w,u)→(?x,?y,z,?w,?u)后系統保持不變.

3.2 耗散性

系統(3)的耗散度由指數收縮率表示為

由磁控憶阻器的定義可知m>0,n>0,憶阻強度k >0,所以對任意正實數a都滿足?V <0,表示系統(3)是耗散的,且以指數dV/dt=e?[a+k(m+nu2)]的形式收斂,最終所有軌跡收縮在一個體積為0 的子集中,并附著在一個吸引子上.

3.3 平衡點穩定性

式中,η為任意實常數.因此,系統(3)具有2 根平行于u軸的線平衡點,且2 根線平衡點到u軸的距離相等.

其中W(η)=m+nη2.

平衡點的特征多項式方程為

四次多項式的系數為

(8)式表明雅可比矩陣有1 個零特征根和4 個非零特征根.對于非零根,四次多項式的Routh-Hurwitz 穩定條件為

當(10)式的3 個條件同時滿足,則平衡點是穩定的,此時系統會生成點吸引子;如果(10)式中任意一個條件不滿足,則平衡點是不穩定的,此時系統表現出周期或混沌等狀態.

4 系統動力學行為分析

4.1 依賴于參數的動力學行為

系統參數的改變會導致混沌系統產生不同的動力學行為,依次選擇a,b作為可變參數,通過繪制分岔圖、李雅普諾夫指數譜、相軌跡圖等分析憶阻系統(3)的動力學特性.

首先,選擇a作為可變控制參數.固定參數b=10,k=40,m=1,n=0.01,初始條件選為(10,10,0,0,0),系統狀態變量z在參數a ∈[1,8.7] 內演化的分岔圖和李雅普諾夫指數譜如圖3 所示.通過分析,隨著參數a的增大,系統出現了倍周期分岔、切分岔、反向倍周期分岔等現象.由此可見,當a取不同值時系統的狀態也會隨之改變.在參數a ∈[1,1.41]時系統呈現了周期行為,然后系統經過倍周期分岔進入混沌狀態,在a=1.96 處發生了切分岔,混沌狀態突然向周期狀態轉變,引發了陣發混沌現象,即在此后的混沌區域內出現了大小不同并且周期數不等的周期窗口;在a=5.65 處,系統經過反向倍周期分岔進入到周期狀態;隨后系統又迅速進入混沌態,但吸引子的形態發生了改變.這里選取若干參數a值如表1 所列,通過相圖更清晰地展示了系統隨參數a變化時吸引子的運動狀態,其相圖如圖4 所示.其中,圖4 中吸引子在x-y平面的相圖與表1 依次對應.

圖3 隨系統參數 a 變化的分岔圖和李雅普諾夫指數譜 (a) 分岔圖;(b) 李雅普諾夫指數譜Fig.3.Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum with a : (a) Bifurcation diagram;(b) Lyapunov exponent spectra.

圖4 不同參數 a 值(表1)條件下,系統在x-y 平面內的相圖Fig.4.Phase portraits of the system with different parameter a (Table 1) on x-y plane.

表1 不同系統參數 a 值對應的吸引子類別及編號Table 1.Attractor types and number corresponding to different values of system with parameter a .

其次,選擇b作為可變參數.固定參數a=7,k=40,m=1,n=0.01,初始條件為 (10,10,0,0,0),系統狀態變量z在參數b ∈[6,25] 內演化的分岔圖和李雅普諾夫指數譜如圖5 所示.通過分析,當參數b逐漸增大時系統先由周期狀態經過倍周期分岔變為混沌狀態;在經過一個周期2 窗口后,當b=11.28處系統(3)立刻由混沌狀態變為周期狀態;隨后系統以倍周期分岔的方式進入到混沌狀態,然后先后經過一個較窄的周期窗、一個周期3 窗口和一個較大的周期6 窗口,最終穩定在混沌狀態.相比參數a,參數b有著更大的可調范圍和長期的不可預測性.相對其他混沌系統,系統(3)更適用于圖像加密的應用.

圖5 隨系統參數 b 變化的分岔圖和李雅普諾夫指數譜 (a) 分岔圖;(b) 李雅普諾夫指數譜Fig.5.Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum with b : (a) Bifurcation diagram;(b) Lyapunov exponent spectra.

為了直觀地描述參數a和b的變化對系統動態特性的影響,繪制出在b-a平面的動力學地圖如圖6所示.圖6 中不同顏色代表著系統不同狀態的動力學行為,其中藍色表示周期1 極限環、綠色表示周期2 極限環、黃色表示周期3 極限環、橙色表示周期4 極限環、粉色表示周期6 極限環而黑色表示混沌區域.值得注意的是,在整個變化區域內,由于系統參數a和b的取值不同,系統的周期極限環和混沌吸引子也會呈現出不同的結構和渦卷數,這也說明系統能表現出更豐富的動力學行為.

圖6 關于參數 b和 a 的動力學地圖Fig.6.Dynamical map with respect to parameters band a .

4.2 依賴于初始值的超級多穩定性

在系統參數固定的條件下,由于初始狀態的改變,系統具有多共存吸引子的現象稱為混沌系統的多穩定性,特殊地,系統存在無窮多吸引子共存的現象即為混沌系統的超級多穩定性.

固定系統參數a=7,b=10,k=40,m=1,n=0.01并且固定系統的4 個初始條件x(0)=10,y(0)=10,z(0)=0,w(0)=0,繪制憶阻初始條件u(0)∈[?26,26]時狀態變量z的分岔圖以及李雅普諾夫指數譜,如圖7 所示.分析表明: 隨著初值的改變,系統呈現周期、多周期、準周期、混沌等不同的狀態.并且隨u(0) 變化的分岔圖具有近似對稱性,為了方便觀察和分析,對u(0)∈[10,26] 區間的分岔圖進行區域性放大,如圖8(a)所示.當選取u(0)=?23.8,?9,0,10.5,24.1時,多共存吸引子在z-u-x空間上的相圖如圖8(b)所示.其中,吸引子的類型分別為準周期(粉色)、周期2(黑色)、混沌(紅色)、周期3(藍色)以及多周期(綠色).

圖7 當 u(0)∈[?26,26] 變化時的分岔圖和李雅普諾夫指數譜 (a) 分岔圖;(b) 李雅普諾夫指數譜Fig.7.Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum with u(0)∈[?26,26] : (a) Bifurcation diagram;(b) Lyapunov exponent spectra.

圖8 當 u(0)∈[10,26] 時的分岔圖和共存吸引子在三維空間z-u-x 的相圖 (a) 分岔圖;(b) 共存吸引子相圖Fig.8.Bifurcation diagram with u(0)∈[10,26] and phase portraits of coexisting attractors in three dimensional z-u-x space:(a) Bifurcation diagram;(b) phase portraits of coexisting attractors.

當固定系統參數a=10,b=17,k=40,m=1,n=0.01并且固定系統的4 個初始條件y(0)=10,z(0)=0,w(0)=10,u(0)=0時,選取x(0)∈[?45,45]時狀態變量z的分岔圖如圖9(a)所示,可以清晰地看出: 系統(3)經歷了混沌、周期、混沌、周期的變化過程,在x(0)=?11.5和39.5 兩處發生了混沌危機,系統由混沌態直接變為周期態.值得注意的是,在混沌區域內,吸引子的渦卷數也會隨初值的改變而變化,設置x(0)分別為 ?45,0,33 時,其在三維空間z-u-x內共存吸引子的相圖如圖9(b)所示,對應的吸引子類型分別為雙渦卷混沌(紅色)、周期1 極限環(藍色)、以及單渦卷混沌(黑色).

圖9 當 x(0)∈[?45,45] 時的分岔圖和共存吸引子在三維空間z-u-x 的相圖 (a) 分岔圖;(b) 共存吸引子相圖Fig.9.Bifurcation diagram with x(0)∈[?45,45] and phase portraits of coexisting attractors in three dimensional z-u-x space:(a) Bifurcation diagram;(b) phase portraits of coexisting attractors.

特別地,固定系統參數a=7,b=10,k=40,m=1,n=0.01,當選取初始值為Y1=(10,0,0,0,p),其中p=?4,?2,0,2,4 時,系統(3)具有5 個共存周期1 吸引子,其在z-u-x空間上的三維相圖見圖10(a).系統參數不變,當選取初始值為Y2=(10,1,0,0,q),其 中q=?6,?3,0,3,6 時,系 統(3)具有5 個共存混沌吸引子,其在z-u-x空間上的三維相圖如圖10(b)所示.需要說明的是: 為了觀察方便,這里僅選取了幾個特別的初值;然而,每當系統的初始值做一微小變化時,系統都會產生一個新的吸引子,為了驗證這一現象,圖11 展示了初始值Y1和Y2中p,q ∈[?6,6]變化時狀態變量x的分岔圖,其中紅色表示周期1 極限環,藍色表示混沌狀態,表明系統存在依賴于初始條件的偏移增強現象,這也證明了系統(3)具有極強的初始值敏感性,進而驗證了系統確實具有無限多共存吸引子,即超級多穩定性現象.

圖10 不同憶阻初始值下的多共存吸引子在三維空間z-u-x 的相圖 (a) 共存周期吸引子;(b) 共存混沌吸引子Fig.10.Phase portraits of coexisting many attractors in z-u-x space: (a) Coexisting periodic attractors;(b) coexisting chaotic attractors.

圖11 當 p,q ∈[?6,6]時 Y1和 Y2 的分岔圖Fig.11.Bifurcation diagram of Y1and Y2withp,q ∈[?6,6].

5 系統的FPGA 實現

系統的總體硬件框圖如圖12 所示,其中主要包含FPGA 以及D/A 轉換器兩部分.憶阻混沌系統的物理實現選用Intel 公司的EP4CE10F17 芯片,以QuartusⅡ 17.1 為開發環境構建硬件系統,系統的外設通過Avalon 總線連接.然后分配FPGA引腳,將生成的配置文件下載至目標板.

圖12 系統硬件框圖Fig.12.Hardware structure chart of the system.

憶阻混沌系統是連續的,而FPGA 只能對離散化信號進行處理,所以在系統編程前需要對系統(3)進行離散化處理,令采樣時間 ?T為10?3s并采用Euler 法離散化后的系統為

由于DAC 芯片為14 位,需要按(12)式對混沌數據做量化處理:

式中,γ和γ′分別為量化前后的數據,γmax為最大值,γmin為最小值.

最后通過示波器得到的相圖如圖13 所示,實驗結果與圖1 的數值仿真結果基本一致,驗證了系統的正確性與可行性.

圖13 FPGA 電路實驗結果 (a) x-y 平面;(b) x-z 平面;(c) y-z 平面;(d) x-w 平面;(e) z-w 平面;(f) x-u 平面Fig.13.Circuit experiment results on FPGA: (a) x-y plane;(b) x-z plane;(c) y-z plane;(d) x-w plane;(e) z-w plane;(f) x-u plane.

6 結論

本文利用憶阻器構建了一個新的具有豐富動力學行為的五維憶阻混沌系統.相比原系統,新系統具有兩根平行于u軸的線平衡點集,存在依賴初始條件的無窮多共存吸引子的超級多穩定現象.同時,利用相圖清晰地描繪了由參數和初值變化對系統動力學行為的影響,發現系統存在周期、多周期、準周期、混沌等不同狀態和不同拓撲結構的吸引子.最后,采用FPGA 實現了五維憶阻混沌系統的數字電路,實驗結果和數值仿真結果一致,驗證了系統的正確性和可行性,下一步將研究此憶阻系統在圖像加密中的應用.