機器人鉆削加工系統布局與姿態研究

李 龍，張清妍，楊 飛，田應仲

（上海大學機電工程與自動化學院，上海 200072）

1 引言

近年來，隨著機器人的位置精度、負載能力的不斷提高，機器人技術受到了廣大航空企業的關注。機器人具有靈活性好，智能化程度高，成本低等優點。而用于鉆削應用的機器人多為串聯機器人，由于其結構簡單，在結構剛度和承載方面存在著明顯的不足[1]。因此，為了保證鉆削的精度及穩定性，提出了一種布局和位姿的優化方法，用于提高制孔系統的剛度性能。

機器人整體剛度由關節剛度、機器人位姿和外力三個因素決定，關節剛度是機器人的固有屬性，是不能改變的。因此，在外力相同的情況下，只有選擇一個合理的機器人加工姿態，才能使機器人的剛度最大。機器人加工姿態取決于機器人底座的布局以及機器人末端的姿態，然而根據一些文獻的研究發現，布局對機器人剛度的影響往往都被忽略了。文獻[2]將機器人柔度矩陣劃分為四個子矩陣，并繪制了四種柔度矩陣的剛度橢球，為機器人剛度研究提供了新思路。文獻[3]利用遺傳算法求解機器人最短路徑規劃問題，并通過對實例的分析計算，得到了理解的結果。文獻[4]采用雅可比條件數作為性能指標，提出了在機器人多種加工姿態中，一定存在著一種加工姿態，在此姿態下機器人剛度性能最好，可以最大限度地減少變形。文獻[5]已知銑削力和機器人彈性模型的前提下，采用遺傳算法優化了工件的擺位。

文獻[6]提出了一種評價指標，并根據運動學性能指標繪制運動學性能圖，對機器人工作空間區域進行細化，從而確定工件的初始位置。文獻[7]根據冗余機器人的自運動學特性，對附加第七軸的機器人進行姿態優化，以提高剛度性能。

文獻[8]提出了姿態光順算法，在獲得制孔過程中的光順軌跡同時，提升了機器人剛度性能。以KUKA KR15機器人為研究對象，對機器人的制孔系統進行了剛度性能的研究。在第二節建立了機器人的剛度模型，即關節剛度向末端操作剛度的映射關系。

在第三節介紹了剛度性能評價指標的概念，研究了布局與剛度之間的關系，在確定布局位置后，利用遺傳算法求解機器人的姿態優化問題，并得到了剛度最優的機器人姿態。最后，在第四節設計一組實驗來驗證優化結果的有效性。

2 機器人剛度模型的建立

KUKA KR15機器人是一種六自由度的關節式機器人，6個關節均為旋轉關節。簡化后的機器人鉆削加工系統由底座、夾具、末端執行器和工件組成，如圖1所示。

圖1 機器人鉆削加工系統結構Fig.1 Robot Drilling System Structure

剛度分析所用的剛度模型，假設所有的關節都是剛體，如圖2所示。為了使公式更簡潔，只計算關節剛度作為操作剛度。

圖2 機器人剛度模型Fig.2 Robot Stiffness Model

機器人的關節和連桿參數稱為D?H參數，其數值，如表1所示。根據等效轉換原理，用等效扭轉彈簧代替柔性接頭。在該情況下，關節剛度由彈簧常數表示，機器人關節剛度由對角矩陣表示：

表1 KUKA KR15機器人D-H參數Tab.1 D-H Parameters of the KUKA KR15 Robot

式中：Kq—機器人關節剛度矩陣；

k1，k2，…，k6—機器人關節剛度。

通過機器人雅可比矩陣J，可以推出關節剛度矩陣到操作剛度矩陣的映射關系：

式中：f—末端力矢量；

n—末端力矩矢量；

d—末端移動變形；

δ—末端轉動變形。

以上得到的是串聯機器人的傳統剛度模型，該模型表明了關節剛度與操作剛度之間的映射關系。由此可見，關節剛度和機器人姿態是影響機器人剛度的主要因素，選擇合適的加工姿態對于提高機器人剛度性能具有重要意義。

3 基于機器人剛度性能指標的布局和姿態研究

3.1 選擇合理的布局

一個典型的機器人鉆削過程需要機器人的布局和姿態的配合，這在整個鉆削加工系統的性能中起著至關重要的作用。因此，將機器人布局與姿態之間的耦合問題進行解耦。我們很難在整個機器人的工作空間中找到一個更好的姿態，但是對于一個固定的布局，機器人的姿態因為約束條件是有限的。因此，機器人的工作系統必須要進行合理的空間分布，使機器人保持良好的剛度性能。機器人與制孔點之間的距離定義為L和相對角θ，如圖3所示。計算得到的機器人剛度矩陣是剛度性能的表達式，但它屬于一種不能直觀得評價剛度性能好壞的張量，因此，應選擇一種剛度性能評價指標，通過該指標可以定量反映結構的剛度性能。常見的剛度性能指標有瑞利商法、力橢球法、剛度橢球法[9]。

圖3 機器人鉆削加工系統的布局示意圖Fig.3 Schematic Diagram of the Robot Drilling System Layout

由于力的依賴性，力橢球和剛度橢球顯然不適合，而瑞利商代表了產生單位變形所需的力，滿足所需的條件。通過不斷改變距離和相對角度，可以得到每個位置的瑞利商值。

由于矩陣K中元素的量綱不同，可以將機器人末端操作剛度矩陣劃分為4個對稱部分：

在此基礎上，引入剛度性能指標—瑞利商。瑞利商代表了機器人末端力矢量的平方與變形矢量的長度平方之比：

式中：QK(d)—剛度矩陣的瑞利商。

式（7）表示產生單位變形所需的外力值。瑞利商越大，產生單位變形所需的力就越大。瑞利商最小的位置是剛度最弱的位置。這意味著在這個位置，機器人很容易在外力作用下變形，如圖4所示。根據計算得出的結果可以很容易得到剛度的變化規律：隨著距離的減小，瑞利商值增大，剛度性能逐漸變好。根據以上結論，在實際加工中，可根據工廠要求選擇合理的位置。

圖4 所有布局點的瑞利商值Fig.4 Rayleigh Quotient Value in All Positions

當然，當機器人和鉆具的相關參數改變時，剛度性能可能會與圖4所示不同。但根據所提出的方法，可以得到各種工況和設備要求下的剛度分析結果，再根據剛度性能分布圖，如圖5所示。選擇合理的機器人布局。

圖5 合理的布局范圍Fig.5 The Rational Range for Layout

3.2 最優的機器人加工姿態

在前一節已經確定了機器人與制孔點之間的距離，接下來需要確定最優的機器人加工姿態。由于在鉆削加工中，機器人末端切向方向的變形影響了加工的精度，所以需要研究力在不同方向上產生的變形，在此基礎上，可以選擇另一個剛度性能指標來解決這一問題。

剛度橢球是機器人剛度矩陣的一個重要特征，它的軸長表示單位力在不同方向上引起的變形大小。

機器人的每個姿態都對應一個剛度橢圓，軸的長度可以進一步得到機器人在受力方向上的剛度性能。因此，提出了一種基于剛度橢球的機器人關節優化設計方法。

3.2.1 優化目標的選擇

在機器人末端受力的情況下，切向變形將沿著切向剛度最弱的方向進行[10]。因此，機器人末端的剛度橢球在切平面上的最短半軸可作為機器人姿態優化的評價指標。

當機器人以不同角度制孔時，如圖6（a）所示。每個接觸點代表一個特定的機器人姿態和一個對應的剛度橢球。機器人末端工具坐標系的三個坐標軸分別為fx、fy、和fz，切平面是xy平面，如圖6（b）所示用切平面截剛度橢球得橢圓，為簡化計算，取橢圓在fx、fy兩軸上的截距中較小的一個作為剛度評價指標。

圖6 剛度橢球示意圖Fig.6 Stiffness Ellipsoid Schematic Diagram

將λn=t作為機器人姿態優化目標。

3.2.2 機器人姿態優化

目前采用遺傳算法求解優化問題正逐漸為國內外研究中所重視。遺傳算法［10］是模仿自然界生物進化機制發展起來的隨機全局搜索和優化方法，其本質是一種高效、并行、全局搜索的方法，它能夠適應地控制搜索過程以求得最優解。

優化的目標是確定滿足所有約束條件的剛度最佳的制孔姿態，將6個關節變量組成位姿優化參數，記為θ=[θ1θ2θ3θ4θ5θ6]T，但是在機器人制孔過程中，如圖8（a）所示。

機器人的末端始終垂直于工件表面，因為這個約束條件，機器人的末端只有4個自由度。將關節角度設為0，這樣可以大大的減少迭代次數并滿足約束條件。因此，設計最佳變量如下：

在遺傳算法中必須要對約束條件進行處理，即表示機器人滿足加工姿態所需要的約束條件。在前一節中，確定了代表機器人與工件之間距離的機器人布局。根據該約束，建立行為約束，如式（16）所示。表示機器人末端與工件的接觸點為（x，y，z），機器人與工件的距離為L。

根據以上對目標函數和約束條件的分析，歸納起來，機器人制孔系統位姿優化問題的數學模型可描述如下：

該優化問題可以用MATLAB中的遺傳算法工具來解決，它可以快速地描述問題、設置算法選項及監控進程，在算法終止后，當迭代次數逐漸減少時，目標函數的最佳適配性和平均適應度值增加并趨于穩定。此時，對應于最優解的變量，如表2所示。

表2 各變量最優解Tab.2 Optimal Vales of Each Parameter

4 最優解的驗證

最后，進行了一套對比實驗來驗證優化結果的有效性。選擇五組隨機的關節角與最優關節角進行比較。機器人的連桿參數，如表1所示。

機器人的關節剛度與上述相同，即（6.88e+5，6.88e+5，3.78e+05，2.12e+05，8.14e+04，3.10e+04）（Nm∕rad）。機器人底座安裝在距地面800mm 的底座上。選擇的機器人姿態，如表3 所示。為滿足約束條件下的任意可達的姿態。

表3 隨機選擇的五組姿態Tab.3 Random Operational Robot Configurations

由于力總是垂直于工件表面，所以沿軸向的偏轉對孔的質量沒有影響。因此，只需要比較x和y方向上的變形。下圖顯示了x和y方向上的五組變形，第六組是最優結果的變形，如圖7所示。可以看出，第六組的變形在x方向和y方向上都是最小的，在整體變形中也是最低的。機器人在不同方向上的剛度是不一樣的，比如第四組在x方向上的變形要比在z方向上的小得多。

圖7 x和y方向上的變形Fig.7 Deflections in the x and y Directions

顯然，優化后的機器人可以在兩個方向上保持最優的剛度。該數值充分表明，優化方法成功地提高了機器人鉆削加工系統的工作剛度性能。

5 結論

建立了機器人鉆削加工系統的剛度模型，將瑞利商作為剛度性能指標，得到了剛度性能分布圖，根據此圖可以很容易地選擇一個高剛度的布局點。然后，根據操作剛度矩陣的特點，建立了剛度橢球體，將切平面上最短半軸的長度作為適應度函數，并通過遺傳算法，最終得到最優的機器人姿態。最后，通過與5個任意姿態機器人的比較，驗證了優化結果的有效性，機器人末端的變形明顯降低。仿真結果表明該方法有效地提高了機器人鉆削加工系統的剛度性能。