基于實際探測器補償的離散調制連續變量測量設備無關量子密鑰分發方案*

吳曉東 黃端 黃鵬 郭迎

1) (福建工程學院管理學院,福州 350118)

2) (中南大學計算機學院,長沙 410083)

3) (上海交通大學區域光纖通信網與新型光通信系統國家重點實驗室,量子傳感與信息處理中心,上海 200240)

4) (中南大學自動化學院,長沙 410083)

由于離散調制連續變量測量設備無關量子密鑰分發方案與高效糾錯碼具有良好的兼容性,因此即使在低信噪比條件下,也具備較高的協商效率,并且其實現條件相比于高斯調制方案更加簡單.然而,實驗中常用的零差探測器的量子效率僅為0.6,這會嚴重影響離散調制連續變量測量設備無關量子密鑰分發方案的實際應用性能.鑒于此,本文提出基于實際探測器補償的離散調制連續變量測量設備無關量子密鑰分發方案,即在該方案中對兩條量子信道的輸出端各采用一個相位敏感放大器用于補償相對應的實際零差探測器.仿真結果表明采用相位敏感放大器能夠很好地補償實際零差探測器的量子效率,有效提升基于實際探測器的離散調制連續變量測量設備無關量子密鑰分發方案的密鑰率和安全傳輸距離,為推動離散調制連續變量測量設備無關量子密鑰分發方案的實用化發展提供了一個有效而實用的方法.

1 引言

量子密鑰分發(quantum key distribution,QKD)[1?4]作為量子信息科學的一項重要應用,允許相隔兩地的合法通信雙方(Alice 和Bob)在不安全的量子及經典信道環境下建立一串安全密鑰.現階段,QKD 主要可分為兩大類,即離散變量(discrete-variable,DV)QKD[5?7]與連續變量(continuous-variable,CV)QKD[8?16].DV-QKD 通常以單光子作為信息編碼的載體,在接收端需采用高效率的單光子探測器,這種探測器造價高昂,使得DVQKD 運行成本較高.相比于DV-QKD,CV-QKD具備與現有光通信系統進行有效融合的潛力,并且能夠使用成本更低的光源及探測器.

在眾多CV-QKD 方案中,高斯調制相干態(Gaussian-modulated coherent state,GMCS)方案因其理論安全性[17?22]和實用性[23?27]而備受關注.然而,GMCS 方案的安全性分析通常基于設備完美且不被竊聽的理想假設,而這種假設在實驗中很難實現[28,29].實際上,竊聽者可能會利用不完美設備所造成的安全漏洞采取相應的量子攻擊策略,如校準攻擊[30]、本振光抖動攻擊[31]、本振光波長攻擊[32]、探測器飽和攻擊[33]等.上述這些針對實際設備的攻擊策略嚴重影響了CV-QKD 系統的實際安全性.

為了有效地消除所有針對實際探測器的現有和潛在的攻擊,2012 年兩個課題組各自獨立提出測量設備無關(measurement-device-independent,MDI) QKD 方案[34,35],其中Braunstein 和Pirandola[34]所提出的MDI-QKD 方案全面解決了針對探測器的側信道攻擊問題,而Lo 等[35]所提出的MDI-QKD 方案則僅限于量子比特系統.不久之后,MDI-QKD 方案不僅在理論安全性方面得到了很好的分析[36?39],而且在實驗方面也成功地進行了驗證[40,41].目前,MDI-QKD 主要可分為離散變量(discrete-variable,DV) MDI-QKD[35,42]與連續變量(continuous-variable,CV) MDI-QKD[43?47].在CV-MDI-QKD 的框架下,Alice 和Bob 均被視為發送方,而不可信的第三方Charlie 在接收到由Alice和Bob 發送來的量子態時進行貝爾態檢測(Bellstate measurement,BSM),并將所得到的測量結果向Alice 和Bob 進行公布以生成安全密鑰.由于方案的測量部分由不可信的第三方Charlie 執行,方案的安全性不再依賴于完美的探測器.因此,CVMDI-QKD 能夠消除所有已知或未知的探測器側信道攻擊.

然而,在實際應用中,CV-MDI-QKD 方案的最大傳輸距離卻不盡如人意.其中一個關鍵問題在于對高斯調制CV-MDI-QKD 方案而言,在低信噪比、長距離傳輸的情況下其協商效率非常低.現階段可使用的效果最好的糾錯碼,如低密度奇偶校驗(low density parity check,LDPC)碼[48]或turbo碼,在低信噪比的情況下可以很好處理離散(如二進制)值,但在相同條件下處理連續(如高斯調制)值的性能較差.

為了解決上述問題,常用的方法是編寫低信噪比條件下具有高效率的糾錯碼.該方法與解決點對點QKD 方案中此類問題的方法一致,通過適當優化和構造特定的LDPC 碼,使其在低信噪比條件下具有良好的性能[49?51].然而,此種類型的糾錯碼設計及實現具有較高的復雜度,并且所需的硬件成本高.不僅如此,大部分此類糾錯碼能成功獲得高協商效率的概率非常低.最近,Ma 等[52]提出離散調制CV-MDI-QKD 方案,該方案即使在極低的信噪比條件下,也能與高效的協商糾錯碼進行良好的協作,從而有效提高安全傳輸距離.此外,離散調制方案比高斯調制方案更便于實驗實現和具體操作.然而,Ma 等[52]所提出的離散調制CV-MDIQKD 方案是基于這樣一種理想化假設,即Charlie采用完美的零差探測器(量子效率為1)來進行量子態探測,而這在實際應用中是無法實現的.實驗中常用的零差探測器其標準的量子效率僅為0.6[53],這會嚴重影響離散調制CV-MDI-QKD方案的性能.

為了使離散調制CV-MDI-QKD 方案在基于實際探測器的情況下依然保持較好的性能,本文提出基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD方案,即在Alice 至Charlie 以及Bob 至Charlie這兩條量子信道的輸出端各采用一個相位敏感放大器(phase-sensitive amplifiers,PSA)來對相應的實際零差探測器(量子效率為0.6)進行補償.仿真結果表明本文所提出的方案能夠很好地補償實際探測器的量子效率,有效提升基于實際探測器的離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能,為將來離散調制CV-MDI-QKD 方案的實用化發展提供了一個很好的參考.首先介紹了本文提出的基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案以及在集體攻擊下方案的安全性分析,然后對本文方案的性能分析和總結.

2 基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案

首先介紹基于實際探測器的離散調制CVMDI-QKD 方案,特別是等效糾纏模型下的離散調制CV-MDI-QKD 方案,同時計算該方案在集體攻擊下的漸近密鑰率.之后,提出基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案.

2.1 基于實際探測器的離散調制CV-MDIQKD

在離散調制CV-MDI-QKD 方案中,發送方Alice 和Bob 同時進行離散調制操作.為了簡化分析,此處主要考慮四態調制方案[54].該方案主要包括4種類型的調制相干態,即其中μ表示與相干態調制方差VM有關的正數.4 種類型的調制相干態如圖1所示.相干態的調制方差VM=2μ2.

圖1 基于實際探測器的離散調制CV-MDI-QKD 方案圖,D(δ) 表示置換操作Fig.1.Schematic diagram of the discrete modulation CV-MDI-QKD based on realistic detector,D(δ) represents displacement operation.

首先考慮Alice 端的四態調制操作.在制備-測量方案中,Alice 將混合量子態經由量子信道發送給接收方Charlie,其表達式可寫為

Alice 將模A2發送給不可信第三方Charlie,保留模A1.同樣地,Bob 將模B2發送給Charlie,保留模B1.Alice 至Charlie 之間的量子信道長度設為LAC,Bob 至Charlie 之間的量子信道長度設為LBC.

當Charlie 接收到模A3和B3時,利用分束比為50∶50 的分束器對其進行干涉得到輸出模AS和BS.隨后,這兩個輸出模進一步轉化為A4和B4.之后,Charlie 利用共扼零差探測器同時對模A4的X正則分量以及模B4的P正則分量進行測量.經過探測后,Charlie 獲得了探測結果,此處記為{XZ,PZ}.隨 后,Charlie 將{XZ,PZ}向Alice 和Bob 進行公布.值得一提的是,在圖1 中,采用透過率均為η的兩個分束器來模擬Charlie 兩個實際探測器的量子效率,而其電噪聲則用兩個方差均為υel的輔助EPR 糾纏態來模擬.需要指出的是,圖1 中H和H0以及G和G0分別表示左側輔助EPR 糾纏態的糾纏模以及右側輔助EPR 糾纏態的糾纏模,并且H0與AN經分束器相互作用后得到模A4與H1,G0與BN經分束器相互作用后得到模B4與G1.

Bob 根據Charlie 所公布的探測結果采用置換操作D(δ)對模B1進行修正,即:

Alice 和Bob 在經過參數估計、信息協商以及保密增強這些步驟后,最終得到一串安全密鑰.經過貝爾基測量(Bell-state measurement,BSM)以及Bob 的置換操作后,模A1和具有糾纏效應[55],并且{XB,PB}和{XA,PA}是相關聯的.

而在制備-測量方案中,Alice 隨機制備4 個非正交的相干態并且將其中一個發送給Charlie,Bob隨機制備另外4 個非正交的相干態并將其中一個發送給Charlie.當Charlie 對所接收到的兩個相干態進行BSM 之后,對所得到測量結果向Alice 和Bob 進行公布,Bob 根據所公布的測量結果對自己的數據進行修正,而Alice 則保持自己的數據不變.值得一提的是,在制備-測量方案中,Bob 并沒有進行置換操作.Alice 和Bob 在經過參數估計、信息協商以及保密增強這些步驟后,最終得到一串安全密鑰.

由于離散調制CV-MDI-QKD 的制備-測量方案等價于其糾纏模型方案,因此混合量子態:

其中I2表示2 × 2 的單位矩陣,σz=diag(1,?1),

2.2 基于實際探測器的離散調制CV-MDIQKD 安全密鑰率

需要指出的是,在離散調制CV-MDI-QKD 方案中共有兩條量子信道,即Alice 至Charlie 以及Bob 至Charlie 之間的信道.目前已報道的針對CV-MDI-QKD 方案的攻擊策略主要有兩種,分別是單模攻擊與雙模攻擊.單模攻擊指的是攻擊者Eve 分別對每條量子信道采取相互獨立的糾纏克隆攻擊,而雙模攻擊指的是Eve 通過利用兩條量子信道之間的相互作用來進行相關聯的雙模相干高斯攻擊[47].從實際角度考慮,Eve 想要在兩條量子信道之間進行雙模攻擊,需要解決許多技術上的難題,具有諸多挑戰.不僅如此,當兩條量子信道來自不同的方向時,這兩條量子信道各自的過噪聲關聯性非常弱,因此雙模攻擊策略的實施在實際上存在許多困難[52].根據上述分析,此處主要考慮兩個互不影響的馬爾可夫無記憶高斯量子通道.則此時CV-MDI-QKD 的量子信道退化為單模信道,而雙模攻擊則退化為單模攻擊[56].

為了計算方案的安全密鑰率,此處將Alice 至Charlie 以及Bob 至Charlie 量子信道中的過噪聲分別設為ξA和ξB,兩者的信道透過率分別設為TA和TB.兩條量子信道的損耗量均設置為 0.2 dB/km,則透過率TA=,TB=.等效單模量子信道下的等效過噪聲ξ表達式可寫為

值得一提的是,為了使離散調制CV-MDIQKD 方案更加符合實際,本文中Charlie 所使用的零差探測器為非完美探測器,則探測器附加噪聲χhom表達式可寫為χhom=[(1?η)+υel]/η,其中η表示零差探測器的量子效率,υel表示零差探測器的電噪聲.歸結為信道輸入端的總噪聲χtot=χline+2χhom/TA,其中χline表示歸結到輸入端的信道加性噪聲,其表達式為χline=(1?T)/T+ξ,并且T=TAg2/2表示與等效單模信道相關聯的透過率參數[43].

離散調制CV-MDI-QKD 在反向協商下安全密鑰率的計算式為

其中β ∈[0,1]表示協商效率,IAB表示Alice 和Bob的互信息量,χBE表示Bob 和Eve 的Holevo 界.

經過BSM 以及Bob 的置換操作后,量子態協方差矩陣其表達式可寫為

圖2 W (W4和 WEPR)與調制方差 VM 的關系Fig.2.Relationship between W(W4and WEPR) and the modulation variance VM .

基于上述分析,χBE的表達式可以寫為

其中G(x)=(x+1)log2(x+1)?xlog2x.

辛特征值λ1,2可通過下式進行計算:

其中

而另外一個辛特征值:

2.3 基于實際探測器補償的離散調制CVMDI-QKD

由于第三方Charlie 所采用的實際探測器并非是完美的(量子效率 0<η <1),會對離散調制CVMDI-QKD 方案的性能產生重要影響,因此有必要對該方案所使用的實際探測器進行補償.此處采用相位敏感放大器(phase-sensitive amplifiers,PSA)對Charlie 所使用的實際探測器進行補償,如圖3所示.在圖3 中,模AS與BS對應圖1 中的AS與BS,表示分束比為50∶50的分束器對模A3和B3進行干涉后所得到輸出模,模AN與BN則分別表示模AS與BS經PSA 作用后所得到的輸出模.PSA 可被視為一種簡并光放大器,其變換公式如下[57]:

圖3 基于PSA 的離散調制CV-MDI-QKD 實際探測器補償方案圖,PSA 為相位敏感放大器Fig.3.Schematic diagram of discrete modulation CV-MDIQKD with realistic detector compensation based on PSA,where PSA is the phase-sensitive amplifier.

3 基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案性能分析

本節從安全密鑰率和傳輸距離的角度對基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能進行分析,并與基于完美探測器的離散調制CV-MDI-QKD 方案(簡記為理想方案,即η=1及υel=0)[52]進行性能比較.涉及全局的仿真參數以及設定如下: Charlie 所使用的實際探測器的性能參數為量子效率η=0.6 ,探測器電噪聲υel=0.05,這也是實驗中標準的探測器性能參數[53].Alice 至Charlie 以及Bob 至Charlie 量子信道中的過噪聲ξA=ξB=0.002.

圖4 給出了在對稱情況(LAC=LBC)以及不同的PSA 增益參數G下所提出方案的安全密鑰率與傳輸距離的關系,其中協商效率β=0.95,調制方差VM=0.5[52],并且增益參數G=200,300,400,500,800.在圖4 中也仿真出了Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi (PLOB)界,該界限表示點對點量子通信性能的最終極限[58].從圖4 可以發現PSA的增益參數G越大,基于實際探測器的離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能越好.此外隨著G的增大,基于實際探測器的離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能曲線越來越接近理想方案的性能曲線以及PLOB 界限.

圖4 在對稱情況以及不同的PSA 增益參數 G 下所提出方案的安全密鑰率與傳輸距離的關系Fig.4.Relationship between the security key rate and transmission distance of the proposed scheme in the symmetric case with different PSA gain G .

需要指出的是,最優的CV-MDI-QKD 框架配置是極端非對稱情況,即不可信第三方Charlie 與其中一個合法通信方非常接近的情況,此時Charlie充當該合法通信方的代理服務器[47].因此此處設定Charlie 與合法通信方Bob 非常接近,即LBC=0,則此時方案的有效傳輸距離就等價為LAC.圖5 給出了極端非對稱情況下(LBC=0)所提出方案的安全密鑰率與PSA 增益參數G和傳輸距離LAC的關系,其中協商效率β=0.95,調制方差VM=0.4[52].此外,在圖5 中也給出了理想方案(η=1 ,υel=0)的性能曲面,用于和所提出的方案進行性能比較.由圖5 可知,在極端不對稱情況下,所提出的基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能隨著PSA 增益參數G的增大而穩步提升,并且越來越接近理想方案的性能曲面.

圖5 極端非對稱情況下所提出方案的安全密鑰率與PSA 增益參數 G 及傳輸距離 LAC 的關系Fig.5.Relationship between the secret key rate and the PSA gain G,transmission distance LAC of the proposed scheme in the extreme asymmetric case.

圖6 給出了在極端非對稱情況(LBC=0)以及不同的PSA 增益參數G下所提出方案的安全密鑰率與傳輸距離的關系,其中協商效率β=0.95,調制方差VM=0.4,并且增益參數G=100,200,300,400,500,800.從圖6 可以發現,在極端非對稱情況下,通過增大PSA 增益參數G,可以使所提出的方案其性能得到有效提升,并且隨著G的增大,所提出方案的性能曲線越來越接近理想方案的性能曲線以及PLOB 界限.

圖6 極端非對稱情況以及不同的PSA 增益參數 G 下所提出方案的安全密鑰率與傳輸距離的關系Fig.6.Relationship between the secret key rate and the transmission distance of the proposed scheme in the extreme asymmetric case with different PSA gain G.

通過上述分析可以發現,PSA 的使用能夠有效降低離散調制CV-MDI-QKD 方案對實際探測器量子效率的需求.即使采用實驗中常用的傳統探測器(η=0.6 ,υel=0.05),通過利用PSA 對其進行補償后,依然能夠獲得較為合理的離散調制CVMDI-QKD 的方案性能,并且隨著PSA 增益參數的增大,其性能越來越接近理想方案的性能以及PLOB 界.這表明PSA 能夠有效克服由于實際探測器不完美所導致的離散調制CV-MDI-QKD 方案性能的局限.

圖7 給出了在極端非對稱情況以及不同增益參數G下所提出方案的安全密鑰率與協商效率β的關系,其中調制方差VM=0.4,傳輸距離LAC=10km,并且G=200,300,400,500,800 .由圖7可以觀察到協商效率β的可用范圍隨著PSA 增益參數G的增大而增大.比如當G=200 時,所提出方案的協商效率β的可用范圍為[0.92,1];而當G=800時,所提出方案其協商效率β的可用范圍則擴展至[0.76,1].此外,隨著增益參數G的增大,所提出方案其協商效率β的可用范圍越來越接近理想方案協商效率β的可用范圍.這表明所提出的基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD能夠有效提高方案對協商效率β的容忍度.

圖7 極端非對稱情況以及不同PSA 增益參數 G 下所提出方案的安全密鑰率與協商效率 β 的關系Fig.7.Relationship between the secret key rate and the reconciliation efficiency β of the proposed scheme in the extreme asymmetric case with different PSA gain G .

需要指出的是,在上述分析中,我們并沒有給出當增益參數G=1 (即沒有經過PSA 補償)時基于實際探測器的離散調制CV-MDI-QKD 的性能曲線.原因在于當采用量子效率η=0.6 的傳統零差探測器時,離散調制CV-MDI-QKD 方案會出現非物理特性的負密鑰率性能曲線,即無法正常生成密鑰.這種情況表明Charlie 端不完美的實際零差探測器對離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能影響很大.由于歸結為信道輸入端的總噪聲χtot=χline+2χhom/TA,顯然不完美的實際零差探測器的附加噪聲χhom能夠使得總噪聲χtot顯著增大.再者,離散調制CV-MDI-QKD 方案中量子信號的強度遠低于高斯調制CV-MDI-QKD 方案中量子信號的強度,因此離散調制CV-MDI-QKD 方案對總噪聲χtot,特別是不完美探測器的附加噪聲χhom,相比于高斯調制CV-MDI-QKD 方案更加敏感[52].這也進一步說明了本文所提出的針對Charlie 端實際零差探測器的補償方案對保證離散調制CVMDI-QKD 在實際條件下的正常運行具有十分重要的作用.

在上述分析中可以發現,所提出的基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能隨著PSA 增益參數的增大,越來越接近理想方案的性能,但無法達到理想方案的性能水平.主要原因在于理想方案中假定量子效率η=1,電噪聲υel=0,因此其探測器附加噪聲χhom=0 .而在本文所提出的方案中,其修正后的探測器附加噪聲為=[(1?η)+υel]/(Gη),其 中η=0.6 ,υel=0.05 .若要使得所提出的基于實際探測器補償的離散調制CV-MDI-QKD 方案的性能達到理想方案的性能,即=0,則PSA 的增益參數G必須為無窮大(∞),然而這在實際情況下是無法實現的,因此所提出的方案其性能無法達到理想方案的性能水平.

4 結論

本文提出基于實際探測器補償的離散調制CVMDI-QKD 方案,通過在Alice 至Charlie 以及Bob至Charlie 這兩條量子信道的輸出端各采用一個PSA 來對相應的實際零差探測器進行補償.在進行方案性能分析時考慮兩種常見的CV-MDI-QKD框架,即對稱情況(LAC=LBC)與極端非對稱情況(LBC=0).仿真結果表明無論是在對稱情況還是極端非對稱情況,本文所提出的方案能夠很好地對實際探測器的量子效率進行補償,并且通過增大PSA 的增益參數G可以有效提高離散調制CVMDI-QKD 方案在實際情況下的密鑰率和安全傳輸距離,使其越來越接近理想方案的性能以及PLOB界限.此外,隨著增益參數G的增大,所提出方案的協商效率β的可用范圍越來越接近理想方案協商效率β的可用范圍,這表明所提出的方案能夠有效提高基于實際探測器的離散調制CV-MDI-QKD方案對協商效率β的容忍度.因此本文提出的方案有力地推動離散調制CV-MDI-QKD方案的實用化發展,使得該方案具有更強的實用性.