3?PSS柔性并聯微操作機器人運動學及工作空間分析

任 軍，何文浩

（1.湖北工業大學機械工程學院，湖北 武漢 430068；2.現代制造質量工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430068

1 引言

柔性并聯機器人結合了并聯機構剛度大、承載能力強和柔性鉸鏈無間隙、無摩擦、易于裝配等一系列優點，使其結構穩定、精度高、誤差小，在諸如精密加工與測量、MEMS微裝配、醫療微操作、航空航天等領域擁有巨大的市場潛力，因此開展柔性并聯機器人的研究具有十分重要的意義。

從自由度的角度，柔性并聯機器人的研究大多集中于三自由度[1?3]和六自由度[4?6]。三自由度柔性并聯機器人因其結構簡單、控制方便和制造成本低廉等優點受到諸多研究者的青睞。較早的，文獻[7]采用大行程的柔性移動副設計了一種3?PPP型空間平移柔性并聯微動平臺，其可在三個移動方向實現毫米級的運動行程；文獻[8]設計了一種3?RRC型三自由度空間柔性并聯機器人，并對其進行了動力學研究和動態特性分析；文獻[9]通過使用橋式柔性位移放大機構研制了一種3?RPS柔性并聯機構，并對其進行了剛度建模分析；文獻[10]設計了一種新型的基于正交支鏈3?P（4S）柔性并聯機構，并對機構剛度和誤差進行了研究；文獻[11]提出了一種分布柔度式3?PPP型柔性并聯微定位平臺，與集中柔度式相比，分布柔度式具有更大的運動行程；除此之外，文獻[12?13]高校也對三自由度柔性并聯機器人開展了相關的研究。上述研究的機構中多采用做平面運動的單自由度柔性鉸鏈，鉸鏈的結構比較簡單，但需要的數量較多，使得整體機器人結構設計較為復雜。相比之下，柔性球鉸可以實現三個方向轉動，一個球鉸具有三個自由度可減少整體結構設計需要的柔性鉸鏈數量，使機器人結構設計更加簡單、緊湊。

基于3?PSS型delta并聯機構，將機構中的普通球鉸用柔性球鉸替代，設計了一種新型的三自由度柔性并聯微操作機器人。其中動平臺和機架之間通過3根具有移動副和柔性鉸鏈的支鏈連接，由壓電馬達驅動三個移動滑塊分別在三根導軌上做豎直方向的直線運動，然后通過連桿帶動底端動平臺運動。該機構可實現x、y和z三個方向的毫米級平移運動，可廣泛應用于光學、生物醫學、超精密加工等領域[14]。

2 柔性并聯機器人運動學分析

3?PSS柔性并聯微操作機器人整體結構，如圖1所示。機器人由三條相同的支鏈呈三棱錐形狀布置，支鏈結構，如圖2所示。移動滑塊和連桿之間以及連桿和動平臺之間通過全向型柔性球鉸連接，如圖3所示。

圖1 整體結構Fig.1 Overall Structure

圖2 支鏈結構Fig.2 Branched Chain Structure

圖3 柔性球鉸Fig.3 Flexure Spherical Hinge

2.1 機構的自由度

在3?PSS柔性并聯微操作機器人中有1個動平臺，1個機架，3個滑塊，6根連桿共11個構件，3個滑塊為原動件。該機構中有3個移動副，12個球面副，總共有15個運動副。空間機構的自由度可以采用Kutzbach?Grübler[15]公式計算：

式中：M—機構自由度；n—空間中除了機架外的構件數；g—機構的總運動副數；fi—第i個運動副的相對自由度數；v—機構中全部過約束的總數；ξ—機構中存在的局部自由度。

其中n=11，g=1，v=0；ξ=6。計算得出機構的自由度為3。由反螺旋理論[16]可知，此機構只能是三個移動自由度，能在空間中實現移動，滿足3?PSS柔性并聯微操作機器人的要求。

2.2 機構的位置方程

因為3?PSS柔性并聯微操作機器人的動平臺和靜平臺之間的運動存在關聯，需要進行運動學分析，確定他們之間的運動關系，進而確定方程。建立的坐標系，如圖4所示。

圖4 動、靜平臺坐標系Fig.4 Coordinate System of Dynamic and Static Platform

靜平臺半徑設為R，動平臺半徑設為r，連桿長度為L。并聯機器人靜平臺簡圖，如圖5所示。其中ε1=?150°，ε2=?30°，ε3=90°。因為三根連桿的長度始終相等，所以可得：

圖5 靜平臺簡圖Fig.5 Schematic Diagram of Static Platform

設動平臺中心P點的坐標為（x，y，z），三個滑塊在靜平臺上的坐標系中Z方向上的坐標分別為d1，d2，d3，由此可得A，B，C三點 在 靜 平 臺 坐 標 系 中 坐 標 為：A=(Rcosε1，Rsinε1，d1)，B=(Rcosε2，Rsinε2，d2)，C=(Rcosε3，Rsinε3，d3)，因為動平臺相對于靜平臺只有平動，沒有轉動，所以A1，B1，C1三點在靜平臺坐標系中的坐標為：A1=(x+rcosε1，y+rsinε1，z)，B1=(x+rcosε2，y+rsinε2，z)，C1=(x+rcosε3，y+rsinε3，z)。

2.3 機構的逆運動學模型

當已知動平臺的坐標P（x，y，z），求三個滑塊的位置di（i=1，2，3），稱為機構的逆運動學求解。根據公式可得機構的逆運動學模型。

2.4 機構的正運動學模型

當已知滑塊位置di（i=1，2，3），求動平臺坐標P（x，y，z），稱為機構的正運動學求解。令ai=rcosεi?Rcosεi，bi=rsinεi?Rsinεi，則公式可化簡為：

2.5 運動學模型驗證

為驗證所推導的正、逆運動學模型準確性，通過對比輸入正解得到的反解結果和輸入反解得到的正解結果是否一致來判斷。機器人的結構參數，如表1所示。在MATLAB軟件中采用三組數值算例分析，得到的計算結果，如表2～表4所示。

表1 機器人結構尺寸參數Tab.1 Dimension Parameters of Robot

表2 第一組數值算例驗證Tab.2 Verification of the 1st Set of Numerical Examples

表3 第二組數值算例驗證Tab.3 Verification of the 2nd Set of Numerical Examples

表4 第三組數值算例驗證Tab.4 Verification of the 3rd Set of Numerical Examples

分析結果表明，反解的輸入與正解輸出結果、正解輸入與反解輸出的結果一致，證明機構運動學模型正確。

3 機器人的工作空間分析

柔性并聯微操作機器人工作空間是指動平臺在連桿的帶動下能達到的所有空間，即機器人下端點在固定坐標系中的所有能達到位置點的集合[17]。機器人的尺寸大小是設計機器人的關鍵參數之一，它會直接影響機器人的工作空間。因為當確定一組d1，d2，d3坐標時可以得到唯一的一組動平臺的坐標；同樣的，當已知動平臺的坐標也可以求出唯一的一組滑塊位置，因此可以運用MATLAB軟件仿真出機器人的工作空間。選取一定數量的滑塊位置數組，根據機器人的運動學正解可以求出動平臺的坐標，再根據機器人的連桿參數和柔性球鉸的極限轉角求出限制條件，當滑塊坐標數量足夠多時就可以精確模擬出動平臺的所有活動范圍。

影響機器人工作空間的因素主要有以下幾點：

（1）機器人導軌長度H的影響：柔性并聯機器人的驅動滑塊安裝在導軌上，并不能無限上升或下降，只能在導軌上移動，滑塊的運動范圍需要滿足0≤di≤H（i=1，2，3）。

（2）三根連桿長度L的影響：機器人的三根連桿長度的大小會對機器人工作空間的形狀和大小產生影響。

（3）柔性鉸鏈極限轉角θmax的影響：驅動滑塊和連桿之間以及連桿和動平臺之間都是通過柔性球鉸連接，但是依據柔性球鉸的結構和尺寸，柔性球鉸的轉動角度是有范圍限制的，當柔性球鉸受到的彎曲應力達到極限時，柔性球鉸的轉角也達到極限。在3?PSS柔性并聯微操作機器人中柔性球鉸極限轉角的約束條件為：

利用邊界搜索法[18]搜索工作空間，當約束條件達到許用范圍極限值的時候，動平臺中心達到工作空間的邊界位置，3?PSS柔性并聯微操作機器人工作空間搜索流程，如圖6所示。

圖6 工作空間搜索程序流程圖Fig.6 Workspace Search Program Flow Chart

結合機器人尺寸參數將程序按照上述要求寫入MATLAB之后即可搜索出3?PSS柔性并聯微操作機器人的運動空間。機器人的尺寸參數，如表1所示。用MATLAB 軟件搜索出來的并聯機器人的工作空間三維立體圖，如圖7所示。

圖7 工作空間的三維立體圖Fig.7 A Three?Dimensional View of the Workspace

由圖可知并聯機器人的工作空間是一個柱狀體，在高度為（0～64）mm的時候，工作空間的X-Y截面是形狀相同的均勻截面，但是當高度超過64mm之后工作空間X-Y截面逐漸減小且變得不規則。

4 尺寸參數對工作空間的影響

4.1 導軌長度H的影響

采用截面分析法分析導軌長度對于3?PSS柔性并聯微操作機器人的工作空間的影響。即當動平臺半徑r=7.5mm；靜平臺半徑R=91.5mm；連桿長度L=140mm；柔性球鉸極限轉角θmax=5°固定不變時，分析當導軌長度分別為：H=180mm；H=200mm；H=220mm；H=240mm 時得到的工作空間。MATLAB 搜索得到的機構在不同導軌長度下工作空間的X-Y截面圖，如圖8所示。工作空間的X-Z截面圖，如圖9所示。工作空間的有效高度和無效高度大小，如表5所示。

圖8 不同導軌長度時工作空間的X-Y截面Fig.8 X-Y Cross Section of the Workspace with Different Guide Length

圖9 不同導軌長度時工作空間的X-Z截面Fig.9 X-Z Cross Section of the Work Space with Different Guide Length

由圖8和圖9可知，在其他尺寸參數都相同時，不同長度的導軌對機器人工作空間X-Y截面沒有任何影響，但是隨著導軌長度的增大機器人工作空間的高度也會逐漸增大。由表5可知，不同導軌長度時機構工作空間中的無效高度恒定不變。

表5 不同導軌長度時工作空間的有效高度和無效高度Tab.5 Effective Height and Invalid Height of the Work?space with Different Guide Length

4.2 連桿長度L的影響

采用截面分析法分析不同連桿長度對3?PSS柔性并聯微操作機器人的工作空間的影響。即當導軌長度H=200mm；動平臺半徑r=7.5mm；靜平臺半徑R=91.5mm；柔性球鉸極限轉角θmax=5°固定不變時，分析機器人連桿長度分別為：L=130mm；L=140mm；L=150mm；L=160mm時得到的工作空間。MATLAB搜索得到的機構在不同連桿長度下工作空間的X-Y截面圖，如圖10所示。

圖10 不同連桿長度時工作空間的X-Y截面Fig.10 X-Y Cross Sections of Workspace with Different Connecting Rod Lengths

工作空間的X-Z截面圖，如圖11所示。工作空間的有效高度和無效高度大小，如表6所示。

圖11 不同連桿長度時的工作空間X-Z截面Fig.11 X-Z Cross Section of the Workspace with Different Connecting Rod Lengths

由圖10、圖11可知，在其他尺寸參數不變的情況下，隨著連桿長度的逐漸增大，機器人工作空間的X-Y截面也逐漸增大，但是機構工作空間的高度卻在逐漸減小。由表6可知，當機構連桿長度增大時，機構工作空間的無效高度會逐漸增加，但是增加較為緩慢。

表6 不同連桿長度時工作空間的有效和無效高度Tab.6 Effective and Invalid Heights of the Workspace with Different Connecting Rod Lengths

4.3 柔性鉸鏈的極限轉角θmax 的影響

采用截面分析法分析不同的柔性球鉸極限轉角對3?PSS柔性并聯微操作機器人工作空間的影響。即當導軌長度為：H=200mm；動平臺半徑r=7.5mm；靜平臺半徑R=91.5mm；連桿長度L=140mm 固定不變時，分析柔性鉸鏈極限轉角分別為：θmax=4°、θmax=5°、θmax=6°、θmax=7°時得到的工作空間。MATLAB搜索得到的機構在不同柔性鉸鏈極限轉角下工作空間的X-Y截面圖，如圖12所示。工作空間的X-Z截面圖，如圖13所示。工作空間的有效高度和無效高度大小，如表7所示。由圖12可知，在其他尺寸參數不變的情況下，隨著柔性球鉸極限轉角的逐漸增大，工作空間的X-Y截面也逐漸增大；由圖13可知，工作空間的Z向總高度沒有任何變化，但是工作空間的有效高度隨著柔性鉸鏈極限轉角的增大而逐漸減小，且減小的越來越慢。因此，柔性球鉸的極限轉角對并聯機器人的工作空間的X-Y截面大小有很大影響，但是對于并聯機器人工作空間的高度影響較小。

圖12 不同柔性鉸鏈極限轉角時工作空間X-Y截面Fig.12 X-Y Cross Section of Workspace with Different Limit Angles of Flexure Spherical Hinge

圖13 不同柔性鉸鏈極限轉角的機構工作空間X-Z截面圖Fig.13 X-Z Cross Section of Workspace with Different Limit Angles of Flexure Spherical Hinge

表7 不同極限轉角時工作空間有效高度和無效高度Tab.7 Effective Height and Invalid Height of Workspace with Different Limit Angles

5 結論

（1）隨著導軌長度的增大，機器人的工作空間Z向高度會逐漸增大，但是X-Y截面大小不變，對于改進機構運動空間的高度具有很大參考價值。

（2）隨著連桿長度的增加，并聯機器人的工作空間的X-Y截面會逐漸增大，但是Z向高度會逐漸減小，且無效工作空間高度也會逐漸增加；隨著柔性球鉸極限轉角θmax的增大，并聯機器人工作空間X-Y截面逐漸增大，但是Z向總高度保持不變，而無效工作空間高度會逐漸增加，對于機器人基于特定約束條件下的結構參數優化具有重要意義。