有序-無序二維耦合系統的電子輸運性質*

陸艷艷 王超 劉潔 蔣金益 鐘建新

(湘潭大學物理與光電工程學院,湘潭 411105)

基于雙層耦合正方晶格的緊束縛近似模型,通過對態密度、波函數格點占據數和量子擴散的計算與分析,系統研究了不同堆垛界面結構、層間耦合強度和無序強度對有序-無序雙層二維耦合系統中電子輸運性質的影響.研究發現,AA 堆垛雙層耦合正方晶格在層間耦合較弱時保持單一能帶,帶尾態為局域態,帶中態始終保持延展態及近似延展態的臨界態,存在不隨無序增強而消失的遷移率邊;對于強耦合體系,弱無序時能帶的帶尾態為臨界態,帶中態為擴展態,而強無序使得耦合導致的兩能帶交疊為單一能帶,其帶尾態為局域態,帶中態為臨界態.AB 堆垛雙層耦合正方晶格的能帶始終為單一能帶,且能帶中心區始終包含延展態和臨界態.對于AA 和AB 堆垛兩種構型,有序-無序雙層耦合系統的量子擴散隨無序強度增大均呈現出先減弱再增強的反常量子擴散現象.AA 型弱耦合系統和AB 型耦合系統中的量子擴散均表現為超擴散,AA 型強耦合系統中弱無序導致超擴散,而強無序導致亞擴散.計算結果進一步表明,有序-無序雙層耦合六角晶格系統表現出同樣的行為.

1 引言

2004 年,Novoselov 等[1]分離出單層石墨烯,打破了二維晶體材料不可獨立存在的傳統觀念,引發了二維材料的研究熱潮[2?6].2018 年,雙層石墨烯魔角的發現[7],將扭角雙層石墨烯研究推至高潮[8?10],自此雙層二維耦合量子體系引起了人們的廣泛關注[11?13].二維材料以優越的性質而備受關注,電子輸運作為二維材料最重要的性質之一,其相關研究一直是物理領域的熱門課題.迄今為止,改善材料電導率最快捷有效的方法仍然是通過摻雜提高載流子濃度.然而摻雜引發無序,將導致載流子發生以摻雜原子為中心的隨機散射,最終引發載流子的局域化.Anderson[14]指出局域態電子對傳導沒有貢獻,因此摻雜過量反而導致電導率下降.局域化標度理論[15]進一步指出,對于無相互作用、存在非關聯無序的所有一維和二維系統不存在擴展態電子,無序的存在極大地降低了電子遷移率,因此突破二維無序體系傳統理論的限制,控制無序是關鍵.

表面無序是一種極為常見的無序形式,以石墨烯和MoS2為代表的典型二維材料(如過渡金屬硫化物、黑磷和InSe)表面本身存在大量無序(缺陷)[16],二維層狀材料在切割分離過程中也極易產生表面無序,納米線摻雜過程中雜質極有可能分離在未鈍化的納米線表面[17]從而產生表面無序.另外,在納米晶體中可采用溶劑誘導表面無序[18]以提高材料性能.表面無序應用廣泛,在器件制作[19]及生物系統[20,21](如DNA 分子)等多領域適用.關于表面無序[22?26]的報道至今已有不少,但大部分工作僅關注實驗現象.2006 年,Zhong 和Stocks[27]提出了有序-無序分區耦合的一維納米線表面無序理論模型,指出表面無序一維納米線在強無序下的載流子濃度及遷移率可實現同步提升,該納米線表面摻雜模型被認為打破了傳統摻雜局限[28],為一維無序耦合系統的研究提供新思路.隨后,該模型被推廣至多種一維有序-無序耦合鏈模型,用于研究無序強度及鏈間耦合能對電子輸運性質的影響[29?31].2007 年,有序-無序分離概念被進一步推廣至有序-無序雙層耦合二維晶格[32],發現該體系存在金屬-絕緣體轉變以及不隨無序強度增加而消失的遷移率邊,并且其量子擴散呈現出超擴散式的反常量子擴散現象.

前期工作中所提出的有序-無序雙層二維耦合系統模型[32]僅考慮了層間-層內耦合作用強度相同的各向同性雙層二維正方晶格,沒有考慮層間耦合作用的強弱對電子輸運性質的影響.在近年來受到廣泛關注的層狀準二維晶體中,普遍存在各向異性的耦合跳躍能,即層間耦合跳躍能不同于層面耦合跳躍能,且其強度可通過施加應變的方式加以改變,同時亦可通過不同層面晶向角度的調節實現具有不同堆垛構型的錯位雙層結構.因此,有必要進一步研究不同堆垛結構、層間耦合強度、無序強度對有序-無序雙層耦合二維系統中電子輸運性質的影響,探討前期發現的反常量子擴散和超擴散現象是否具有普遍性.本文基于單帶緊束縛近似框架下的Anderson 格點能無序模型,以理論模型中常見的AA型堆垛(上層原子位于下層原子正上方)和AB型堆垛(上層原子位于下層晶格的空位中心)形成的有序-無序雙層耦合二維正方晶格系統為例,深入研究不同界面構型、層間耦合強度和無序強度對有序-無序雙層二維耦合系統中電子輸運性質的影響.采用材料體系中常見的有序-無序雙層耦合二維六角晶格系統,驗證結論的普適性.

2 模型與方法

AA型和AB型有序-無序雙層二維耦合晶格如圖1 所示,體系格點數為N,其緊束縛哈密頓量H為

圖1 有序-無序雙層耦合正方晶格模型圖(,)分別表示上、下層格點能,U 和h 分別表示層間與層內最近鄰格點躍遷能) (a) AA堆垛 (上層原子位于下層原子正上方);(b) AB 堆垛 (上層原子位于下層正方格子中心正上方)Fig.1.Schematic illustration of the order-disorder coupling system of bilayer square lattices (,) are onsite energies of up-per and lower layers,U and h represent the hoping energy of inter-layer and intra-layer respectively): (a) AA stacking (the upper atom is directly above the lower atom);(b) AB stacking (the upper atom is located directly above the center of the lower square).

其中,H1表示下層周期晶格哈密頓量,H2表示上層無序晶格哈密頓量,Hint為層間相互作用哈密頓量,|2,i〉和 |1,i〉分別為上層與下層原子的軌道波函數基矢,和分別對應上層與下層格點能,和為層內最近鄰躍遷項,和為層間最近鄰躍遷能.依據Anderson 格點能局域化模型和我們提出的有序-無序雙層二維耦合體系模型[32],本文對所有物理量采用無量綱形式對薛定諤方程進行數值求解.考慮到緊束縛近似下電子的格點能和躍遷能以電子伏特能量e0=1 eV 為特征,位置以晶格常數a為特征,引入以e0,a和以t0=?/e0為單位的無量綱能量E,距離ri和時間t.數值求解過程中將體系晶格常數及層間距離設為1,僅考慮最近鄰格點間躍遷能的貢獻,層內躍遷能取1,有序層格點能取0,無序層格點能取 [?W,W] 之間隨機數.無序強度W與層間耦合強度U為可調參數,W=0 及W >0 分別對應于雙層耦合周期系統和有序-無序雙層耦合系統.

采用固定邊界條件和矩陣對角化方法求解靜態與含時薛定諤方程,將哈密頓量(1)式代入耦合體系靜態薛定諤方程:

式中,E為本征能量;Φ(E)為本征波函數,Φ(E)=(···,?i?1(E),?i(E),?i+1(E),···)T,?i(E)為Φ(E)在第i個格點的分量.通過矩陣對角化方法,可得本征能量Em(m=1,2,3,···,N)及對應本征矢Φ(Em) .根據靜態薛定諤方程本征解,進一步求解含時薛定諤方程:

式中,Ψ(t)=(···,ψi?1(t),ψi(t),ψi+1(t),···)T為t時刻體系波函數,ψi(t)為Ψ(t)在i格 點的分量.設電子初始(t=0)位置r0位于i=0,即

由于Φ(Em) 為正交完備基,體系含時波函數Ψ(t)可表示為

結合初始條件(7)式可得

電子波函數Ψ(t) 可表示為

其中,|ψi(t)|2為t時刻i格點處電子出現的概率.為描述體系中的電子輸運特性,常引入量子擴散均方位移:

式中,d(t)表示t時刻電子波包在體系的擴散寬度,ri為i格點的格矢.計算中為避免邊界效應影響,僅考慮波包到達邊界前d(t) 的行為.

對于AA型雙層正方晶格周期體系,ε1,i=ε2,i=0,可得能帶色散關系:

其中,f(k)=coskx+cosky,kx和ky為波矢k在x和y方向的分量.當U>4h時,能帶分裂為兩個子帶,其帶隙寬度 ?E為

對于AB型雙層正方晶格周期體系,可求得能帶色散關系:

其中,g(k)=cos(kx/2)cos(ky/2) .

3 數值計算與模擬

本文研究在AA型和AB型堆垛情況下,無序強度W和層間耦合強度U對有序-無序雙層耦合二維體系量子擴散的影響.綜合考慮結論的準確性及計算時間成本,對該耦合體系尺寸采用N=5202(X ∈[?25,25],Y ∈[?25,25],Z=0或1)和50個不同隨機樣本進行樣本平均.由于AB堆垛結構中的層間原子錯位,結構中心與邊界距離縮短,因此對AB堆垛耦合體系均方位移d(t) 的研究尺寸擴大為N=10082(X ∈[?35,35],Y ∈[?35,35],Z=0或1),取20 個不同隨機樣本進行平均,模型如圖1 所示.

圖2 為雙層耦合正方周期晶格 (W=0)的能帶與態密度(density of states,DOS) 隨層間耦合能U的變化,其中圖2(a)—(c)和圖2(d)—(f)分別對應AA型耦合和AB型耦合體系.可以清楚地看出,AA型耦合與AB型耦合的能帶結構具有顯著的差異.對于AA型耦合,其上、下能帶隨U增大逐漸分離,能帶在U >4 時在費米能處產生帶隙,分離為與單層正方周期晶格相同的兩個獨立能帶,其帶隙寬度隨U的變化服從(13)式.對于AB型耦合,其上、下能帶相互交錯,隨著U增加,體系能譜范圍變寬,DOS 的中心峰值不斷下降,但費米面附近上、下能帶始終保持交錯,不產生帶隙.

圖2 雙層耦合正方周期晶格的能帶與DOS (a),(b) 分別為 U=1 和 U=6 的AA 型耦合系統的能帶圖;(c) AA 型耦合晶格的DOS 隨 U 的變化;(d),(e) 分別為 U=1 和 U=6 的AB 型耦合系統的能帶圖;(f) AB 型耦合晶格的DOS 隨 U 的變化Fig.2.Energy spectra and DOS for the periodic coupling system of bilayer square lattices: (a),(b) Energy spectra for the coupling system of AA stacking with U=1 and U=6,respectively;(c) variation of DOS with U for the coupling system of AA stacking;(d),(e) energy spectra for the coupling system of AB stacking with U =1 and U =6,respectively;(f) the variation of DOS with U for the coupling system of AB stacking.

圖3 為AA型有序-無序雙層耦合正方晶格的電子DOS 對W和U的依賴關系.如圖3(a) 所示,對于較小層間耦合的系統,能帶隨W增大始終保持單帶形式,其DOS 的帶尾區不斷擴大,而能帶中心區則逐漸接近單層正方晶格周期體系的DOS分布.對于較大層間耦合的系統,隨著W增大,帶隙不斷縮小,帶隙消失后帶中心區的DOS 不斷增大,并有逐漸接近單層正方晶格周期體系的DOS分布的趨勢,如圖3(b)所示.圖3(c)和圖3(d)表明無論體系無序強度大小,隨層間耦合能U的增加,帶中位置出現帶隙,且產生帶隙的臨界耦合能U臨與無序度W滿足線性關系U臨=4+k1W(k1≈0.15),如圖3(e)所示.從圖3(f)可以看出,帶隙寬度 ?E隨U和W的變化分別滿足線性關系 ?E=k2U(k2≈2)和 ?E=k3W(k3≈?0.5).

圖3 AA 型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格電子能譜 (a)—(d) DOS 隨 U 和 W的變化;(e) 產生帶隙所對應的 U 和 W(空心圓)及其擬合線(虛線);(f) 帶隙寬度 ?E隨 U和W的變化,左圖為 ?E(空心符號)隨 U的變化及其擬合線(虛線),其中 W=1,3,5 分別對應斜率1.99,1.96,1.90;右圖為 ?E(空心符號)隨 W的變化及其擬 合線(虛線),其中 U =6,8,10 分 別對應斜率–0.40,–0.44,–0.50Fig.3.Energy spectra for the order-disorder bilayer coupling system of square lattices with AA stacking: (a)–(d) Changes of the DOS for different Uand W;(e) the relationship of Wand U (open circles) for the band-gap opening with the linear fitting(dashed line);(f) the dependence of bandgap width ?E(hollow symbols) on Uand W with the left panel for U with the linear fitting (dash lines),where W=1,3,5 correspond to the slopes of 1.99,1.96,1.90,respectively,and the right panel for Wwith the linear fitting (dash lines),where U=6,8,10 correspond to the slopes–0.40,–0.44,–0.50,respectively.

以常見的AB堆垛結構進一步探討層間堆垛結構對有序-無序雙層耦合系統電子性質的影響,并與AA堆垛結構數值結果進行對比.圖4 為AB堆垛型有序-無序耦合正方晶格的DOS 分布.如圖4(a)所示,與AA堆垛類似,隨著W增大,對于弱耦合體系,帶中態的DOS 逐漸穩定并最終與有序單層的DOS 一致.如圖4(b)所示,對于強耦合體系,帶中態的DOS 隨著W增大逐漸穩定,但與有序單層的DOS 存在較大差異.然而隨著U的增加,無論體系無序強弱,AB堆垛型耦合系統始終保持單一能帶,沒有產生帶隙,如圖4(c)和圖4(d)所示,這與AA堆垛有著顯著差異.

圖4 AB 堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格DOS 分布 (a),(b) DOS 隨無序強度W 的變化;(c),(d) DOS 隨層間耦合能U 的變化Fig.4.DOS for order-disorder bilayer coupling system of the square lattices with AB stacking: (a),(b) Changes of the DOS for different W;(c),(d) changes of the DOS for different U .

耦合體系的本征波函數 |Φ(E)|2可表示對應本征能量的空間分布概率.圖5 為AA型有序-無序耦合正方晶格部分典型能量的概率分布.如圖5(a)—(d)右側圖形所示,帶尾態波函數僅在上、下層的局部位置存在非零值,且其空間分布范圍隨W增大不斷縮小,表現出局域態的特征.帶中態波函數,無論W大小如何,對于較小層間耦合的體系,均彌散分布在上、下層的整個空間,具有擴展態特征,如圖5(a)和圖5(b)左側圖形所示;對于層間耦合較大的體系,W較小時,帶中態的非零波函數分布在上、下層較大的空間內,但其分布范圍隨W的增大不斷縮小,具有臨界態特征,如圖5(c)和圖5(d)左側圖形所示.

圖5 AA 型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格本征態波函數分布圖(其中D-L 和O-L 分別代表上層無序晶格和下層有序晶格)(a),(b) 分別為弱耦合系統(U=0.5)在弱無序(W=1)和強無序(W=10)時的帶中態(E=0.140,0.016)和帶尾態(E=4.60,11.46)的波函數 |Φ(E)|2分布;(c),(d) 分別為強耦合系統(U=4)在弱無序(W=1)和強無序(W=10)時的帶中態(E=3.86,–0.17)和帶尾態(E=8.08,12.96)的波函數 |Φ(E)|2 分布;黑色表示概率大于 0.005Fig.5.Eigen-wavefunctions |Φ(E)|2 for the bilayer coupling system of square lattices with AA stacking,where D-L and O-L represent the upper disordered layer and the lower ordered layer respectively: (a),(b) Eigen-wavefunctions of the eigen-states(E=0.140,0.016) in the spectral central region and the eigen-states (E=4.60,11.46) in the tail region for the weak coupling system of U=0.5 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=10,respectively;(c),(d) the eigen-wavefunctions of the eigen-states (E=3.86,–0.17) in the spectral central region and the eigen-states (E=8.08,12.96) in tail region for the strong coupling system of U=4 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=10,respectively.The black color means that the values are larger than 0.005.

由波函數的空間分布可知,與AA堆垛不同,強無序及強耦合下的AB堆垛有序-無序耦合正方晶格體系帶中始終存在擴展態.圖6 為AB型有序-無序耦合正方晶格結構帶中及帶尾部分典型能量的概率分布.可見,無論無序強度及層間耦合強度大小如何,帶中態波函數始終彌散分布在整個體系,表現出擴展態特征,如圖6(a)—(d)左側圖形所示,而帶尾態則局限在體系中的特定范圍內,且隨無序強度增大更加局域化,表現出非擴展態特性,如圖6(a)—(d)右側圖形所示.

圖6 AB 型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格的帶中態和帶尾態波函數分布圖 (a),(b)分別為層間弱耦合(U=0.5)時弱無序(W=1)及強無序(W=12)體系中帶中態(E=0.34,0.89)及帶尾態(E=6.07,13.50)波函數的分布;(c),(d) 分別為層間強耦合(U=4)時弱無序(W=1)及強無序(W=12)體系中帶中態(E=–1.98,–0.67)及帶尾態(E=20.01,23.05)波函數的分布;黑色表示概率大于 0.005Fig.6.Eigen-wavefunctions of the eigen-states in the spectral central and tail regions for the order-disorder bilayer coupling system of square lattices with AB stacking: (a),(b) Eigen-wavefunctions of the eigen-states (E=0.34,0.89) in the spectral central region and the eigen-states (E=6.07,13.50) in the tail region for the weak coupling system of U=0.5 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=12,respectively;(c),(d) the eigen-wavefunctions of the eigen-states (E=–1.98,–0.67) in the spectral central region and the eigen-states (E=20.01,23.05) in tail region for the strong coupling system of U =4 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=12,respectively.The black color means that the values are larger than 0.005.

本征波函數的格點占據數 (P(E)) 能夠很好地描述無序電子系統的電子局域化[33],其定義為其中?(E,rn) 為本征態波函數.P(E)與系統格點數N普遍滿足關系P(E)∝Nγ,其中γ=0和γ=1 分別對應于局域態波函數與擴展態波函數,0<γ <1 對應介于擴展態與局域態之間的臨界態波函數.對比AA/AB堆垛結構中不同無序強度及層間耦合強度下指數γ隨W的變化情況,發現隨著W的增加AA堆垛結構帶中電子態強無序時僅包含臨界態 (0<γ <1),而AB堆垛結構帶中始終包含擴展態 (γ=1) 及臨界態(0<γ <1).

圖7 展示出不同耦合強度下AA堆垛型有序-無序耦合正方晶格體系中P(E)隨無序度W的變化情況.可以看出,無論耦合強度大小如何,無序導致的帶尾態均具有極小的P(E) 值,具有局域態的特征.對于弱耦合系統(U=0.5),帶中態的P(E)值隨W增大呈現出先下降然后在W≥8 之后保持穩定分布的特征,如圖7(a)所示.對于強耦合體系(U=4),兩個子帶的帶中態的P(E)值隨W增大先減小,然后在W≥12 后小幅上升,如圖7(b)和圖7(c)所示.

圖7 AA 型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格波函數的格點占據數 P(E)隨 W的變化情況 (a) 弱耦合系統 U=0.5;(b),(c) 強耦合系統 U=4.0Fig.7.Variation of participation number P(E)with Wfor the order-disorder bilayer coupling system with AA stacking:(a) Weak coupling system of U=0.5;(b),(c) strong coupling system of U=4.0.

圖8 給出了AA型堆垛有序-無序耦合正方晶格體系中部分典型無序強度和層間耦合強度下P(E)隨體系尺寸N的變化情況.從圖8(a),(b)和圖8(c),(d)可以看出,弱耦合體系中P(E)隨尺寸N的變化明顯不同于強耦合體系.如圖8(a)和圖8(b)所示,弱耦合體系的帶尾態不隨N變化,表明帶尾呈局域態;帶中態P(E) 隨N增大而增大,具有擴展態特征.對于強耦合體系,如圖8(c)和圖8(d)所示,無序較弱時的所有本征態P(E) 隨N增大而增大,且帶尾增大幅度明顯小于帶中,具有非局域態特性;無序較強時,帶尾態P(E) 不隨N變化,呈局域態,帶中態P(E) 隨N增大而增大,但其增大幅度明顯小于弱耦合體系,表現出非局域態性質.

圖8 AA 型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格的格點占據數 P(E)隨體系尺寸大小N 的變化 (a),(b) 弱耦合系統 U=0.5;(c),(d) 強耦合系統 U=4.0.Fig.8.Variation of participation number P(E) with system size N for order-disorder bilayer coupling system with AA stacking.(a),(b) Weak coupling system of U=0.5;(c),(d) strong coupling system of U=4.0.

通過對P(E)進行擬合,分析發現P(E)∝Nγ.圖9(a)—(d)給出了AA型堆垛有序-無序耦合正方晶格體系帶尾態和帶中態中典型能量處的logP隨 logN變化的依賴關系,圖9(e)和圖9(f)為擬合指數γ隨能量的分布圖.圖9(a),(b),(e)顯示,弱耦合體系(U=0.5)中γ在能帶中心區(|E| Ec)表現出完全不同的行為,能帶中心為嚴格的擴展態 (γ=1),其周圍為不隨無序強度增加而改變的近似擴展態的臨界態 (γ ≈1),帶尾態為局域態 (γ=0),并在強無序時存在清晰的與W無關的遷移率邊,其中無序強度W=1,3,6,12 分別對應Ec=4.6,4.6,4.0,4.0,這一現象與我們早期在各向同性雙層二維正方晶格中的結論一致[32].從圖9(c),(d),(f)可知,強耦合體系(U=4)中,無序較弱時帶中態和帶尾態分別表現出擴展態(γ=1)和臨界態(1>γ>0)特征.當無序W≥3時,帶中態為臨界態(1>γ >0),帶尾態為局域態(γ=0),且帶中態γ值在W <12區間隨W增大而減小,而當W≥12時反而隨W增大而增大.

圖9 (a)—(d) AA 型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格系統的帶尾態和帶中態中典型能量處的P(E)隨N 的變化,符號對應計算結果,虛線為對 logP ～γlogN的擬合線;(e),(f) 擬合指數 γ 隨能量的分布Fig.9.(a)–(d) Variation of P(E) with N for the order-disorder bilayer coupling system with AA stacking at typical energy values in the spectral tail and central regions,where symbols are the calculation results,dashed lines are the fitting results to logP ～γlogN ;(e),(f) distribution of fitting exponent γ with energy.

運用相同方法對AB型有序-無序正方晶格波函數的格點占據數P(E) 進行分析.圖10(a)—(d)給出AB型有序-無序耦合正方晶格帶尾態和帶中態中典型能量處的 logP隨 logN的依賴關系及對logP ～γlogN的線性擬合,圖10(e)和圖10(f)為不同能量處指數γ隨無序強度W及層間耦合強度U的變化情況.圖中可見,指數γ隨E的分布與AA型耦合體系顯著不同,對于AB堆垛結構,無論W和U如何變化帶中始終包含擴展態 (γ=1) 和臨界態 (0<γ <1),弱無序時帶尾區為少量臨界態,帶中態保持為擴展態;當W≥3,帶尾態逐漸轉變為局域態,帶中態為擴展態與臨界態.圖10(a),(b),(e)顯示,對于弱耦合體系,強無序導致負能帶區在E=–4處電子態發生由擴展態 (γ=1)到局域態 (γ=0) 的轉變,出現明顯的遷移率邊,而正能帶區γ值由帶中心區往E增加的方向逐漸由1 降為0,在E≈5處逐漸由臨界態過渡為局域態.從圖10(c),(d),(f)可看出,對于強耦合體系,相同無序強度作用下的帶尾區電子局域態數量明顯少于弱耦合體系,多數電子態為擴展態和臨界態,尤其在–4

圖10 (a)—(d) AB 型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格的帶尾態和帶中態中典型能量處的 P(E) 隨N 的變化,符號對應計算結果,虛線為對 logP ～γlogN的線性擬合線;(e),(f) 擬合指數 γ 隨能量的分布Fig.10.(a)–(d) Variation of P(E) with N for the order-disorder bilayer coupling system with AB stacking at typical energy values in the spectral tail and central regions,where symbols are the calculation results,dashed lines are the fitting results to logP ～γlogN;(e),(f) distribution of fitting exponent γ with energy.

均方位移d(t) 隨時間的演化,可表征耦合體系中的量子擴散行為.將雙層耦合體系下層中心設置為量子波包起點對d(t) 進行數值計算與分析,發現AA和AB堆垛兩種構型,有序-無序雙層耦合系統的量子擴散隨無序強度增大均呈現出先減弱再增強的反常量子擴散現象.AA型弱耦合系統和AB型耦合系統中的量子擴散均表現為超擴散,AA型強耦合系統中弱無序導致超擴散,而強無序導致亞擴散.

根據量子擴散理論,均方位移的長時行為通常符合d(t)～tb關系,其中b=0,0.5,1.0 分別對應于局域化、正常擴散、彈道擴散,當 01)對d(t)～tb進行擬合獲得.從圖11(a)和圖11(b)可以看出,無論層間耦合強度如何變化,指數b隨W增大均存在先減小再提升的轉變現象,并且弱耦合體系的反轉提升程度遠大于強耦合體系.圖11(c)給出了不同U情況下指數b對W的依賴關系,可見指數b隨W增加均存在先減小再增大的反轉現象.弱耦合作用(U≤ 1)導致超擴散;而強耦合作用(U>1)下,弱無序體系導致超擴散,而強無序體系導致亞擴散.

圖11 AA 堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格中量子擴散的均方位移 d(t)(符號)及對 d(t)～tb 的擬合結果(虛線) (a) 弱耦合系統 U=0.5;(b) 強耦合系統 U=4;(c) 擬合指數b 隨無序度 W的變化Fig.11.Mean-square displacement d(t) (symbols) of the quantum diffusion for the order-disorder bilayer coupling system of the square lattices with AA stacking and their fitting results to d(t)～tb (dash line): (a) Weak coupling system of U=0.5;(b) strong coupling system of U=4;(c) variation of the fitting results of b with the degree of disorder W.

圖12 展示了AB型堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格中量子波包傳播的均方位移d(t) 及其對d(t)～tb擬合的結果.由圖12(a)和圖12(b)可見,U=1時d(t)在W=6處明顯反轉,U=4 時d(t)隨時間的增長速率在W >15以后隨W增大反而加快.圖12(c)顯示無論層間耦合強度如何變化,指數b隨W增大均存在先減小再提升的轉變現象,這與AA堆垛結構量子擴散規律一致.但不同于AA堆垛的是,由于AB堆垛結構無論層間耦合及無序強度大小如何變化帶中始終存在擴展態電子,使得該體系始終表現出超擴散(b>0.5)行為,如圖12(c)所示.

圖12 AB 堆垛有序-無序雙層耦合正方晶格中量子擴散的均方位移 d(t)(符號)及對 d(t)～tb 擬合結果(虛線) (a) 弱耦合系統 U=1;(b) 強耦合系統 U=4;(c) 擬合指數 b 隨無序度 W的變化Fig.12.Mean-square displacement d(t) (symbols) of the quantum diffusion for the order-disorder bilayer coupling system of the square lattices with AB stacking and their fitting results to d(t)～tb (dash line): (a) Weak coupling system of U=1;(b) strong coupling system of U=4;(c) variation of the fitting results of b with the degree of disorder W.

有序-無序耦合體系中的反常量子擴散是有序、無序層兩個子系統共同作用的結果.無耦合作用時,有序單層體系的所有態為擴展態,而無序單層體系的所有態為局域態.在耦合情況下,有序層的有效哈密頓量[32]減小為=Ho?δ,其中δ=Hod(Hd?E)?1Hdo,Ho為不考慮無序層影響的獨立有序單層體系哈密頓量,Hd為不考慮有序層影響的獨立無序單層體系哈密頓量,Hod和Hdo為有序、無序層相互作用項.由于Hd中無序格點能的貢獻導致中包含無序干擾項,使得有序層中的電子運動受阻.隨著W的增加,δ項貢獻逐漸減小,因而弱無序時隨W增加量子擴散減弱,但強無序時量子擴散隨W增加反而提升[32].由于干擾項δ正比于U2,δ在弱耦合情況下遠小于有序層內的跳躍能h,使得無序層對有序層的干擾較小,帶中態仍維持擴展態或近似擴展態的臨界態特征;而在強耦合情況下,δ與h相比不再是小量,使得帶中態受到無序層的顯著影響,導致近似局域態的臨界態出現,而當W ?U時,δ逐漸小于h,使得無序層對有序層的干擾再小,因此量子擴散在強耦合系統中存在隨W增加先減弱再提升的反?，F象,但其量子擴散要弱于弱耦合系統.

在實際二維體系中,相較正方晶格而言六角晶格結構(如石墨烯和六角氮化硼等)更為常見,因此有必要進一步討論無序度和層間耦合強度對六角晶格結構電子輸運性質的影響.計算結果表明,有序-無序雙層耦合六角晶格系統具有與雙層耦合正方晶格系統完全一致的結論.采用AA型堆垛有序-無序雙層耦合六角晶格系統來展示計算結果,其模型如圖13 所示.數值計算中設置鍵長a0及層間距離d=1,僅考慮最近鄰格點間躍遷能的貢獻,將層內躍遷能h=1,有序層格點能取0,無序層格點能取 [?W,W]之間隨機數.無序強度W與層間耦合強度U為可調參數,W=0及W >0 分別對應雙層耦合周期系統和有序-無序雙層耦合系統.該耦合體系尺寸采用N=7912(X ∈[?33,35],Y ∈,Z=0或1)和50 個不同隨機樣本進行樣本平均.

圖13 有序-無序雙層六角晶格耦合體系模型圖,上層原子位于下層原子正上方Fig.13.Schematic illustration of the order-disorder coupling system of bilayer hexagonal lattices,the upper atom is directly above the lower atom.

對于AA型雙層六角晶格周期體系,解薛定諤方程可求得能帶色散關系為

當U>3h時,能帶分裂為兩個子帶,其帶隙寬度?E為

圖14 給出雙層耦合六角周期晶格(W=0)的能帶及DOS 隨層間耦合能U的變化關系.可見,其上、下能帶隨U增大逐漸分離,能帶在U>3時在費米能處產生帶隙,分離為與單層六角晶格相同的兩個獨立能帶,其帶隙寬度隨U的變化服從(16)式.與正方周期晶格相比,六角周期晶格能帶分離所對應的臨界層間耦合能U臨更小.AA型有序-無序雙層耦合六角晶格結構與AA型有序-無序雙層正方晶格結構在電子態密度DOS、粒子參與數P(E)及均方位移d(t)對W和U的依賴關系上表現出類似的特征.從圖15(a)可知,有序-無序六角晶格弱耦合體系能帶隨W增大始終保持單帶形式,且能帶中心區逐漸接近單層六角晶格周期體系的DOS 分布;對于強耦合體系,隨著W增大,帶隙不斷縮小直至消失,隨后帶中DOS 逐漸增大,如圖15(b)所示.圖15(c)和圖15(d)表明無論體系無序強度大小,隨層間耦合能U的增加,帶中均出現帶隙,且帶隙寬度隨U增加.

圖14 雙層耦合六角周期晶格的能帶與DOS (a) U=1 的能帶圖;(b) U=4 的能帶圖;(c) DOS 隨 U 的變化Fig.14.Energy spectra and density of states for the periodic coupling system of bilayer hexagonal lattices: (a) Energy spectra with U=1;(b) energy spectra with U=4;(c) variation of DOS with U.

圖15 有序-無序雙層耦合六角晶格電子能譜 (a),(b) DOS 隨W 的變化;(c),(d) DOS 隨U 的變化Fig.15.Energy spectra for the order-disorder bilayer coupling system of bilayer hexagonal lattices: (a),(b) Changes of the DOS for different W;(c),(d) changes of the DOS for different U.

進一步研究有序-無序雙層耦合六角晶格結構不同能量處的 logP隨 logN的依賴關系并對logP ～γlogN做線性擬合,圖16 為不同能量處擬合指數γ隨無序強度W及層間耦合強度U的變化情況.可見,隨著W的增加,弱耦合體系(U=0.5)能帶中心(|E|

運用函數d(t)～tb對有序-無序雙層耦合六角晶格中量子波包傳播的均方位移d(t) 數值結果進行擬合,擬合參數b隨無序度W依賴關系見圖17.可知,無論層間耦合強度如何變化,指數b隨W增加均存在先減小再增大的反轉現象,弱耦合作用(U≤1)導致超擴散;而強耦合作用(U>1)下,弱無序體系導致超擴散,強無序體系導致亞擴散.

圖17 有序-無序雙層耦合六角晶格結構中對d(t)～tb的擬合參數 b 隨無序度 W的變化情況Fig.17.Variation of the fitting parameter of b of the fitting function d(t)～tbwith the degree of disorder Wfor the order-disorder bilayer coupling system of bilayer hexagonal lattices.

4 結論與展望

基于緊束縛近似理論,采用矩陣對角化方法對電子本征波函數、DOS 及量子擴散行為進行數值計算,將單層無序強度及層間耦合強度作為可調參量,深入研究有序-無序雙層二維耦合系統的電子輸運性質.首先計算雙層周期體系能譜特性,隨后進一步研究有序-無序耦合體系.研究發現,對于AA堆垛的雙層耦合正方晶格,層間耦合較弱時保持單一能帶,帶中部分始終保持為延展態和近似延展態的臨界態,而帶尾態為局域態,在正負能量區存在對稱的不因無序強度增加而消失的遷移率邊,這一現象與我們前期在各向同性的AA型有序-無序雙層二維耦合系統中得到的結論一致[32];對于層間耦合較強的耦合系統,弱無序時能帶帶尾態為臨界態,帶中態為擴展態,而強無序時兩能帶交疊為單一能帶,其帶尾態為局域態,帶中態為臨界態且其延展性隨無序強度增大呈現出先降低后增強的現象.在AB堆垛的有序-無序雙層耦合正方晶格中,無論無序強度和層間耦合強度如何改變,其始終保持能帶中心區為延展態和臨界態的單一能帶,且當層間耦合較弱時強無序作用導致負能量區存在明顯遷移率邊.在AA和AB堆垛兩種構型的有序-無序雙層耦合系統中,量子擴散隨無序強度增大均呈現出先減弱再增強的反常量子擴散現象.AA型弱耦合系統和AB型耦合系統中的量子擴散均表現為超擴散,AA型強耦合系統弱無序體系導致超擴散,而強無序體系導致亞擴散.最后,將有序-無序分離概念進一步推廣至六角晶格結構并得出與四方晶格結構一致的結論.有序-無序雙層二維耦合系統可進一步應用于石墨烯和MoS2等其他層狀材料.實驗上可以通過摻雜微加工、襯底調制等方式使其中一個原子層形成不均勻的無序層,因此本研究將為層狀材料的研究及電子器件的設計提供新思路.

感謝法國巴黎索邦大學凝聚態理論物理實驗室Rémy Mosseri 教授以及湘潭大學物理與光電工程學院李金老師的討論.