考慮公差原則應用的統計公差分析方法

周志鵬，彭和平，常素萍

（1.武昌首義學院機電與自動化學院，湖北 武漢 430064；2.江漢大學智能制造學院，湖北 武漢 430056；3.華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢 430074）

1 引言

三維公差分析技術為了解零件尺寸和幾何公差對產品性能的影響提供了一種有效評價工具。常用三維公差分析模型有：統一雅可比?旋量模型、矢量環模型、T?Map模型等[1]。文獻[2]介紹了一種確定性公差分析模型，也即統一雅可比?旋量模型，該模型采用小位移旋量（Small Displacement Torsor，SDT）描述公差區域，采用雅可比矩陣實現公差傳播。文獻[3?4]對該確定性公差模型進行了擴展研究，以實現統計公差分析。文獻[5]進一步將該模型與蒙特卡羅模擬技術結合，提出了一種機械裝配三維公差再設計的統計方法。

上述三維公差分析方法均考慮了尺寸公差和幾何公差綜合影響，但均沒有考慮關聯尺寸公差和幾何公差的公差原則的應用。公差原則是處理幾何公差和尺寸公差關系的重要原則，零件能否正確裝配，并不單單取決于尺寸公差或者幾何公差，而是取決于尺寸公差和幾何公差的綜合影響。在機械產品的設計和生產實踐中，如果公差原則能夠正確地應用和實施，不僅可以簡化零件制造、檢驗和裝配的過程，降低產品成本，提高產品質量，還可以提高零部件的互換性和產品制造的經濟效益，最終對提高產品的市場競爭力具有重要意義[6]。公差原則要求包括包容要求（ER）、最大實體條件（MMC）、最小實體條件（LMC）、可逆要求（RPR）等。文獻[7]通過結合MMC 和LMC 等材料條件原則，提出了一種基于特征的機械裝配公差分析方法。文獻[8]進一步擴展了該研究，提出了考慮材料條件MMC、LMC、ER等應用的統計公差分析方法。盡管如此，大多數研究較少考慮公差原則的應用對公差分析的影響，導致公差分析結果不準確。是此，在介紹基于SDT 的三維公差表示模型的基礎上，將公差原則的獎勵公差建模為旋量參數的附加約束；然后，將這些旋量參數集成到統一的雅可比?旋量模型中，并結合蒙特卡羅模擬技術實現機械裝配的統計公差分析。最后，用齒輪裝配統計公差分析的實例驗證該方法的有效性。

2 統計公差分析

首先討論考慮公差原則的基于SDT 的三維公差區域描述方法，再結合統一的雅可比?旋量模型，提出了一種統計公差分析方法。

2.1 公差區域的SDT模型

公差區的SDT描述是基于文獻[9]提出的旋量模型，該模型使用一組旋量參數來表征零件特征的微小變動。幾種三維公差區域的SDT模型及相應的旋量參數范圍，如表1所示。

表1 三維公差區域的SDT模型及相應的旋量參數范圍Tab.1 SDT Model of 3D Tolerance Zones and Corresponding Torsor Parameter Ranges

2.2 考慮公差原則的應用

基于三維公差區域的SDT描述方法，我們研究如何將公差原則的獎勵公差建模為旋量參數的附加約束。公差原則之包容要求表示實際要素應遵守最大實體邊界，其局部實際尺寸不得超出最小實體尺寸，采用包容要求主要是為了保證配合性質，特別是配合公差較小的精密配合，這個要求由放置在尺寸公差后面的符號?來表示[10]。最大實體要求可應用于公差特征或基準特征，以保證裝配過程中零件的互換性。

如果所考慮的特征尺寸偏離其MMC，則允許幾何公差的增加值等于該特征偏離MMC的量[11?12]。最大實體原則的應用通過在特征控制框架中放置符號?來表示。最小實體要求主要用于控制最小壁厚，保證零件強度，最小實體要求應用時，如果有關特征偏離其LMC時，所規定的幾何公差的增加值等于該特征偏離LMC 的量，其應用通過在特征控制框架中放置符號?來表示[11?12]。可逆要求，利用幾何公差補償尺寸公差，使得零件更具有經濟性。如圖1所示。

圖1 指定了MMC的軸銷特征Fig.1 The Pin?Shaped Feature Specified MMC

類似地，考慮公差原則應用的影響時，對于外部特性（軸銷∕凸起）和內部特性（孔∕槽）的旋量參數的一般約束和附加約束，如表2所示。

表2 應用公差原則時外部特征和內部特征旋量參數附加約束Tab.2 Additional Constraints of Torsor Parameters for External & Internal Features When Applying Material Conditions

2.3 統一雅可比-旋量模型

為了表示功能要素（FE）變動對產品功能要求（FR）的累積影響，Desrochers等將雅可比矩陣和旋量表示模型結合起來，開發了統一的雅可比?旋量模型[2]，即：

2.4 統計公差分析

式（5）所示的統一雅可比?旋量模型是一個確定性公差分析模型，需要采用大量隨機值來運行該模型才能使其成為一個統計模型。首先，根據裝配FR識別出有效FE副，構建相應的公差分析旋量鏈；基于各種要素副的尺寸、幾何公差以及公差原則的影響，得到了各SDT要素的變化范圍。在確定了這些SDT的分布規律和廢品率后，即可確定了SDT分量的統計參數。然后，利用根據SDT分量的統計參數所產生的大量隨機值運行統一雅可比?旋量模型，得到FR仿真結果。對這些FR數據進行統計分析后，可得所需分析方向上的FR變化區間，從而實現統計公差分析。

3 實例分析

這里給出了一個齒輪裝配統計公差分析實例來驗證所提出的方法。該裝配由齒輪軸1、右軸套2、齒輪箱3、箱蓋4和左軸套5組成，如圖2所示。

圖2 齒輪裝配圖Fig.2 The Gear Assembly

左軸套5孔的右端面和齒輪軸1的軸肩的水平位移（y軸方向）的變動是裝配的FR。該裝配幾個主要零件的尺寸和公差，如圖3所示。

圖3 零件的尺寸和公差詳圖Fig.3 The Detail Drawings of Part Dimensions and Tolerances

3.1 功能要素副確定

如圖2所示，與該裝配FR相關的有效FE副有12個，它們是齒輪軸1的表面元素S1，1、S1，2和S1，3；右軸套2的表面元素S2，1、S2，2和S2，3；齒輪箱3 的表面元素S3，1和S3，2；箱蓋4 的表面元素S4，1和S4，2；左軸套5的表面元素S5，1和S5，2。

該裝配FR旋量是要素S5，1相對于要素S1，1的旋量，用旋量τ5，1∕1，1表 示，該 旋 量 由τ5，1∕5，2、τ5，2∕4，2、τ4，2∕4，1、τ4，1∕3，2、τ3，2∕3，1、τ3，1∕2，2、τ2，2∕2，1、[τ21]KFE、和τ1，2∕1，1組 成。其 中 接 觸 旋 量[τ21]KFE是 通 過 對 圓 柱 面 接 觸 旋 量τ2，3∕1，3和 平 面 接 觸 旋 量τ2，1∕1，2的并行操作而獲得的旋量。

在此，我們還假設：表面S5，2和S4，2，、表面S4，1和S3，2，、表面S3，1和S2，2完美接觸，忽略固定接觸旋量τ5，2∕4，2、τ4，1∕3，2、τ3，1∕2，2對裝配FR的貢獻。

3.2 公差原則的應用

根據圖3所示零件圖的尺寸和幾何公差（包括公差原則），我們確定該裝配FR的旋量鏈中各組成SDT的變動范圍。

對于τ1，2∕1，1我們有：

3.3 公差分析模型的建立

在確定SDT各組成元素的約束范圍后，該齒輪裝配公差分析的統一雅可比?旋量模型表示為：

3.4 統計公差分析的實現

如前所述，我們需要采用大量的隨機值運行式（8）所表示的模型，實現統計公差分析。為了對不同的SDT分量產生大量的隨機值，我們需要根據給定的分布類型和廢品率獲得每個SDT的統計參數，各FE旋量的統計參數，如表3所示。

表3 各個FE旋量的統計參數Tab.3 Statistical Parameters of FE Torsors

3.5 模擬結果的統計分析

在本例中，考慮到隨機數生成的便利性，我們采用MATLAB軟件編程實現式（8）的矩陣運算，并調用MATLAB統計工具箱中的函數生成服從不同分布的隨機值，比如：調用normnd（）函數來生成服從正態分布的隨機值等。

本例指定迭代次數為10，000次，通過對式（8）進行10，000次迭代計算，得到每個FR組成要素的10，000個模擬計算值。根據迭代計算結果，FR的v分量變動直方圖，如圖4所示。由圖可知其呈正態分布。獲得FR的v分量的平均值為：μ=?0.04373，其標準差為：σ=0.07051；采用3σ統計公差分析方法，我們可以獲得FR的v分量變動位于區間[?0.25526，+0.16780]。于是，該裝配統計公差分析得以實現。

圖4 FR的v分量的柱狀圖Fig.4 Histogram of v?Component of FR

4 結束語

提出了一種考慮公差原則影響的統計幾何公差分析方法。該方法不僅考慮了尺寸公差和幾何公差的綜合影響，還集成了公差原則應用（比如：ER、MMC和LMC等）的影響，從而使公差分析的結果更準確，更符合工程實際。此外，所提出的方法與ISO幾何公差標準兼容，且易于集成到計算機輔助三維公差設計系統中。