改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法

陳 軍，姜衛(wèi)東

（1.鄭州西亞斯學(xué)院電子信息工程學(xué)院，河南 新鄭 451150；2.合肥工業(yè)大學(xué)，安徽 合肥 230009）

1 引言

現(xiàn)階段工業(yè)化的迅速發(fā)展，逐漸推進(jìn)機(jī)械臂更加智能化，并且在一定程度上提高機(jī)械臂定位精度，確保運(yùn)動穩(wěn)定性，并被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域[1]。多關(guān)節(jié)機(jī)械手已逐步發(fā)展成為工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的核心設(shè)備之一[2]。機(jī)器臂控制中的主要問題就是設(shè)計(jì)有效的控制器來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端對預(yù)期參考軌跡的快速穩(wěn)定跟蹤，同時需要考慮滑動模態(tài)軌跡運(yùn)動。滑動模態(tài)在變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中對滿足匹配條件的不確定性、參數(shù)變化等系統(tǒng)干擾具有不變性。

因此，對滑動模態(tài)進(jìn)行充分考慮可以有效提高機(jī)械臂軌跡跟蹤控制效果。在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)闄C(jī)器人自身的耦合性較強(qiáng)、變量較多，并且采用了非線性形式，降低了機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制精度。

目前相關(guān)領(lǐng)域大量學(xué)者對其進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[3]運(yùn)用增強(qiáng)學(xué)習(xí)算法，對比例?微分控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，對定位干擾進(jìn)行補(bǔ)償，有效跟蹤控制機(jī)械臂運(yùn)動軌跡。該方法具有較好的可行性，但無法確保機(jī)械臂軌跡跟蹤控制穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[4]采用狀態(tài)反饋和改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模方法，對機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行局部控制，并基于非線性映射法，設(shè)置滑模控制器的動態(tài)補(bǔ)償項(xiàng)為系統(tǒng)中部分不確定性，運(yùn)用Lyapunov函數(shù)法，獲取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更新率，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制，該方法的收斂速度較快，但存在跟蹤控制精度較低的問題。文獻(xiàn)[5]引入LuGre摩擦模型，對基函數(shù)的中心和寬度進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，控制器對負(fù)載變化具有較強(qiáng)的魯棒性，采用滑模控制項(xiàng)減小逼近誤差，可以有效提高機(jī)械臂控制的精度，但存在機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時間較長的情況。為了解決上述方法中存在的問題，提出改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法。采用Lagrange函數(shù)定義機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程，通過關(guān)節(jié)變量的偏導(dǎo)數(shù)，推導(dǎo)出標(biāo)稱模型的運(yùn)動微分方程，提高滑動模態(tài)運(yùn)動形式，以此構(gòu)建機(jī)械臂的動力學(xué)模型。并在此基礎(chǔ)上，通過滑模控制魯棒項(xiàng)函數(shù)，提高機(jī)械臂軌跡跟蹤控制穩(wěn)定性，利用Newton算法的術(shù)語函數(shù)，獲得非線性積分滑模控制方程，訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)更新法則，減小機(jī)械臂軌跡跟蹤控制誤差。

2 機(jī)械臂動力學(xué)模型構(gòu)建

將SCARA型工業(yè)機(jī)械臂作為此次研究對象，構(gòu)建機(jī)械臂動力學(xué)模型。SCARA型工業(yè)機(jī)械臂中存在四個自由度，其中，第一關(guān)節(jié)和第二關(guān)節(jié)屬于機(jī)械臂運(yùn)動旋轉(zhuǎn)活動關(guān)節(jié)，第三關(guān)節(jié)屬于機(jī)械臂末端移動活動關(guān)節(jié)，第四關(guān)節(jié)屬于機(jī)械臂末端抓取旋轉(zhuǎn)腕部[6]。機(jī)械臂動力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 機(jī)械臂動力學(xué)模型Fig.1 Dynamics Model of Manipulator

根據(jù)圖1 可知，由質(zhì)量為m1、m2的連桿L1和L2構(gòu)成模型結(jié)構(gòu)，連桿的長度為l1、l2，將連桿L1固定在底座上，通過轉(zhuǎn)動第一關(guān)節(jié)和第二關(guān)節(jié)順次連接底座，機(jī)械臂機(jī)構(gòu)主要由連桿L1和L2組成，τ1和τ2分別表示為電機(jī)輸出驅(qū)動各關(guān)節(jié)連桿的力矩［7］。

設(shè) 置 參 數(shù)si、ci、sij、cij分 別 描 述sinθi、cosθi、sin(θi+θj)、cos(θi+θj)。

在x、y軸上兩個質(zhì)心對應(yīng)的坐標(biāo)如下：

在由Lagrange函數(shù)定義的機(jī)械臂動力學(xué)方程中，引入關(guān)節(jié)變量的偏導(dǎo)數(shù)，獲得標(biāo)稱模型對應(yīng)的運(yùn)動微分方程：

式中：M(θ)—慣性矩；V(θ，θ?)—離心力以及哥氏力矢量；G(θ)—重力矢量。

將上式轉(zhuǎn)化為下式：

式中：θ—角位移矢量；θ?、θ?—速度矢量和加速度矢量，以此獲取滑動模態(tài)鄰域，提高控制精度。

通過上述過程構(gòu)建機(jī)械臂動力學(xué)模型：

式中：Td(θ，θ?)—機(jī)械臂在運(yùn)動過程中受到的干擾，主要有動態(tài)特性、負(fù)荷變化以及建模誤差等；F(θ)—在關(guān)節(jié)運(yùn)動過程中所

受到的摩擦，包括動態(tài)摩擦和靜態(tài)摩擦。

3 機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法

改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法，通過New?ton 算法中的術(shù)語函數(shù)，訓(xùn)練RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，控制機(jī)械臂跟蹤軌跡。在控制過程中對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯函數(shù)、中心寬度以及網(wǎng)絡(luò)權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，保證機(jī)械臂系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用Newton算法中的術(shù)語函數(shù)降低外部擾動和非線性擾動，提高系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。

設(shè)y(x)代表的是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出向量，其表達(dá)式如下：

當(dāng)t→∞時，機(jī)械臂系統(tǒng)的控制誤差可以通過非自適應(yīng)魯棒控制得以保證，設(shè)e(t)代表的是機(jī)械臂運(yùn)動軌跡跟蹤誤差向量；s(t)代表的是滑模控制函數(shù)，其表達(dá)式如下：

式中：qd—機(jī)械臂的實(shí)際運(yùn)動軌跡；q—機(jī)械臂的理論運(yùn)動軌跡；λ—對角正定矩陣。

機(jī)械臂系統(tǒng)的控制性能穩(wěn)定性可以通過誤差測度s(t)進(jìn)行評價［9］。滑動模態(tài)的控制能夠克服系統(tǒng)的不確定性，對非線性系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制具有良好的效果。由滑模控制理論可知，當(dāng)滑模控制平面s(t)=0時，通過下述微分方程控制滑模：

通過改進(jìn)傳統(tǒng)滑模控制函數(shù)，減小機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤控制誤差，將積分項(xiàng)引入Newton算法中的術(shù)語函數(shù)中，獲得非線性積分滑模控制方程：

式中：μ—對角正定矩陣；β—設(shè)計(jì)參數(shù)。

在機(jī)械臂動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上獲得如下自適應(yīng)控制法則：

式中：y?(x)—自適應(yīng)函數(shù)；K—正定矩陣；τs—抑制近似誤差和不確定性誤差產(chǎn)生影響的滑模控制器［10］，可通過下式進(jìn)行描述：

4 仿真測試分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法的有效性，將MATLAB 軟件作為仿真環(huán)境，分別采用所提方法、文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法進(jìn)行對比測試。測試過程中，以精度、控制時間和穩(wěn)定性作為測試指標(biāo)，對所提方法的可行性進(jìn)行分析。

4.1 精度分析

機(jī)械臂工作過程中，由于操作過程的不同，導(dǎo)致復(fù)雜度也存在不同，精度有所差異。以下仿真實(shí)驗(yàn)為了驗(yàn)證所提方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制精度，分別采用所提方法、文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法進(jìn)行對比，在考慮到摩擦非線性、機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)和外界干擾的因素下，對比不同方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制誤差，如圖2所示。

圖2 不同方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制誤差Fig.2 Trajectory Tracking Control Error of Mechanical Arm with Different Methods

分析圖2可知，文獻(xiàn)[4]方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制誤差較大，文獻(xiàn)[3]方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制誤差次之，而所提方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制誤差較小。

由此可知，與文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法相比，所提方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制精度較高。因?yàn)樗岱椒ㄍㄟ^Lagrange函數(shù)定義機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程，在機(jī)械臂動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，結(jié)合徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和牛頓改進(jìn)算法控制機(jī)械臂軌跡，通過改進(jìn)滑模控制函數(shù)，使跟蹤控制誤差減小、精度提高。

4.2 控制時間分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的可行性，對機(jī)械臂軌跡跟蹤控制進(jìn)行測試分析，時間越少控制效果越好。因此，分別采用所提方法、文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法進(jìn)行對比，對比不同方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時間，如圖3所示。

圖3 不同方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時間Fig.3 Control Time of Mechanical Arm Trajectory Tracking with Different Methods

分析圖3可知，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，不同方法的跟蹤控制時間隨之增加。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)為6次時，文獻(xiàn)[3]方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時間為8.2s，文獻(xiàn)[4]方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時間為5.8s，而所提方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時間僅為3.1s。由此可知，所提方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制時間較短。

4.3 穩(wěn)定性分析

機(jī)械臂的第一關(guān)節(jié)和第二關(guān)節(jié)是運(yùn)動旋轉(zhuǎn)活動關(guān)節(jié)，屬于基礎(chǔ)性關(guān)節(jié)。為了有效驗(yàn)證所提方法的穩(wěn)定性，在外界干擾因素下，對基礎(chǔ)性關(guān)節(jié)角的位移進(jìn)行跟蹤控制軌跡分析。設(shè)置機(jī)械臂期望輸出軌跡為Qw=50cos(πt)，滑模控制函數(shù)為s(t)=diag{2 5，25} 。外界干擾因素為τd1=30cos(πt)、τd2=60cos(πt)，得到不同方法在干擾環(huán)境下的跟蹤控制軌跡，如圖4所示。

圖4 不同方法在干擾環(huán)境下的跟蹤控制軌跡Fig.4 Track of Tracking Control in Interference Environment by Different Methods

分析圖4可知，所提方法在干擾環(huán)境下獲得的機(jī)械臂跟蹤控制軌跡的關(guān)節(jié)角位移變化較小，且與期望輸出的機(jī)械臂跟蹤控制軌跡基本相符，表明在干擾環(huán)境下，所提方法可以有效控制機(jī)械臂運(yùn)行軌跡；而文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法在干擾環(huán)境下對機(jī)械臂運(yùn)行進(jìn)行跟蹤時，獲得的機(jī)械臂跟蹤控制軌跡的關(guān)節(jié)角位移變化較大，且機(jī)械臂跟蹤控制軌跡存在明顯波動，與期望輸出的機(jī)械臂跟蹤控制軌跡相差較大，表明文獻(xiàn)[3]方法和文獻(xiàn)[4]方法受干擾因素的影響較大，在干擾環(huán)境下獲得的機(jī)械臂跟蹤控制軌跡穩(wěn)定性較差，而所提方法的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制較好。因?yàn)樗岱椒ㄔ诳刂七^程中，利用Newton算法中的術(shù)語函數(shù)，訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯函數(shù)、中心寬度以及網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，降低外部擾動和非線性擾動，從而確保了機(jī)械臂軌跡跟蹤控制穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

為了提高機(jī)械臂軌跡跟蹤控制精度和穩(wěn)定性，縮短跟蹤控制時間，提出改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法。采用Lagrange函數(shù)定義機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程，并與關(guān)節(jié)變量的偏導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，構(gòu)建機(jī)械臂的動力學(xué)模型。通過非自適應(yīng)魯棒項(xiàng)控制，提高機(jī)械臂軌跡跟蹤控制的穩(wěn)定性，引入Newton算法中的術(shù)語函數(shù)，獲得非線性積分滑模控制方程，訓(xùn)練RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)更新法則，更新滑模控制補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂運(yùn)動軌跡跟蹤誤差的控制。所提方法的跟蹤控制精度高、控制時間較短、穩(wěn)定性好，為機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。