2UU?UPU并聯機構的工作空間與結構參數分析

武曉軒，崔冰艷，楊中原，李建功

（華北理工大學機械工程學院，河北 唐山 063000）

1 引言

隨著工業4.0概念的提出，智能制造已經成為世界各國工業化發展的追求目標。在機器人技術在工業生產中大量應用的背景下，串并聯機器人在工業化制造過程中的研究得到了廣泛關注［1］。國內目前應用大多為串聯機構，運動空間大，成本較高，不能完全滿足工業需求，因此結構緊湊、承載能力強、靈活性強、無誤差累積、響應速度快的并聯機構得到了專家學者廣泛關注，在工業生產中得到廣泛應用［2］。

并聯機構中自由度少于6的并聯機構稱為少自由度并聯機構，三自由度并聯機構更是成為當前學者們的研究熱點［3］。在各種三自由度并聯機構中，具有2R1T的三自由度并聯機構一直受到廣泛關注[4]。文獻[5]對3UPU并聯機構進行了運動學分析和工作空間的求解。文獻[6]通過蒙特卡洛法對機構的工作空間進行求解。以2UU?UPU并聯機構作為研究對象，運用螺旋理論求解該并聯機構的自由度，進行運動學逆解分析，使用蒙特卡洛法求解工作空間并研究了結構參數變化對工作空間的影響，為今后的研究及實際應用提供理論基礎。

2 2UU?UPU并聯機構自由度分析

2.1 機構描述與坐標系的建立

在初始位形下2UU?UPU 并聯機構由動平臺、定平臺、兩條結構相同的UU分支和一條UPU分支所組成，如圖1所示。三條分支均通過U副與定、動平臺固接，并將定平臺三個U副作為驅動以改變動平臺末端執行器D的位姿。在定平臺與動平臺上，兩條UU分支的U副第一個轉軸共線，始終垂直于UPU分支U副的第一個轉軸；兩條UU 分支的U 副第二個轉軸平行，始終垂直于UPU分支U副的第二個轉軸。通過U副驅動帶動移動副P實現動平臺的運動。現對UPU?2UU機構各關節點作如下定義；定平臺上第一分支UPU中的U副轉動中心點為A1，第二、第三分支UU中的U副轉動中心點分別為A2和A3。分支一與動平臺連接的U副中心點為B1，分支二、三與動平臺連接的U副中心點分別為B2和B3，動∕定坐標系建立，如圖1所示。建立定坐標系O-XYZ，坐標原點O位于定平臺上A2A3的中心點，X軸垂直于A2A3指向點A1，Y軸與A2A3共線，Z軸垂直于定平臺向上。動坐標系P?UVW，其坐標原點P位于動平臺上B2B3的中心點，U軸垂直于點B2、B3連線指向點B1，V軸與B2B3方向相同，W軸垂直于動平臺向上。△A1A2A3、△B1B2B3為等腰直角三角形，且兩三角形相似，其結構參數定義為：A1B1=l1，A2B2=A3B3=l2，OA1=OA2=OA3=E，PB1=PB2=PB3=e。

圖1 2UU?UPU三維結構圖Fig.1 2UU?UPU Three?Dimensional Structure

2.2 自由度計算

在初始位姿時，定平臺上定坐標系中點A1的坐標為（E，0，0）T，點A2的坐標（0，E，0）T，點A3的坐標為（0，?E，0）T。動平臺上動坐標系中點B1的坐標為（e，0，0）T，點B2的坐標為（0，e，0）T，點B3的坐標為（0，?e，0）T，動平臺上動坐標系原點及動平臺上各點相對于定坐標系原點的坐標為：P（xp yp zp）T，B1（e，0，z）T，B2（0，e，z）T，B3（0，?e，z）T。動平臺上動坐標系中點B1的坐標為（e，0，0）T，B2的坐標為（0，e，0）T，B3的坐標為（0，?e，0）T。由此可得分支1，UPU的運動螺旋系為：

式（6）表示2UU?UPU并聯機構在初始位形下具有三個自由度，分別為沿著X軸方向的移動，繞著u軸方向的轉動和繞著Y軸方向的轉動。

此外機構的自由度也可以通過修正的Kutzbach?Grübler 公式計算：

由此驗證了該并聯機構自由度為3。

3 位置分析

對2UU?UPU并聯機構位置逆解的求解分析，就是已知機構的輸出參數（β，γ，χ），求解機構的輸入參數（θ1，θ2，θ3）的過程。以靜平臺上3條支鏈的U副轉角θi為輸入，動平臺上相對于動坐標系點D的位置（0，0，H）作為輸出點。如圖1所示坐標系形式。并聯機構結構參數定義與機構描述的定義相同：A1B1=l1，A2B2=A3B3=l2，OA1=OA2=OA3=E，PB1=PB2=PB3=e。由自由度分析可知動平臺向定平臺的轉換矩陣為：

由于并聯機構回路的封閉性，可以用另一種方法表示動平臺上點Bi在定坐標系上的位置矢量，即利用分支坐標系轉換求得。其三個分支向定坐標系的轉換矩陣為：

4 2UU?UPU并聯機構工作空間分析

4.1 約束條件

結合2UU?UPU并聯機構結構特點對其約束進行分析。

（1）并聯機構各分支的桿長限制。2UU?UPU并聯機構運動是由三個U副上的轉角作為驅動，根據結構特點可知2個UU分支的桿長是固定的，但是UPU分支的桿長l1是隨著機構運動過程不斷變化的。結合該并聯機構的特點以及動平臺和定平臺的結構尺寸定義分支一某一時刻桿長為l1，l1長度代表固定桿長與伸縮桿的總和，定義其固定桿長度為400mm，伸縮桿長度最大為1100mm。分支二桿長l2和分支三桿長l3相等，定義其長度為500mm。

（2）并聯機構桿件之間的干涉。并聯機構是多分支閉環機構，分支的多少會直接影響機構的靈活性，所以并聯機構分支越少，桿件之間發生干涉的情況越小。2UU?UPU為三支鏈并聯機構，結合機構運動情況確定不會機構發生干涉，因此不考慮并聯機構桿件間的干涉情況。

（3）運動副轉角的限制。由于并聯機構運動副不可能在與桿件相連的情況下達到理想的運動范圍，所以在分析求解機構工作空間時需要考慮運動副的轉角限制。

U副轉角約束為：

式中：R—U副相對于所在坐標系的姿態；ni—第i個U副在坐標系中的姿態用向量的表示；θmax—U 副的最大轉角，規定θmax=170°。

利用運動逆解求解2UU?UPU 并聯機構工作空間前先給出機構的輸出參數和基本尺寸參數，其中假設動平臺輸出參數β、γ角的取值范圍為±45°，x軸的位移由并聯機構結構參數限制求解可知，并聯機構結構參數，如表1所示。

表1 并聯機構基本結構參數Tab.1 Basic Structural Parameters of Parallel Mechanism

表中：H—末端執行器高度。

以動平臺上末端執行器點D為研究點繪制并聯機構工作空間，已知末端執行器的結構參數H，在動坐標系的位置坐標表示為：

4.2 工作空間求解

根據上述并聯機構基本結構參數，用蒙特卡洛法通過隨機大量取點得到滿足機構約束條件的點的集合構成機構參考點的工作空間。根據表1的結構參數通過MATLAB編程得到機構工作空間，如圖2所示。圖2中給出了該機構工作空間的三維和二維平面運動空間的范圍，研究結果表明，該機構具有很好的三維運動空間，在X-Y運動平面具有很好的對稱性，反映了2個相同支鏈的運動特性，而在其它兩個平面的運動空間具有很好的連續性。

圖2 并聯機構工作空間Fig.2 Workspace of Parallel Mechanism

4.3 結構參數對工作空間體積的影響

為了能夠直觀的顯示結構參數變化對2UU?UPU 并聯機構工作空間的影響，把不同參數變化下的工作空間體積大小作為工作空間大小的評價指標。主要的參數有：動平臺半徑e、定平臺半徑E、連桿二、三的桿長（l2、l3）、連桿一（l1）伸縮桿取值范圍、末端執行器H的長度和驅動角θ的轉動范圍。根據表1的結構參數和驅動角取值范圍（30～50）°，得到圖2工作空間，此時工作空間體積為（6.86×105）mm3，記為工作空間體積的基準值，用δ0表示。記工作空間的體積大小相對值為λ：

如圖3所示，取l2恒等于l3，當桿長取值在（400～600）mm，其它參數不變時，工作空間體積隨著桿長的增大而增大，從工作空間的角度來說，連桿二、三越長越好。當動平臺半徑e取值變化范圍在（200～450）mm，其它參數不變時，工作空間體積隨著動平臺半徑e從（200～350）mm 時增加比較明顯，動平臺半徑e從（350～450）mm 時工作空間體積逐漸趨近定值。當連桿一固定桿長為400mm，當伸縮桿桿長取值在（100～700）mm，其它參數不變時，工作空間體積隨著桿長l1從（500～800）mm時增加比較明顯，桿長l1從（800～1100）mm 時工作空間體積增加逐漸減緩，在（1000～1100）mm逐漸趨近定值。當定平臺半徑E取值變化范圍在（300～700）mm，其它參數不變時，工作空間體積隨著定平臺半徑E從（300～550）mm 時減少比較緩慢，定平臺半徑E從（550～700）mm時工作空間體積呈現較為迅速的減少。從工作空間的角度來說，動平臺半徑E取（300～550）mm 范圍比較合理。如圖4所示，當末端執行器H取值變化范圍在（10～60）mm，其它參數不變時，工作空間體積隨著H取值的增加呈現階梯型增加時，在H取60mm時工作空間體積最大。

圖3 l2、l1、E、e對工作空間體積大小的影響Fig.3 Effects of l2、l1、E、e on the Volume of the Workspace

圖4 H對工作空間體積大小的影響Fig.4 Effects of H on the Volume of the Workspace

θ角對工作空間體積大小的影響，如圖5所示。最小轉角對工作空間的影響小于最大轉角的影響；工作空間隨著最大轉角的增大而逐漸增大。

圖5 θ取值范圍對工作空間體積大小的影響Fig.5 Effects of θ on the Volume of the Workspace

綜合上述分析，當末端執行器長度不變，其它參數取分別為400mm≤l1≤1000mm，l2=l3=600mm，e=350mm，E=300mm，U副轉動角度范圍為（10～170）°時，計算得到2UU?UPU 并聯機構的工作空間體積為（1.04×106）mm3，是初始工作空間體積的1.52倍，為其結構設計優化和運動學分析提供了依據。

5 總結

提出了一種新型的2UU?UPU并聯機構，分析了該機構的自由度，得到該機構是具有2R1T的三自由并聯機構。推導了運動學反解方程，使用蒙特卡洛法求解出機構的工作空間。以并聯機構工作空間體積作為評價指標，分析了該并聯機構結構參數對工作空間體積大小的影響，繪制了結構參數對工作空間體積的影響曲線，得到了增大該并聯機構工作空間的幾種方式。

結合了給定的初始結構參數的影響曲線，選取了適合的參數取值，得到的工作空間體積是更改前機構工作空間體積的1.52倍，工作空間顯著提升，為以后對該并聯機構尺寸優化和實際應用提供了參考。