光柵尺被動隔振系統建模與仿真分析

鄧宏光，陳新度，王 晗，梁忠偉

（1.廣東工業大學機電學院，廣東 廣州 510006；2.廣州大學機械與電氣工程學院，廣東 廣州 510006）

1 引言

光柵尺作為高精度位移傳感器廣泛應用于數控系統，宏微平臺等精密位移控制系統和工業測量領域[1?2]。目前以螺栓直接固定尺體于運動平臺的凸臺基面的安裝方式[3]，使得運動平臺的振動與沖擊直接作用于光柵尺[4]。隨著微納加工的發展，運動平臺振動對光柵尺精度的影響日益凸顯。目前針對光柵尺振動的研究較多集中于數據后處理，如通過對測量數據信號進行誤差補償處理等方法[5]降低振動對測量精度的影響等，但無法從根本上消除振動對光柵尺測量精度的影響。

光柵尺一般為截面不變的均勻長條狀尺體，其長度取決于安裝平臺的運動范圍，對于大尺寸的數控機床系統，其長寬比更大。受逼仄的安裝空間限制，光柵尺難以采用普通隔振機構。切削加工時，機床振動難以避免，非平穩切削、切削顫振[5]等更惡劣工況甚至引起機床自激振動[6]。故亟需研究其在振動與沖擊工況下的力學特性并探索隔振設計，減低運動平臺振動對光柵尺測量精度的影響。基于上述分析，結合光柵尺的結構特性，建立了5自由度動力學模型并進行了解耦分析，得到系統傳遞函數。通過頻率響應和階躍沖擊仿真分析了機床振動對光柵尺的精度影響，為具體的隔振設計提供理論依據。

2 光柵尺動力學建模

光柵尺幾何特征通常為長條狀、對稱且質量均勻，其質心通常與幾何中心重合。以某數控機床工作臺上平行于X軸導軌的光柵尺為例，該光柵尺X方向與機床X軸導軌平行，Y方向平行于Y軸導軌，與X向正交，Z方向平行于Z軸導軌，垂直于工作臺豎直向上，即所定義的光柵尺坐標系與機床坐標系一致。其余安裝位置的光柵尺分析時亦可參考建立類似的坐標系，不失一般性。

光柵尺在上述X、Y、Z3個平動自由度均易受機床振動影響，其中，X方向平動自由度的振動直接影響讀數頭讀取的光柵條紋位置，是誤差敏感方向；Y、Z此2個平動方向自由度的振動主要影響光柵尺體與讀數頭的動態間距，即影響讀數頭的光學焦距。繞Y、Z軸回轉方向即Ry，Rz2個回轉自由度由θ，φ描述。由于光柵尺條狀外形長邊與X軸同向，考慮其安裝時平行于導軌裝于機床滑臺上，可理解為光柵尺與機床滑臺在繞X軸回轉方向的剛度極大，故此方向振動可以忽略。

由上述分析，可建立光柵尺5自由度動力學模型，如圖1所示。

圖1 光柵尺5自由度動力學模型Fig.1 5?DOF Dynamic Model of Grating Ruler

其中，C點為光柵尺的質心，M、Iy、Iz分別為尺體質量、繞Y軸及繞Z軸的轉動慣量。kx、cx為X方向的剛度和阻尼；ky1、kz1、cy1、cz1為安裝點1處隔振器對應y方向與z方向的剛度和阻尼；ky2、kz2、cy2、cz2為安裝點2處隔振器對應y方向與z方向的剛度和阻尼；qx、qy、qz分別為平臺各方向對光柵尺的振動激勵。l1、l2分別為光柵尺質心與安裝點1，2的距離。顯然，微幅振動時有：z1=z?l1θ；z2=z+l2θ；y1=y?l1φ；y2=y+l2φ則運動微分方程為：

3 光柵尺動力學模型解耦與簡化

考察式（2），y、z、θ、φ這4個自由度顯然存在剛度耦合與阻尼耦合，有必要解耦上述動力學模型，以便簡化隔振系統設計與分析過程。分析剛度矩陣K和阻尼矩陣C，若l1=l2，則矩陣K和C的非對角元素為零，實現了解耦。實際應用中，光柵尺尺體通常為均勻質量，長條狀；即其質心與幾何中心重合，位于兩側安裝點連線中點，滿足上述解耦條件。考慮實際的隔振系統設計中，通常取同一方向的隔振單元其剛度和阻尼參數為相同值，故定義式（2）光柵尺動力學模型相關參數如下：

顯然，光柵尺動力學模型式（2）實現解耦。由振型疊加原理[8]，可知，式（2）解耦后，該5自由度系統動力學模型可描述為各方向單自由度振動的疊加，即：

4 仿真與分析

根據上述動力學模型，在Matlab中建立了光柵尺5自由度隔振系統模型，分析其在安裝基座激勵下的振動響應特性。隔振系統各參數值，如表1所示。

表1 某光柵尺隔振系統參數Tab.1 Parameters of Vibration Isolation System for One Grating Ruler

切削加工時，引起機床振動的因素很多，主軸不平衡、機床運動部件安裝誤差、導軌磨損、非平穩切削等是較常見因素，某些工況下，不穩定的切削過程甚至可導致機床顫振。而機床加工過程中的各種振動均會通過安裝位置傳遞給光柵尺，因此，機床的振動特性即光柵尺的振動激勵特性。

由隔振原理，輸入激勵頻率在共振峰 2 倍以上，則隔振系統可以有效隔離[11]。自由度頻響特性值，包括固有頻率、 2 倍頻率點、對應隔振率及25Hz頻率點隔振率，如表2所示。考察該表可知，該系統固有頻率和 2 倍頻率均較低。其中X、Y、Z三個平動自由度，固有頻率均小于8.5Hz， 2 倍頻率小于11.9Hz，對應的機床主軸轉速分別為510rpm和714rpm。Ry，Rz兩回轉自由度固有頻率分別為14.24Hz 和13.63Hz， 2 倍頻率略高，分別為20.14 Hz和19.27Hz。

表2 各自由度頻率響應特性Tab.2 Frequency Response Characteristics

數控機床工作時切削用量隨工況變化范圍較大，主軸轉速與進給速度等參數變化的區間同樣范圍較大。但對于光柵尺精度較敏感的精加工而言，通常主軸轉速設定較高，因此由于機床主軸旋轉誤差和顫振所引起的振動激勵頻率也較高。上述X，Y，Z平動自由度和Rx，Ry回轉自由度的 2 倍頻率點對應的主軸轉速分別為714rpm 以下和1209rpm 以下，對光柵尺誤差敏感的精加工較少工作于此轉速范圍。

光柵尺隔振系統各自由度的頻率響應曲線，如圖2、圖3 所示。比較直觀反映了激勵頻率在1000Hz以下的隔振效果，圖中，橫坐標為對數頻率坐標（f∕Hz），縱坐標為位移放大系數（dB）。其中，圖2為X、Y、Z方向平動自由度頻率響應曲線，振動激勵頻率為25Hz時，對于光柵尺誤差敏感方向X，隔振率為?11.9dB。Y，Z兩平動自由度隔振率為?9.31dB。

圖2 光柵尺X、Y、Z平動自由度頻響曲線Fig.2 X、Y、Z DOF Frequency Response Curve of Grating Ruler

光柵尺Ry、Rz兩回轉自由度頻率響應曲線，如圖3所示。Ry、Rz兩回轉自由度在25Hz激勵頻率的響應分別為?1.52dB、?1.99 dB。系統各自由度隔振效果隨頻率增加而愈加顯著，在100 Hz處（對應機床主軸轉速3000rpm），X、Y、Z方向平動自由度隔振率均已超過?23dB，Ry、Rz方向則超過?14dB。由于數控機床精加工時主軸轉速較高，其振動激勵頻率通常更高，故本系統在高速切削工況下隔振效果良好。隨著數控機床的高速化，其工作臺各軸快速平移，急起、急停等已經成為常規工況，使得機床各運動部件具有較高加速度[7]。同時，加工過程中，刀具切入、切出時還會對機床形成突加載荷。

圖3 光柵尺Ry、Rz轉動自由度頻響曲線Fig.3 Ry、Rz DOF Frequency Response Curve of Grating Ruler

由于各軸導軌安裝間隙的存在，上述高加速度工況通常以沖擊激勵的形式作用于工作臺等機床運動部件。以單位階躍響應和單位沖擊響應仿真光柵尺隔振系統在上述突加載荷與沖擊工況下的穩定性。系統在階躍和單位沖擊下X方向和Ry方向的時域響應曲線，如圖4、圖5所示。

圖4 X方向單位階躍響應與沖擊響應Fig.4 X Direction’s Step Response and Impact Response

由圖4，系統在X方向的階躍響應穩定時間為0.25s，峰值保持的時間<0.1s；單位沖擊響應穩定時間為0.2s，峰值保持的時間<0.06s。由圖5，Ry方向的階躍響應穩定時間為0.08s，峰值保持的時間<0.05s；單位沖擊響應穩定時間為0.18s，峰值保持的時間<0.05s。單位階躍響應與單位沖擊響應的仿真結果反映了光柵尺隔振系統穩定性較好，對突加載荷和沖擊下所導致的擾動，能很快回復正常狀態。因此，本隔振系統能更好適應高速數控機床愈加嚴苛的工況。

5 結論

在分析光柵尺結構特點的基礎上，建立了光柵尺隔振系統5自由度動力學模型，并對動力學模型進行了解耦及隔振傳遞函數分析。對該隔振系統動力學模型仿真分析結果表明：

（1）建立了5自由度光柵尺動力學模型，該模型較好地體現了光柵尺的特征與工況。為光柵尺的隔振分析與隔振系統設計奠定理論基礎，也為類似條狀結構的動力學分析提供了參考。

（2）基于隔振對象結構特性進行的動力學模型解耦，可有效降低分析難度且不失準確性。

（3）依此方法，可易于計算隔振系統的各自由度固有頻率，以便設計隔振系統時，為不同應用場合與工況，適時調整剛度、阻尼等隔振系統參數。

（4）合理設計隔振系統參數，使系統各階固有頻率的 2 倍頻率均小于機床主要工況的激勵頻率，則可獲得明顯的隔振效果，更有利于光柵尺在顫振等工況下的測量精度保持。